2024年广东省深圳市罗湖区翠园东晓中学中考模拟考试数学试题

这是一份2024年广东省深圳市罗湖区翠园东晓中学中考模拟考试数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 若水位上升记作，则水位下降记作（ ）
A. -2mB. -10mC. +4mD. -4m
【答案】D
【解析】
【分析】根据正负数的意义，水位上升记为“+”，则水位下降记为“-”，据此判断即可.
【详解】若水位上升6m记作,则水位下降4m记作-4m.
故选D.
【点睛】此题考查了正负数应用，首先要知道以谁为标准，规定水位上升为正，水位下降为负，由此用正负数解答问题．
2. 在以下节水、绿色食品、质量安全、可回收物等四个标志中，轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念进行分析即可．
【详解】解：A．该标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该标志是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．该标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可以完全重合．
3. 截止2023年12月底，全球人口总数已突破80亿． 将80亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：80亿
故选：B．
4. 一组数据2，4，x，6，8的众数为2，则这组数据的中位数为 （ ）
A 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先根据众数的概念求出x，再根据中位数的概念进行求解即可.
【详解】∵数据2，4，x，6，8众数为2，
∴，
则数据重新排列为2、2、4、6、8，
所以中位数为4，
故选B．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
5. 如图，已知平行四边形的面积为，为的中点，连接，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由平行四边形的面积为， 再结合三角形的中线的性质可得答案．
【详解】解： 平行四边形的面积为，

为的中点，


故选：A.
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，三角形的中线的性质，掌握“三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分”是解本题的关键．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，平方差公式，根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
7. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示）.若，光线传播方向改变了，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对顶角相等，角之间的位置关系求解．
【详解】解：如图，,
∴
故选：A
【点睛】本题考查对顶角相等，理解两直线相交，对顶角相等是解题的关键．
8. 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为5500元，八年级同学捐款总额为6000元，八年级捐款人数比七年级多30人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为人，则所列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设七年级有x人捐款，那么八年级有人捐款，根据人均捐款额相等，列出方程即可．
【详解】解：设七年级捐款人数为人，则八年级捐款人数为人，
由题意得：，
故选A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，小明同学测得古塔的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过作于，于，得到，，设，，根据勾股定理得到，求得，，，于是得到结论．
【详解】解：过作于，于，

，，
斜坡的斜面坡度，
，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解直角三角形的应用坡角坡度问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10. 如图1，点从的顶点出发，沿匀速运动到点图2是点运动时线段的长度随时间变化的关系图象，其中点为曲线部分的最低点，则的边的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象可知点P沿匀速运动到点C，此时AC最长，CP在AB边上先变小后变大，从而可求出AB上的高，从图象可以看出点P运动到点B时CP=CB=13，可知△ABC是等腰三角形，进而得出结论．
【详解】由图象可知：点P在A上时，CP=AC=13，
点P在AB上运动时，在图象上有最低点，即AB边上的高，为12，
点P与点B重合时，CP即 BC最长，为13，
所以，△ABC是等腰三角形，
∴AB的长=2×
故选：C
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 足球、篮球、排球“三大球”单列成为体育中考第一类项目（自主选考三选一），考生若任选一项参加考试，则考生选择考篮球的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【详解】解：考生一共有3种不同的选择，选择足球、篮球或排球的可能性相同，
则考生选择考篮球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单的概率计算，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
12. 已知代数式的值是3，则代数式的值是______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值，先由题意得到，再根据进行求解即可．整体代入的思想求解是解题的关键．
【详解】解：∵代数式的值是3，
∴，
∴，
故答案为：7．
13. 如图是某电影院一个圆形VIP厅的示意图,是的直径,且,弦是该厅的屏幕,在处的视角,则______．
【答案】
【解析】
【分析】连接,根据直径所对的圆角是直角,可得到,然后利用在同圆中,同弧所对的圆周角相等,得到,再根据锐角三角函数解出即可．
【详解】
如图,连接,
∵是的直径,
∴ ,
∵,
∴,
在 中,,
∴ ,
故答案为:．
【点睛】本题主要考查了关于圆的知识,同弧所对的圆周角相等,直径所对的圆角是直角,锐角三角函数,解题的关键是熟练掌握相关知识点的运用及圆中常作的辅助线方法．
14. 如图，在中，，点的坐标），顶点在反比例函数的图象上．若，且，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】作CH⊥y轴于H．由相似三角形的性质求出点C坐标，进而求出k的值．
【详解】如图，作CH⊥y轴于H．
∵A（0，2），OA=OB，
∴OA=OB=2，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠CAH，
又∵∠AOB=∠AHC=90°，
∴△ABO∽△CAH，
∴，
∴CH=AH=1，
∴OH=OA+AH=3，
∴C（1，3），
∵点C在的图象上，
∴k=1×3=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
15. 如图，在等腰梯形中，，，，，直角三角板含角的顶点放在边上移动，直角边始终经过点，斜边与交于点，若为等腰三角形，则的长为__________．

