2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高一（上）第一次月考数学试卷

2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高一（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题4分，共计32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（4分）已知全集，集合，则　　

A．， B．，， 

C．， D．，，

2．（4分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

3．（4分）已知集合且，则的非空真子集的个数为　　

A．14 B．15 C．30 D．31

4．（4分）下列从集合到集合的对应中是函数的是　　

A．， 

B．，，， 

C．， 

D．，，

5．（4分）已知函数若，则　　

A．或1 B． C．1 D．3

6．（4分）若不等式的解集是，则的解集为　　

A．，， B． 

C． D．

7．（4分）若两个正实数x，y满足x+y＝3，且不等式＞m2﹣3m+5恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

A．{m|﹣4＜m＜1} B．{m|m＜﹣1或m＞4} C．{m|﹣1＜m＜4} D．{m|m＜0或m＞3}

8．（4分）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的充分不必要条件是　　

A． B．， C．， D．，

二、选择题（共4小题，每小题4分，共计16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（4分）下列命题为命题的是　　

A．若，，则 

B．若，则 

C．若，，则 

D．若，，则

10．（4分）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，，则下列函数中，与是“同象函数”的有　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

11．（4分）已知函数，则　　

A．（1） 

B． 

C．的最小值为 

D．的图象与轴只有1个交点

12．（4分）已知，为正实数，且，则　　

A．的最大值为8 B．的最小值为8 

C．的最小值为 D．的最小值为

三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在答题卡中的横线上）

13．（4分）已知集合，，，，若，则　　．

14．（4分）已知函数的定义域是，，则的定义域是　　．

15．（4分）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 　　．

16．（4分）已知函数，若存在互不相等的实数，，满足，且，则　　；的取值范围为 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17．（8分）已知，．

（Ⅰ）求（1），（1），（1）的值；

（Ⅱ）求，的值域．

18．（8分）已知集合，．

（1）若时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

19．（8分）已知函数．

（1）若，解不等式；

（2）解关于的不等式．

20．（10分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

已知集合，，．

（1）求集合，；

（2）若是成立的_______条件，判断实数是否存在？

21．（10分）若市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元），处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）．

（Ⅰ）设分配给植绿护绿项目的资金为（单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为（单位：百万元），试将表示成关于的函数；

（Ⅱ）试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少．

22．（12分）已知二次函数，

（Ⅰ）已知，，是正实数，且（1），求证：；

（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求的最大值．

2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高一（上）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题4分，共计32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（4分）已知全集，集合，则　　

A．， B．，， 

C．， D．，，

【考点】补集及其运算

【解答】解：，，

，，，

故选：．

2．（4分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

【考点】特称命题的否定

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“，”的否定是：，．

故选：．

3．（4分）已知集合且，则的非空真子集的个数为　　

A．14 B．15 C．30 D．31

【考点】子集与真子集

【解答】解：集合且，2，3，，

所以的非空真子集的个数为，

故选：．

4．（4分）下列从集合到集合的对应中是函数的是　　

A．， 

B．，，， 

C．， 

D．，，

【考点】31：函数的概念及其构成要素

【解答】解：中，当时，，不满足函数的定义；

中，，，，，满足中每个数在中都有数有对应，而且对应是唯一的；

中，，当时不中存在元素与之对应，当时，中每个数在中都有两个数有对应，不满足函数的定义；

中，当时，无意义，不满足函数的定义；

故选：．

5．（4分）已知函数若，则　　

A．或1 B． C．1 D．3

【考点】函数的值；分段函数的应用

【解答】解：根据题意，函数

当时，，解可得，

又由，则，

当时，，解可得，不符合题意，

综合可得：，

故选：．

6．（4分）若不等式的解集是，则的解集为　　

A．，， B． 

C． D．

【考点】一元二次不等式及其应用

【解答】解：的解集是，

，，

解得，，

故可化为，

解得或，

故不等式的解集为，

故选：．

7．（4分）若两个正实数x，y满足x+y＝3，且不等式＞m2﹣3m+5恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

A．{m|﹣4＜m＜1} B．{m|m＜﹣1或m＞4} C．{m|﹣1＜m＜4} D．{m|m＜0或m＞3}

【考点】不等式恒成立的问题．菁优网版权所有

【解答】解：∵两个正实数x，y满足x+y＝3，∴x+1+y＝4，

∴＝（）（x+1+y）＝（20++）≥（20+2）＝9，

当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，∴（）min＝9，

∴若不等式＞m2﹣3m+5恒成立，则应9＞m2﹣3m+5，解得，﹣1＜m＜4，

故选：C．

8．（4分）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的充分不必要条件是　　

A． B．， C．， D．，

【考点】充分条件与必要条件

【解答】解：，解得．

，时，得．

可得：，时是不等式成立的充分不必要条件．

经过验证不满足条件．

故选：．

二、选择题（共4小题，每小题4分，共计16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（4分）下列命题为命题的是　　

