西安市铁一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份西安市铁一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设等比数列的前n项和为,且,则( )
A.B.C.D.
2．若对,恒成立,其中a,,则( )
A.3B.2C.0D.-1
3．已知随机变量,且,则( )
A.3B.4C.5D.6
4．若函数在R上存在极值,则正整数a的最小值为( )
A.4B.5C.6D.7
5．在中国空间站建造阶段,有6名航天员共同停留在空间站,预计在某项建造任务中,需6名航天员在天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作,由于空间限制,每个舱至少1人,至多3人,则不同安排方案共有( )
A.360种B.180种C.720种D.450种
6．已知函数.则关于该函数性质的说法中,正确的是( )
A.最小正周期为
B.将其图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称
C.对称中心为
D.上单调递减
7．已知正方形的四个顶点都在椭圆上,椭圆的两个焦点分别在边和上,则该粗圆的离心率为( )
A.B.C.D.
8．下列说法正确的是( )
A.线性回归模型是一次函数
B.在线性回归模型中,因变量y是由自变量x唯一确定的
C.在残差图中,残差点比较均匀地落在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适
D.用来刻画回归方程,越小,拟合的效果越好
二、多项选择题
9．设离散型随机变量X,非零常数a,b,下列说法正确的有( )
A.B.
C.D.
10．对于非零空间向量,,,现给出下列命题,其中为真命题的是( )
A.若,则,的夹角是钝角
B.若,,则
C.若,则
D.若,,,则,,可以作为空间中的一组基底
11．在等差数列中,,,且,为数列的前n项和,则( )
A.公差B.
C.D.使的n的最小值为
12．甲袋中有3个红球,3个白球和2个黑球;乙袋中有2个红球,2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,分别以A,B,C表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”;再从乙袋中随机取出一球,以D表示事件“取出的是白球”,则下列结论中正确的是( )
A.事件A,B,C是两两互斥的事件B.事件A与事件D为相互独立事件
C.D.
三、填空题
13．设向量,,若,则_____________.
14．双曲线与椭圆的焦点相同,则实数_____________.
15．已知函数是减函数,则a的取值范围是_____________.
16．已知函数是上的增函数.当实数m取最大值时,若存在点Q,使得过点Q的直线与曲线围成两个封闭图形,且这两个封闭图形的面积总相等,则点Q的坐标为___________.
四、解答题
17．有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
（1）任取一个零件,计算它是次品的概率;
（2）如果取到的零件是次品,计算它是第台车床加工的概率.
18．已知数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)已知,求数列的前20项和.
19．“每天锻炼一小时,健康工作五十年,幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关,从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查,得到了如下列联表：
已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是.
参考公式：,.
附表：
(1)请将上面的列联表补充完整,根据小概率值的独立性检验,分析爱好运动与否与性别是否有关？
(2)若从这30人中的女性员工中随机抽取人参加一活动,记爱好运动的人数为X,求X的分布列、数学期望.
20．已知直三棱柱中,侧面为正方形,,E,F分别为和的中点,D为棱上的点.
（1）证明：;
（2）当为何值时,面与面所成的二面角的正弦值最小?
21．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，的面积为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，，求实数的取值范围.
22．已知.
（1）当时求的极值点个数;
（2）当时,,求a的取值范围;
（3）求证：,其中.
参考答案
1．答案：C
解析：设等比数列的公比为q,由得,解得,
所以.
故选：C.
2．答案：C
解析：由,
得,所以,所以.
故选：C.
3．答案：B
解析：,,,
,解得：.
故选：B.
4．答案：B
解析：
5．答案：D
解析：方案一：每个舱各安排2人,共有（种）不同的方案;
方案二：分别安排3人,2人,1人,共有（种）不同的方案.
所以共有（种）不同的安排方案.
故选：D.
6．答案：B
解析：依题意,.
所以：的最小正周期为,A选项错误.
将图象向右平移个单位得到为偶函数,图象关于y轴对称,B选项正确.
由,得,所以对称中心为,C选项错误.
由于,,
即,所以在上单调递减不成立,D选项错误.
故选：B.
7．答案：C
解析：不妨设椭圆方程为,
当时,,所以,
因为四边形为正方形,所以,即,
所以,所以,解得,
因为,所以.
8．答案：C
解析：对于A选项,线性回归模型中,方程表示的是不确定关系,
所以,线性回归模型不是一次函数,A错;
对于B选项,在线性回归模型中,因变量由自变量和随机误差共同决定,B错;
对于C选项,在残差图中,残差点比较均匀地落在水平带状区域中,说明选用的模型比较合适,C对;
对于D选项,用来刻画回归方程,越大,拟合的效果越好,D错.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：对于A,,,
所以,故A正确;
对于B,,,
所以,故B正确;
对于CD,根据均值与方差的关系可得,故C错误,D正确.
故选：ABD.
