2024年广东省中山市三乡平东学校中考模拟数学试题

这是一份2024年广东省中山市三乡平东学校中考模拟数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．计算的结果等于（ ）
A．B．C．D．48
2．我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．2023年4月12日21时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”——世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第122254次实验中成功实现了403秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录．数据122254用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．点P在第二象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（ ）
A．（-2，3）B．（-3，-2）C．（-3，2）D．（3，-2）
5．今年5月1日，我市某商场停车场的停车量为2000辆次，其中两轮电动车平均停车费为每辆1元一次，小汽车平均停车费为每辆5元一次，若两轮电动车停车辆数为x辆次，停车的总收入为y元，则y与x的关系式为（ ）
A．B．C．D．
6．把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在中，，点D是边上一点，将沿翻折后，点A的对应点E恰好落在上，若点E为的中点，则（ ）
A．B．1C．D．
10．经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A．10B．12C．13D．15
二、填空题
11．分解因式： ．
12．如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径画弧，分别交BC，CD于M，N两点；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BCD的内部交于点P；⑨连接CP并延长交AD于E．若AE＝2，CE＝6，∠B＝60°，则ABCD的周长等于 ．
13．已知关于的方程的一个根为2，则的值为 ．
14．某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为 ．

15．如图，二次函数的图象的顶点坐标为，则以下五个结论中：①，②，③，④，⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有： （写序号）．

三、解答题
16．（1）解方程组：；
（2）解方程：．
17．网络直播带货逐渐走入人们的视野．某超市预计用3900元购进甲、乙两种商品，再通过网络直播平台销售出去．其中乙种商品的个数是甲种商品的2倍少30个，甲、乙两种商品的进价分别为20元/个、30元/个．该超市购进甲、乙两种商品各多少个？
18．台灯是生活中常见物品．图①是一个台灯的实物图，图②是其侧面示意图．台灯的双轴灯臂，，通过调节灯臂的倾斜角度可以改变台灯的照明位置．已知垂直于底座，，求灯臂顶端到底座的距离的长度（结果精确到）．（参考数据：）

19．如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点．

(1)求反比例函数和正比例函数的表达式；
(2)若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标．
20．现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为．
(1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值；
(2)比较与的大小，并说明理由．
21．如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道，经测量，点C在点A的正东方向，米，点E在点A的正北方向，点B，D在点C的正北方向，米，点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东．
(1)求步道的长；（精确到1米）
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D，请计算说明她走哪一条路较近？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
22．如图，在直角梯形中，，，，，线段上的点P从点B运动到点C，，的角平分线交以为直径的圆M于点Q，连接．

(1)当点P不与点B重合时，求证：平分；
(2)当⊙M与直角梯形的边相切时，求出此时的长．
23．如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．

