初中数学人教版八年级下册19.3 课题学习 选择方案课时训练

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2021-2022学年八年级数学下册章节同步实验班培优变式训练（人教版）
19.3 课题学习 选择方案
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方案

分配方案问题
题型1
最大利润问题
题型2
行程问题
题型3
几何问题
题型4
其他问题
题型5


题型变式

【题型1】分配方案问题
1．某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为时两种消费卡所需费用分别为，元，，与的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（       ）

A．甲种更合算 B．乙种更合算 C．两种一样合算 D．无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可．
【详解】
解：利用图象，当游泳次数大于10次时，
在上面，即＞，
∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键．

【变式1-1】
2．某公司为用户提供上网服务的两种收费方式如下表：
收费标准/方式
基础费用（单位：元/月）
单价（单位：元/分）
A
0
0.1
B
20
0.05

若设用户每月上网的时间为x分钟，A，B两种收费方式的费用分别为（元）、（元），则当每月上网时间多于400分钟时，选择______种方式省钱（填“A”或“B”）．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由表格中数据分别表示出、关于x的函数表达式，分别令=、＞、＜求解，即可做出判断．
【详解】
解：由题意可知：=0.1x，=20+0.05x，
当=时，由0.1x=20+0.05x得：x=400，两种收费方式一样省钱；
当＞时，由0.1x＞20+0.05x得：x＞400，B种方式省钱；
当＜时，由0.1x＜20+0.05x得：x＜400，A种方式省钱，
∴当每月上网时间多于400分钟时，选择B种方式省钱，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查一次函数的应用、解一元一次方程、解一元一次不等式，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．


【题型2】最大利润问题
1．如图是某种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y(件)与时间t(天)的函数关系，图2是一件产品的利润z(元)与时间t(天)的函数关系．则下列结论中错误的是（       ）

A．第24天销售量为300件 B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第27天的日销售利润是1250元 D．第15天与第30天的日销售量相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=-x+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=t+100，根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．
【详解】
A、根据图①可得第24天的销售量为300件，故A正确；
B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=kx+b，
把（0，25），（20，5）代入得：
，
解得：，
∴z=-x+25，
当x=10时，z=-10+25=15，
故B正确；
C、当24≤t≤30时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=k1t+b1，
把（30，200），（24，300）代入得：
，
解得：
∴y=-+700，
当t=27时，y=250，
∴第27天的日销售利润为；250×5=1250（元），故C正确；
D、当0＜t＜24时，可得y=t+100，t=15时，y≠200，故D错误，
故选D．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．

【变式2-1】
2．某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本（单位：元）、收入（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是______千克．

【答案】30
【解析】
【分析】
根据题意可设AB段的解析式为，OC段的解析式为，再结合图象利用待定系数法求出解析式，最后根据该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即，可列出关于x的等式，解出x即可．
【详解】
根据题意可设AB段的解析式为：，且经过点A(0，240)，B(60，480)，
∴ ，
解得：，
∴AB段的解析式为：；
设OC段的解析式为：，且经过点C(60，720)，
∴，
解得：，
∴OC段的解析式为：．
当该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即，
∴，
解得：．
所以这天的产量是30千克．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查一次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键．
【题型3】行程问题
1．已知A，B两地相距1680米，甲步行沿一条笔直的公路从A地出发到B地．乙骑自行车比甲晩7分钟从B地出发，沿同一条公路到达A地后立刻以原速度返回，并与甲同时到达B地．甲、乙离A地的距离y（米）与甲行走时间x（分）的函数图象如图所示，则甲出发后两人第一次相遇所需的时间是（       ）