10．答案：BD
解析：A：当,时,显然,因为,所以,的夹角是平角,故本选项命题是假命题;
B：因为,所以,因此本选项命题是真命题;
C：当,,时,显然,但是,因此本选项命题是假命题;
D：假设,,是共面向量,
所以有,显然不可能,所以,,不是共面向量,
因此,,可以作为空间中的一组基底,所以本选项命题是真命题,
故选：BD.
11．答案：CD
解析：,,且,
,,即,故A,B错误;
,,
使的n的最小值为132故C,D正确,
故选：CD.
12．答案：ACD
解析：由题意可得,,,
显然事件A,B,C是两两互斥的事件,故A正确,
,,
因为,故事件A与事件D不是相互独立,故B错误,
,故C正确,
,故D正确.
故选：ACD.
13．答案：
解析：由题意,,
因为,所以,即,解得,
所以,从而.
故答案为：.
14．答案：15
解析：由椭圆的标准方程可知：该椭圆的焦距为,
所以该椭圆的焦点坐标为,,
由,
故答案为：15.
15．答案：
解析：因为函数是减函数,所以,
解得.
16．答案：
解析：由,所以.
是上的增函数,在上恒成立,即在上恒成立.
设,,,即不等式在上恒成立.
设,,
,
函数在上单调递增,因此.
,,即.又,故.
所以m的最大值为3.
所以,.
将函数的图象向上平移3个长度单位,所得图象相应的函数解析式为,.
由于,
为奇函数,
故的图象关于坐标原点成中心对称.
由此可得函数的图象关于点成中心对称.
这表明存在点,使得过点Q的直线若能与函数的图象围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等.
故答案为：.
17．答案：（1）0.0525
（2）
解析：（1）设“任取一个零件为次品”,“零件为第i台车床加工”,
则,且,,两两互斥.根据题意得
,,,
,.
由全概率公式,得
.
（2）“如果取到的零件是次品,计算它是第台车床加工的概率”,
就是计算在B发生的条件下,事件发生的概率.
.
类似地,可得,.
18．答案：（1）
（2）5
解析：（1）当时,可得,
当时,,
,
上述两式作差可得,
因为满足,所以的通项公式为.
（2）因为,,
所以,
.
所以数列的前20项和为5.
19．答案：(1)列联表见解析,认为爱好运动与否与性别没有关系
(2)分布列见解析,
解析：（1）由30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是,故爱好运动的员工共有16人,由表中男爱好运动的员工为10人,可得女爱好运动的员工有6人,
故列联表补充如下：
零假设为：爱好运动与否与性别没有关系.
由已知数据可求得：
,
根据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断不成立,即接受,即认为爱好运动与否与性别没有关系;
（2）X的可能取值为0,1,2,由于女性有14人,爱好活动的6人,
,
,
,
所以X的分布列为：
X的数学期望为：.
20．答案：（1）证明见解析;
（2）
解析：（1）[方法一]：几何法
因为,,所以.
又因为,,所以平面.
又因为,构造正方体,如图所示,
过E作的平行线分别与,交于其中点M,N,连接,,
因为E,F分别为和的中点,所以是BC的中点,
易证,则.
又因为,所以,.
又因为,,所以平面.
又因为平面,所以.
[方法二] 最优解：向量法
因为三棱柱是直三棱柱,底面,
,,,又,平面.
所以,,两两垂直.
以为坐标原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.
,,,,,,,.
由题设.
因为,,
所以,所以.
[方法三]：因为,,所以,故,,
所以
,所以.
（2）[方法一]最优解：向量法
设平面的法向量为,
因为,,
所以,即.
令,则
因为平面的法向量为,
设平面与平面的二面角的平面角为,
则.
当时,取最小值为,
此时取最大值为.
所以,此时.
[方法二]：几何法
如图所示,延长交的延长线于点S,联结交于点T,则平面平面.
作,垂足为H,因为平面,联结,则为平面与平面所成二面角的平面角.
设,过作交于点G.
由得.
又,即,所以.
又,即,所以.
所以.
则,
所以,当时,.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)解：如图，其中，，
双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以，
则，由题知，所以，
则，解得，
所以双曲线C的方程为.
(2)解：设，，
则，
所以，则，且，
所以，
设，，由得，同理，，
所以，
所以，其中，，
因为，故的取值范围是.
22．答案：（1）两个极值点;
（2）;
（3）证明见解析.
解析：（1）当时,,
所以,,
所以当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增,
因为,,,
所以存在,使,所以,时,;时,;时,,所以0和是的极值点,
所以有两个极值点.
（2）,,
设,则单调递增,
又,
所以当时,,在上单调递增,
所以,即,在上单调递增,
所以,符合题意.
当吋,令,解得,
当时,,在上单调递减,,
在）上单调递减,
所以时,,不符合题意,
所以a的取值范围是.
（3）由（2）可知时,,,即,
所以,,
所以
.
男性
女性
合计
爱好
10
不爱好
8
合计
30
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
男性
女性
合计
爱好
10
6
16
不爱好
6
8
14
合计
16
14
30
X
0
1
2
P