【答案】或或2
【解析】
【分析】本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．分三种情况讨论：①当时，过点D作于点G，根据等腰梯形的性质，易证四边形是矩形，进而证明，得到，的长，由勾股定理求得，然后证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出的长；②当时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得，进而得到，再利用，即可求出得长；③当时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得，进而利用勾股定理，得出的长，再利用三角形内角和定理，易证是等腰直角三角形，得到，最后由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：①如图1，当时，过点D作于点G，

等腰梯形中，，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
；
②如图2，当时，

，
等腰梯形中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
；
③如图3，当时，

等腰梯形中，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，；
综上所述，CF的长为或或2．
故答案为：或或2．
三、解答题（16-17题每小题6分，18-20每小题8分，21题9分，22题10分，共55分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的运算，原式利用零指数幂、绝对值、算术平方根法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】解：原式
．
17. 先化简，再求值：．其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】先算括号内的，再进行分式的除法运算进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】解：原式=，
把，代入得：原式=．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的关键．
18. 我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了名学生进行比赛（百分制）．测试成绩整理、描述和分析如下：
成绩得分用表示，共分成四组：
A.；；；．
七年级名学生的成绩：，，，，，，，，，．
八年级名学生的成绩在组中的数据是：，，．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）______，______，______．
（2）这次比赛中哪个年级成绩更稳定？说明理由．
（3）我校八年级共人参加了此次活动，估计参加此次活动成绩优秀的八年级学生人数是多少？
【答案】（1），，
（2）七年级的成绩更稳定，理由见解析
（3）参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为人
【解析】
【分析】（1）先根据扇形统计图求解，组的学生人数，结合组人数，求解组人数，可得的值，再根据八年级学生成绩的中位数落在组，可得的值，由七年级学生成绩中分有个，出现的次数最多，可得的值；
（2）因为两个年级的平均数相同，计算七年级的方差分析可得结论；
（3）分别统计出七年级、八年级成绩大于或等于分的人数，利用样本的百分率估计总体即可得到答案．
题干错误，请审核老师看看解析过程，题干错误，给个一般错误，能不能撤回？
【小问1详解】
解：八年级组有人，组有人，组有人，
组有人，则，即；
七年级名学生的成绩：，，，，，，，，，，从小到大排列：，，，，，，，，，，
根据中位数定义取第个，第个数据：，，
中位数为；
七年级学生成绩中分有个，出现的次数最多，
众数；
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：七八年级的平均数相等，根据已知条件可得，七年级成绩的方差为：
，即七年级成绩的方差为，
，
七年级成绩的方差比八年级小，七年级的成绩更稳定；
【小问3详解】
解：由题意得：八年级成绩大于或等于分的有人，
（人），
答：参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为人．
【点睛】本题考查的是扇形统计图，频数分布，平均数，众数，中位数，方差的含义及应用，同时考查了利用样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键．
19. 骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同．
（1）求甲、乙两种型号头盔的单价；
（2）某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？
【答案】（1）甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元
（2）购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，关键是正确列出方程、不等式与函数关系式．
（1）设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元，根据等量关系开出分式方程即可求解；
（2）设购买m个甲种头盔，根据不等关系列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围；设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，根据总价、单价与数量的关系列出函数关系式，利用一次函数的性质即可求解最值．
【小问1详解】
解：设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
所以（元）；
答：甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元；
【小问2详解】
解：设购买m个甲种头盔，则购买个乙种头盔，