A．10分钟 B．10.5分钟 C．11分钟 D．11.5分钟
【答案】B
【解析】
【分析】
从图象中，得到乙的图象经过(7，1680)和（14，0）两点，可确定解析式；甲的运动图象是正比例函数，且甲用时间为14+7=21分钟，可以计算甲的速度，从而确定甲的解析式，联立解析式求解即可．
【详解】
从图像中，得到乙的图象经过(7，1680)和（14，0）两点，设一次函数的解析式为y=kx+b，根据题意，得，
解得，
故解析式为；
甲的运动图象是正比例函数，且甲用时间为14+7=21分钟，故甲的速度为1680÷21=80m/min，
故甲的解析式为y=80x，
联立解析式得，
解得x=10.5，
故选B．
【点睛】
本题考查了待定系数法，函数图象的信息读取，正确读懂函数图象，灵活选择待定系数法计算是解题的关键．
【变式3-1】
2．如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲、乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为________千米．

【答案】1.5##32
【解析】
【分析】
根据图分别求出甲乙行走时的路程与时间的函数关系，从坐标图中可以读出两函数过的点，将坐标点代入函数表达式中即可找到两函数关系式，求出时间为3小时甲乙到A地的距离，其差为两人之间的距离．
【详解】
由题，图可知甲走的是AC路线，乙走的是BD路线，设（t>0），因为AC过(0,0)，(2,4) 所以代入函数得：k=2，b=0，所以；因为BD过(2,4)， (0,3)所以代入函数得： ，b=3，所以．当时，，，所以．
故答案为：1.5
【点睛】
本题考查得是一元函数在实际生活中的应用，数形结合，求其解析式，可根据题意解出符合题意的解，很常见的中档题类型．

【题型4】几何问题
1．已知第一象限内的点在直线的图象上，轴上的点横坐标为4．设的面积为，则下列图象中，能正确反映与之间函数关系的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据第一象限内的点在直线的图象上，轴上的点横坐标为4，从而可以得到关于的函数关系式，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵第一象限内的点在直线的图象上，轴上的点横坐标为4，
∴，，
∴
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查函数图象、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系，利用数形结合的思想解答．


【变式4-1】
2．如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点B的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为____________．

【答案】
【解析】
【分析】
先求出四边形ABCD的面积为14，然后根据当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积，可设直线l的解析式为，即可求出直线l的解析式为，则直线l与x轴的交点坐标为（，0），求出直线CD的解析式为，则直线l与直线CD的交点坐标为（，），再由过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，得到，由此即可得到答案．
【详解】
解：∵A（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3），
∴AC=7，
∴，
∵当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积，
∴可设直线l的解析式为，
∴，
∴，
∴直线l的解析式为，
∴直线l与x轴的交点坐标为（，0）
∵点C坐标为（3，0），点D坐标为（0，3），
∴直线CD的解析式为，
∵当时，直线l与直线DC平行，此时直线l不可能平分四边形ABCD的面积
∴联立，
解得，
∴直线l与直线CD的交点坐标为（，），
∵过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，
∴，
解得或（舍去），
∴直线l的解析式为 ，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．

【题型5】其他问题
1．为了让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m2，打开进水口注水时，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图像如图所示，下列说法错误的是（   ）


A．注水2小时，游泳池的蓄水量为380m3 B．该游泳池内开始注水时已经蓄水100m3
C．注水2小时，还需注水100m3，可将游泳池注满 D．每小时可注水190m3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象中的数据逐项判断即可解答．
【详解】
解：A、由图可知，注水2小时，游泳池的蓄水量为380m3，正确，故选项A不符合题意；
B、由图象可知，当t=0时，y=100，即该游泳池内开始注水时已经蓄水100m3，正确，故选项B不符合题意；
C、由图象可知，480－380=100（m3），即注水2小时，还需注水100m3，可将游泳池注满，正确，故选项C不符合题意，
D、由（380－100）÷2=140（m3），即每小时可注水140m3，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，能从图象中获取有效信息是解答的关键．