(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；
(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为．
①当时，求的值；
②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值．
参考答案：
1．B
【分析】利用有理数的乘法法则计算即可求出值．
【详解】解：(−12)×4=-48，
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．
2．A
【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误；
C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键．
3．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据122254用科学记数法表示为，
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是科学记数法—表示较绝对值较大的数．把一个大于等于10的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a，把整数位数减1作为n，从而确定它的科学记数法形式．
4．C
【详解】第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0，
到x轴的距离是2，说明点的纵坐标为2，到y轴的距离为3，说明点的横坐标为-3，
因而点P的坐标是（-3，2）．
故选：C．
5．A
【分析】根据题意得：总收入为y元=两轮电动车停车费+小汽车停车费，据此写出题目中的函数解关系式，从而可以解答本题．
【详解】解∶根据题意，得．
故选∶A．
【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出题目中的函数关系式．
6．B
【分析】利用平行线的性质求出∠3可得结论．
【详解】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝25°，
∵∠2＋∠3＝45°，
∴∠2＝45°﹣∠3＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用平行线的性质求出∠3．
7．D
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据两个不相等的实数根得出，代入数值计算，即可作答．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故选：D．
8．C
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
9．D
【分析】根据题意得到，，然后证明出，求出，进而求解即可．
【详解】∵，将沿翻折后，点A的对应点E恰好落在上，
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数，折叠的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是求出．
10．B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线
∵抛物线经过两点
∴，
即，
∴，
∵抛物线与轴有交点，
∴，
即，
即，即，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．
【分析】利用提公因式法进行解题，即可得到答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行解题．
12．28
【分析】首先证明是等边三角形，求出，即可解决问题．
【详解】解：由作图可知，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，，
四边形的周长为28，
故答案为28．
【点睛】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．1
【分析】将代入方程中，求出的值即可．
【详解】将代入方程中，得
，
，
∴．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程的根求字母的值，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
14．2500
【分析】根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值．
【详解】解：设功率为，由题可知，即，将，代入解得，
即反比例函数为：，
将代入，
得，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键．
15．②④⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴以及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，即可得到答案．
【详解】解：①抛物线开口方向向下，则，
抛物线对称轴位于轴右侧，则异号，即，
抛物线与轴交于正半轴，则，
，故①错误；
②抛物线对称轴为直线，
，即，故②正确；
③由交点的位置可得：，
，
，
，
，
，
，故③错误；
④由图象可知，当时，，
此时点在第三象限，
，
，
，故④正确；
⑤方程有两个相等的实数根，
，
，
方程为，
，
方程为有两个不相等的实数根，故⑤正确；
综上所述，正确的为②④⑤，
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题主要考查二次函数与系数相关代数式的判断问题，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，是解题的关键．
16．（1）；（2）．
【分析】此题考查了解二元一次方程组，解分式方程，
（1）方程组利用加减消元法求解即可；
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】（1）
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：；
（2）
去分母得，
解得
检验：将代入
∴原方程的解为．
17．该超市购进甲种商品60个，乙种商品90个
【分析】设购进甲种商品个，则乙种商品个，根据总花费为3900元列出方程求解即可．
【详解】解：设购进甲种商品个，则乙种商品个，
根据题意得，
解得，
则．
答：该超市购进甲种商品60个，乙种商品90个．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
18．
【分析】根据题意可得四边形是矩形，则，进而在中，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：过点作于点，则，四边形是矩形．
在中，，
，
．
．
因此，灯臂顶端到底座的距离约为．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)；
(2)或
【分析】（1）把分别代入函数的解析式，计算即可．
（2）根据反比例函数的中对称性质，得到，设，根据，列式计算即可．
【详解】（1）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
∴，
解得，
故反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式．
（2）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
根据反比例函数图象的中心对称性质，
∴，设，
根据题意，得，
∴，
解得或，
故点C的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键．
20．(1)，，当时，
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可；
（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．
【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：，
∴，，
∴，
∴当时，；
（2），理由如下：
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键．
21．(1)283米；
(2)她走经过点B到达点D这条路较近，计算过程见解析．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过作，垂足为，根据题意可得：四边形是矩形，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
（2）先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，然后利用矩形的性质求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，比较即可解答．
【详解】（1）过作，垂足为，
由题意得：四边形是矩形，
米，
在中，，
（米，
步道的长度约为283米；
（2）小红从出发，经过点到达点路程较近，
理由：在中，，米，
（米，
在中，，米，
（米，
（米，
米，
米，
四边形是矩形，
米，
米，
小红从出发，经过点到达点路程（米，
小红从出发，经过点到达点路程（米，
米米，
小红从出发，经过点到达点路程较近．
22．(1)见解析
(2)的值为4或9
【分析】本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等：
（1）先由是直径，得到，则，由平行线的性质得到，再由角平分线的定义证明，即可证明平分．
（2）分两种情况讨论：①当与相切时，连接，②当与相切时，分别求解即可．
【详解】（1）证明：如图1中，

∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：如图2﹣1中，当与相切时，连接．

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图2﹣2中，当与相切时，四边形是矩形，

∴，，，
综上所述，满足条件的的值为4或9．
23．(1)，点的坐标为
(2)①2或3或；②，S的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可；
（2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可；
②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由得，当时，．
解得．
∵点A在轴正半轴上．
∴点A的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点C的坐标为；
（2）①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．

∵，
∴．
解得．
如图2，当点在直线下方时，．

∵，
∴．
解得，
∵，
∴．
综上所述，的值为2或3或；
②解：如图3，由（1）得，．

∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线上方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
∵，
∴当时，S的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键．