由题意得：，
解得：；
设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，
则，
，，
随m的增大而增大，
当时，w取得最小值，最小值为（元），此时（个）．
答：当购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元．
20. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的圆O交斜边AB于D．过D作DE⊥AC于E，将△ADE沿直线AB翻折得到△ADF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O半径为10，sin∠FAD=，延长FD交BC于G，求BG的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）由△ADE沿直线AB翻折得到△ADF，得到∠DAE=∠DAF，∠AED=∠F=90°，由于OA=OD，于是得到∠DAE=∠ODA，根据平行线的判定定理得到OD∥AF，根据平行线的性质得到OD⊥DF，于是得到结论；
（2）连接DC，由于AC是 O的直径，即CD⊥AB；又FD与BC均是 O的切线且相交于点G由切线长定理可得：GD=GC，于是得到∠GDC=∠GCD，由于GD是Rt△BDC斜边上的中线，即GD=BC，由于△ADE沿直线AB翻折得到△ADF，得到sin∠DAE=sin∠DAF=，解直角三角形得到sin∠DAC===，得DC=6，由勾股定理得AD=8；根据三角形相似即可得到结论．
【详解】(1)证明：
∵△ADE沿直线AB翻折得到△ADF，
∴∠DAE=∠DAF,∠AED=∠F=90°，
又∵OA=OD，
∴∠DAE=∠ODA，
∴∠DAF=∠ODA，
∴OD∥AF，
∴∠ODF+∠F=180°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是O的切线；
(2)连接DC,
∵AC是圆O的直径，
∴∠ADC=90°，即CD⊥AB；
又∵FD与BC均是圆O的切线且相交于点G，
由切线长定理可得：GD=GC，
∴∠GDC=∠GCD，
又∵Rt△BDC中,∠GCD+∠B=90°,∠GDC+∠GDB=90°，
∴∠B=∠GDB，
∴GD=GB，
∴GD是Rt△BDC斜边上的中线,即GD=BC，
∵△ADE沿直线AB翻折得到△ADF，
∴∠DAE=∠DAF，
∴sin∠DAE=sin∠DAF=，
又∵圆O的半径为5，
∴AC=10，
Rt△DAC中,∠ADC=90°，
∴sin∠DAC=DCAC=DC10=，得DC=6，
由勾股定理得AD=8；
在Rt△ADC与Rt△ACB中,∠ADC=∠ACB=90°，∠DAC=∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴,即,解得BC=；
∴GB=GD=BC=.
【点睛】本题考查的知识点是切线的判定, 翻折变换（折叠问题）, 相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握切线的判定, 翻折变换（折叠问题）, 相似三角形的判定与性质.
21. 如果将运动员的身体看作一点，则她在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数图1的关系．
（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离与竖直高度的几组数据如下表：
根据上述数据，求出关于的关系式；
（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点到入水点的水平距离的长；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点时距水面的高度为，从到达到最高点开始计时，则她到水面的距离与时间之间满足．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要s的时间才能完成极具难度的动作．
请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
【答案】（1）
（2）2m （3）能完成
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法运算求解即可；
（2）令，得，运算求解即可；
（3）利用二次函数的解析式求出最高点的值后代入，运算出时间进行对比即可．
【小问1详解】
解：设，
代入得：
解得：，
∴；
【小问2详解】
令，得
解得，（舍去）
∴
即运动员甲从起点A到入水点的水平距离为2m．
【小问3详解】
由（1）得
，
∴，
∴，
当时，，解得（负舍去），
∵，
∴运动员甲能完成此动作．
22. 综合与实践
问题背景
数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现
如图1，在中，，．

（1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：；
拓展应用：
当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长．

【答案】（1）（2）证明见解析，拓展应用：
【解析】
【分析】（1）利用等边对等角求出的长，翻折得到，，利用三角形内角和定理求出，，，表示出即可；
（2）证明，利用相似比进行求解即可得出；
拓展应用：连接，延长至点，使，连接，得到为黄金三角形，进而得到，求出的长即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵将折叠，使边落在边上，
∴，，
∴，；
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理，得：，
解得：（负值已舍掉）；
经检验是原分式方程的解．
∴；
拓展应用：
如图，连接，延长至点，使，连接，

∵在菱形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为黄金三角形，
∴，
∴．即菱形的较长的对角线的长为．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
八年级
水平距离
0
1
竖直高度
10
10