【变式5-1】

2．一支蜡烛长20cm，每分钟燃烧的长度是2cm，蜡烛剩余长度y（cm）与燃烧时间x（分）之间的关系为______（不需要写出自变量的取值范围）．
【答案】y＝20﹣2x
【解析】
【分析】
根据燃烧速度和燃烧时间求出燃烧长度，根据题意列出函数关系式．
【详解】
解：∵每分钟燃烧的长度是2cm，燃烧时间x分，
∴燃烧的长度为2x（cm），
∴蜡烛剩余长度y（cm）与燃烧时间x（分）之间的关系为：y＝20﹣2x，
故答案为：y＝20﹣2x．
【点睛】
本题考查的是一次函数的应用，根据题意列出一次函数解析式是解题的关键．



专项训练

一．选择题

1．把直线向上平移m个单位后，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是（          ）
A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4
【答案】C
【解析】
【分析】
直线向上平移m个单位后可得：，求出直线与直线的交点，再由此点在第一象限列不等式组可得出m的取值范围：
【详解】
解：直线向上平移m个单位后可得：，
联立两直线解析式得：，解得：．
∴交点坐标为．
∵交点在第一象限，
∴
解得：m>1．
故选C．
【点睛】
本题考查一次函数的平移及交点坐标，根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）．
2．某天，甲、乙两车同时从A地出发，驶向终点B地，途中乙车由于出现故障，停车修理了一段时间，修理完毕后，乙车加快了速度匀速驶向B地；甲车从A地到B地速度始终保持不变，乙车的速度始终小于甲车的速度．甲、乙两车之间的距离与两车出发时间的函数图象如图所示．下列说法：①甲到达B地（终点）时，乙车距离终点还有；②故障排除前，乙的速度为；③线段所在直线的解析式；④当时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是（       ）

A．③④ B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
①根据图象知，甲到达B地时，甲乙两车距离最大即可判断；②由图象可求出故障排除后乙车的速度为，设排除故障前乙车的速度为，甲车的速度为，根据题意可得方程，求解即可；③先计算出m的值，再求出点P的坐标，最后运用待定系数法求出线段PQ所在直线解析式 即可；④代入求值进行判断即可得到答案．
【详解】
解：①甲到达B地时，甲乙两车距离最大，即y最大，y=90，
故乙车距终点90km，故①错误；
②排除故障后、乙车的速度为：
排除故障前乙车的速度为，甲车的速度为，
由题意和函数图象可知，故障前甲车2h比乙车多行驶了40km
乙车故障修理了
故
解得，
所以，排除故障前乙车的速度为，故②正确；
③

∴
设直线的解析式为：，代入，，则有：

解得，
∴线段所在直线的解析式，故③正确；
④
当时，
当时，， 故④错误，
故选B．
【点睛】
本题考查了一次函数在行程问题中的应用，明确行程问题的基本数量关系并数形结合是解题的关键．
3．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）

A．5s时，两架无人机都上升了40m
B．10s时，两架无人机的高度差为20m
C．乙无人机上升的速度为8m/s
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度y（米）和上升的时间x（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可．
【详解】
解：设甲的函数关系式为，把(5，40)代入得：，解得，
∴，
设乙的函数关系式为，把(0，20) ，(5，40)代入得：
，解得，
∴，
A、5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了20m，不符合题意；
B、10s时，甲无人机离地面80m，
乙无人机离地面60m，相差20m，符合题意；
C、乙无人机上升的速度为m/s，不符合题意；
D、10s时，甲无人机距离地面的高度是80m．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，读懂图形中的数据是解本题的关键．
4．对于，下列说法中正确的个数是（       ）．
①两直线平行；②两直线交于y轴于同一点；③两直线交于x轴于同一点；
④方程与的解相同；⑤当时，．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用一次函数的图像和性质即可判断得解；
【详解】
解：由知，所以两直线不平行，
令x=0，得，所以不会交于y轴同一点，故①②不正确，
令y=0，得，，都解得，所以两直线交于x轴于同一点，
方程与的解相同；故③④正确，
当时，，故⑤不正确，
综上，正确的个数是2个，
故选择：C
【点睛】
本题主要考查一次函数与坐标轴的交点及图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．
5．小明和小亮在同一条笔直的跑道上进行500米匀速跑步训练，他们从同一地点出发，先到达终点的人原地休息，已知小明先出发2秒，在跑步的过程中，小明和小亮的距离（米）与小亮出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（   ）

A．小明的速度是4米/秒； B．小亮出发100秒时到达终点；
C．小明出发125秒时到达了终点； D．小亮出发20秒时，小亮在小明前方10米．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出两人的速度，以及图象中的、的值，由此即可判断．
【详解】
解：根据题意，时，小明出发2秒行驶的路程为8米，
所以，小明的速度米秒，故A正确，
先到终点的人原地休息，
秒时，小亮先到达终点，故B正确，
小亮的速度米秒，
（米；
（秒，
小明出发125秒时到达了终点，故C正确，
小亮出发20秒，小亮走了米，小明走了米，
米，
小亮在小明前方12米，故D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，求出两人的速度是解题的关键，学会读懂题目信息，搞清楚路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型．
6．如图，平面直角坐标系中，A点坐标为，点在直线上运动，设的值为，则下面能够大致反映w与m的函数关系的图象是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
结合函数图像的性质和勾股定理以及三角形两边之差小于第三边采用排除法作答．
【详解】
解：∵点P（m，n）在直线上运动，
∴
当m=0时，n=5，则P（0，5），A
此时PO=5，PA=
∴，故选项B不符合题意；
当m=1时，n=2，则P（1，2），A
此时PO=，PA=
∴，故选项C不符合题意；
由三角形两边之差小于第三边可知，而OA=
w恒小于5，故选项D不符合题意
故选：A
【点睛】
此题主要考查了动点问题的函数图象，准确识图，根据题意得出临界点时的函数值是解题关键．
二、填空题
7．直线与x轴的交点为，则方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】
一次函数y＝ax＋b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax＋b＝0的解．
【详解】
直线与x轴的交点为，
，
，
方程的解为，
故答案为：
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数的性质是解题的关键．
8．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，，点是对角线上的一个动点，当周长最小时，则点的坐标为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
首先根据菱形的性质和菱形的面积公式求出点B的坐标，然后分别用待定系数法求出直线AE，OB的解析式，然后联立成二元一次方程组，解方程组即可求出交点P的坐标．
【详解】
如图，连接AC交OB于点F，过点B作交于点G，连接AE交OB于点P，此时P点即为所求，


，
．
∵四边形ABCD是菱形，
∴，且A，C两点关于OB对称，
∴，
周长为 ．
∵CE为定值，
∴当E，P，A三点共线时，最小，即的周长最小．
，
，
．
，
，
，
，
．
设直线AE的解析式为 ，
将代入解析式中得
解得
∴直线AE解析式为 ，
设直线OB的解析式为 ，
将代入解析式中得
，
解得 ，
∴直线OB解析式为 ．
解得
∴点P的坐标为，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，勾股定理，待定系数法及二元一次方程组的应用，掌握菱形的性质，勾股定理，待定系数法是解题的关键．
9．如图，直线与y轴交于，则当时，y的取值范围是_______．

【答案】
【解析】
【分析】
根据图像，则当时，图像在y轴的左侧，此时，即可得解．
【详解】
根据图像，
当时，
y的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查一次函数取值范围问题，属于基础题，利用数形结合思想判断是解题关键．
10．某公司销售人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，当其售出100件时月收入为2800元，售出200件时月收入为3400元，则当其月收入为4600元时，售出的货品为_________件．
【答案】400
【解析】
【分析】
利用待定系数法可得函数的解析式，再由y=4600时求得x值，即可求解．
【详解】
解：设解析式为y=kx+b，把(100，2800)，(200，3400)代入得：
，
解得：，
∴解析式为y=6x+2200，
当y=4600时，x=400，
∴当其月收入为4600元时，售出的货品为400件．
故答案为：400．
【点睛】
本题考查了一次函数的简单应用，利用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
11．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图2是一件产品的销售利润z（单位，元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列正确结论的序号是____．

①第24天的销售量为200件；
②第10天销售一件产品的利润是15元；
③第12天与第30天这两天的日销售利润相等；
④第30天的日销售利润是750元．
【答案】①②④．
【解析】
【分析】
图1是产品日销售量y（单位：件）与时间t单位：天）的函数图象，观察图象可对①做出判断；通过图2求出z与t的函数关系式，求出当t=10时z的值，对②做出判断，通过图1求出当0≤t≤24时，产品日销售量y与时间t的函数关系式，分别求出第12天和第30天的销售利润，对③④进行判断，最后综合各个选项得出答案．
【详解】
解：图1反应的是日销售量y与时间t之间的关系图象，过（24，200），因此①是正确的，
由图2可得：z=     ，
当t=10时，z=15，因此②也是正确的，
当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=kt+b，
把（0，100），（24，200）代入得：，
解得： ，
∴y=t+100（0≤t≤24），
当t=12时，y=150，z=-12+25=13，
∴第12天的日销售利润为；150×13=1950（元），第30天的销售利润为：150×5=750元，
因此③不正确，④正确，
故答案为①②④．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，分段函数的意义和应用以及待定系数法求函数的关系式等知识，正确的识图，分段求出相应的函数关系式是解决问题的关键．
12．气温随着高度的增加而下降，其一般规律是：从地面到高空11km处，每升高1km，气温下降6℃；高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为30℃，高空中xkm处的气温为y℃，则当0≤x≤11时，y与x之间的函数关系式是__________．
【答案】y=30-6x
【解析】
【分析】
利用地面的气温减去升高xkm下降的温度即可．
【详解】
解：根据题意得：y=30-6x（0≤x≤11）．
故答案为：y=30-6x．
【点睛】
本题考查了一次函数的实际运用，找出基本数量关系，列出解析式是解决问题的关键．
三、解答题
13．雄安新区某公司为改善办公条件计划购买、两种类型的电脑，已知购买一台型电脑需要万元，购买一台型电脑需要万元，该公司准备投入资金万元，全部用于购进台这两种类型的电脑，设购进型电脑台．
（1）求关于的函数关系式；
（2）若购进型电脑的数量不超过型电脑数量的倍，则该公司至少需要投入资金多少万元？
【答案】（1）
（2）万元
【解析】
【分析】
（1）由A型电脑费用+B型电脑费用=投入资金，可得y关于x的函数表达式；
（2）由题意列出不等式，可得x≥5，由一次函数的性质可求解．
【详解】
解：（1）（）；
（2）由题意可得：，
，
中，，
随的增大而增大，
当时，最小值（万元）
答：该公司至少需要投入资金万元
【点睛】
本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出正确的函数关系式是本题的关键．
14．小明在暑期社会实践活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完.销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示.请你根据图象提供的信息完成以下问题：
(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜x(千克)之间的函数关系式.
(2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜?
(3)小明这次卖瓜赚了多少钱?

【答案】（1）y=1.6x；（2）50千克；（3）36元
【解析】
【详解】
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx，把已知坐标代入解析式可解；
（2）降价前西瓜售价每千克1.6元．降价0.4元后西瓜售价每千克1.2元，故可求出降价后销售的西瓜，从而问题得解；
（3）用销售总金额减去购西瓜的费用即可求得利润．
【详解】（1）设关系式是y=kx，把x=40，y=64代入得40k=64，解得k=1.6，
则关系式是y=1.6x；
（2）因为降价前西瓜售价为每千克1.6元，
所以降价0.4元后西瓜售价每千克1.2元，
降价后销售的西瓜为(76- 64)÷1.2=10(千克)，所以小明从批发市场共购进50千克西瓜；
（3）76- 50×0.8=76- 40=36(元)，即小明这次卖西瓜赚了36元钱.
【点睛】本题重点考查了一次函数的图象及一次函数的应用，读懂图象，从图象中找到必要的信息是解题的关键.
15．甲、乙两车匀速从同一地点到距离出发地480千米处的景点，甲车出发半小时后，乙车以每小时80千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示．


（1）甲车行驶的速度是 千米/小时．
（2）求乙车追上甲车后，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范用．
（3）直接写出两车相距5千米时x的值．
【答案】（1）60；（2）AB的解析式为y=20x-40（2≤x≤6.5）；BC的解析式为y=-60x+480（6.5≤x≤8）；（3）甲车出发小时或小时或小时或小时两车相距5千米．
【解析】
【分析】
（1）利用先出发半小时行驶的路程为千米，可得答案；
（2）分别求出相应线段的两个端点的坐标，再运用待定系数法解答即可；
（3）结合运动状态，分四种情况讨论，当甲车出发而乙车还没有出发时，即 当乙车追上甲车时，时间为2小时，当时，当乙车超过甲车时，而乙车到达终点时，甲车行驶时间为小时，当时，当乙车到达后，甲车继续行驶，当时，再列方程解方程可得答案．
【详解】
解：（1）甲行驶的速度为：30÷0.5=60（千米/小时），
故答案为：60．
（2）如图所示：


设甲出发x小时后被乙追上，
根据题意得： 60x=80（x-0.5），
解得x=2， 即甲出发2小时后被乙追上，
∴点A的坐标为（2，0），
而480÷80+0.5=6.5（时）， 即点B的坐标为（6.5，90），
设AB的解析式为y=kx+b，由点A，B的坐标可得：
，解得，
所以AB的解析式为y=20x-40（2≤x≤6.5）；
乙车的速度每小时为千米
而乙车的行驶时间为：

设BC的解析式为y=-60x+c， 则-60×8+c=0，解得c=480，
故BC的解析式为y=-60x+480（6.5≤x≤8）；
（3）根据题意得：
当甲车出发而乙车还没有出发时，即

当乙车追上甲车时，时间为2小时，当时，

解得：
当乙车超过甲车时，而乙车到达终点时，甲车行驶时间为小时，当时，

解得：
当乙车到达后，甲车继续行驶，当时，

解得：   
答：甲车出发小时或小时或小时或小时两车相距5千米．
【点睛】
本题是一次函数的应用，属于行程问题，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，并与行程问题的路程、时间、速度相结合.读出图形中的已知信息，运用了数形结合的思想解决函数问题是解本题的关键．
16．如图1，小刚家，学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离与他所用的时间的函数关系如图2所示．

（1）小刚家与学校的距离为___________，小刚骑自行车的速度为________；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，与的函数表达式；
（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远?
【答案】（1）3000，200；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）从起点处为学校出发去处为图书馆，可求小刚家与学校的距离为3000m，小刚骑自行车匀速行驶10分钟，从3000m走到5000m可求骑自行车的速度即可；                 
（2）求出从图书馆出发时的时间与路程和回到家是的时间与路程，利用待定系数法求解析式即可；
（3）小刚出发35分钟，在返回家的时间内，利用函数解析式求出当时，函数值即可．
【详解】
解：（1）小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，从起点3000m处为学校出发去5000m处为图书馆，
∴小刚家与学校的距离为3000m，
小刚骑自行车匀速行驶10分钟，从3000m走到5000m，
行驶的路程为5000-3000=2000m，
骑自行车的速度为2000÷10=200m/min，
故答案为：3000，200；                 
（2）小刚从图书馆返回家的时间：．
总时间：．               
设返回时与的函数表达式为，
把代入得：，
解得，，
．     
（3）小刚出发35分钟，即当时，
，          
答：此时他离家．
【点睛】
本题考查从函数图像中获取信息，求距离，自行车行驶速度，利用待定系数法求返回时解析式，用行驶的具体时间确定函数值解决问题，掌握从函数图像中获取信息，求距离，自行车行驶速度，利用待定系数法求返回时解析式，用行驶的具体时间确定函数值解决问题是解题关键．
17．某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元
【解析】
【分析】
（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设甲品牌洗衣液进价为元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为元/瓶，
由题意可得，，
解得，
经检验是原方程的解.
答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶.
（2）设利润为元，购进甲品牌洗衣液瓶，
则购进乙品牌洗衣液瓶，
由题意可得，，
解得，
由题意可得，，
∵，∴随的增大而增大，
∴当时，取最大值，.
答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．直线：交x轴于A，交y轴于B．

（1）求的长；
（2）如图1，直线关于y轴对称的直线交x轴于点C，直线：经过点C，点D、T分别在直线、上．若以A、B、D、T为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）如图2，平行y轴的直线交x轴于点E，将直线向上平移5个单位长度后交x轴于M，交y轴于N，交直线于点P．点在四边形内部，直线交于G，直线交于H，求的值．
【答案】（1）；（2）点D的坐标为或或；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据直线的解析式求出其与x轴的交点A和与y轴的交点B的坐标，进而求出OA与OB的长度，再使用勾股定理即可求出AB的长度；
（2）根据直线和直线关于y轴对称求出直线的解析式，再求出直线的解析式，根据点D在直线上，可设点，然后分类讨论点D是在线段BC上，还是在线段BC的延长线上，或者在线段CB的延长线上，在每一种情况下结合平行四边形的性质和平移的性质，可用含有m的式子表示点T的坐标，再根据点T在直线上求出m的值，即可求出点D的坐标；
（3）根据平移的性质求出直线MN的解析式，再结合直线x=2求出点，点和点，进而求出ME的长度，然后再结合点求出直线和直线，进而求出点和，即可得到GE与HE的长度，最后再代入计算即可．
【详解】
解：（1）∵直线交x轴于A，交y轴于B，
∴，．
∴，．
∴，．
∴，．
∴，．
∵，
∴．
（2）∵直线关于y轴对称的直线交x轴于点C，直线交x轴与点，
∴点A与点C关于y轴对称．
∴．
∵点在y轴上，
∴直线经过点B．
∴设直线．
∵直线经过点，
∴．
解得：．
∴直线．
∵直线经过点，
∴．
解得：．
∴直线．
∵点D在直线上，
∴设点．
①如下图所示，当点D在线段上时．

∵四边形ABDT是平行四边形，
∴．
∴BD经过平移之后到达AT．
∴．
∵点T在直线上，
∴，解得．
∴；
②如下图所示，当点D在线段的延长线上时．

∵四边形ABTD是平行四边形，
∴．
∴AD经过平移之后到达BT．
∴．
∵点T在直线上，
∴，解得．
∴；
③如下图所示，当点D在线段的延长线上时．

∵四边形ADBT是平行四边形，
∴．
∴BD经过平移之后到达TA．
∴．
∵点T在直线上，
∴，解得．
∴．
综上所述，点D的坐标为或或．
（3）直线向上平移5个单位长度得到的直线解析式为．
∵直线x=2与x轴交于点E，与直线MN交于点P，直线MN交x轴于点M，
∴，，．
∴，．
∴，．
∴，．
∴，
设直线的解析式为，
∵直线PF经过点与，
∴解得
∴直线的解析式为．
∵直线PF与x轴交于点G，
∴．
∴．
解得：．
∴．
∴．
设直线OF的解析式为y=cx，
∵直线OF经过点，
∴．
解得：．
∴直线的解析式为．
∵直线OF与直线交于点H．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查了一次函数的综合应用，涉及坐标与长度的关系，勾股定理，轴对称和平移的性质，平行四边形的性质和判定定理，代数式求值，应用一次函数的性质正确求出点的坐标是解题关键．