A．若，，则 

B．若，则 

C．若，，则 

D．若，，则

【考点】不等关系与不等式；等式与不等式的性质

【解答】解：若，，则，则，正确；

当由不等式性质，显然成立；

若，则，，

所以，正确；

当，，，时，显然不成立．

故选：．

10．（4分）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，，则下列函数中，与是“同象函数”的有　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【考点】判断两个函数是否为同一函数

【解答】解：函数，，，值域是，，

对于的值域是，，是同象函数，

对于，值域不同，不是同象函数，

对于的值域是，，是同象函数，

对于的值域是，，是同象函数，

故选：．

11．（4分）已知函数，则　　

A．（1） 

B． 

C．的最小值为 

D．的图象与轴只有1个交点

【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法

【解答】解：设，则，，

所以，

所以，故错误；

所以（1），故正确；

因为开口向上，对称轴为，

所以在，上单调递增，

故，故错误，

因为在，上单调递增且，

所以与轴只有一个交点，故正确；

故选：．

12．（4分）已知，为正实数，且，则　　

A．的最大值为8 B．的最小值为8 

C．的最小值为 D．的最小值为

【考点】基本不等式及其应用

【解答】解：因为，为正实数，且，当且仅当时取等号，

解得，即的最大值为8，正确；

由得，

所以，

当且仅当，即时取等号，正确；

，当且仅当即时取等号，正确；

，当且仅当时取等号，错误．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在答题卡中的横线上）

13．（4分）已知集合，，，，若，则　1　．

【考点】集合的相等

【解答】解：，，，，，

，解得，

．

故答案为：1．

14．（4分）已知函数的定义域是，，则的定义域是　，　．

【考点】33：函数的定义域及其求法

【解答】解：函数定义域是，，

由，

解得．

即函数的定义域为，．

故答案为：，．

15．（4分）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 　，　．

【考点】命题的真假判断与应用

【解答】解：因为命题“，”是假命题，

所以其否定“任意，”是真命题，

即在上恒成立，

当时，不等式化为恒成立，

当时，若在上恒成立，

则，解得，

综上所述，实数的取值范围为，，

故答案为：，．

16．（4分）已知函数，若存在互不相等的实数，，满足，且，则　6　；的取值范围为 　　．

【考点】分段函数的应用

【解答】解：作出函数的图象：可得时，的图象是二次函数的一部分，顶点为；当时，是一次函数的一部分，

令，则实数，，即为与有三个交点时，对应的三个实数根，此时，

结合，可知；

令，解得，故，

所以，

即．

故答案为：6，，．

四、解答题：本大题共6小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17．（8分）已知，．

（Ⅰ）求（1），（1），（1）的值；

（Ⅱ）求，的值域．

【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；函数的值域

【解答】解：（Ⅰ），，

（1），（1），（1）．

（Ⅱ），故的值域为，．

，故函数的值域为，，．

18．（8分）已知集合，．

（1）若时，求；

（2）若，求实数的取值范围．

【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用

【解答】解：（1）

，，当时，，，

，；

（2），，，

①当时，满足，

，；

②当时，又，

，解得，

综合可得实数的取值范围为，．

19．（8分）已知函数．

（1）若，解不等式；

（2）解关于的不等式．

【考点】一元二次不等式及其应用

【解答】解：（1）当时，不等式可化为，

由，得，．

因为抛物线开口向上，且其两个零点为，，

所以不等式的解集为，，．

（2）对于二次函数，其对应的二次方程为，

计算判别式△，其两根为，．

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为；

当，即时，不等式的解集为；

综上，时，不等式的解集为；

时，不等式无解；

时，不等式的解集为．

20．（10分）请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

已知集合，，．

（1）求集合，；

（2）若是成立的_______条件，判断实数是否存在？

【考点】充分条件、必要条件、充要条件

【解答】解：（1）由得，故集合，

由得，，

因为，故集合．

（2）若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，

则有，解得，

所以，实数的取值范围是，．

若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集，

则有，解得，

所以，实数的取值范围是，．

若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合等于集合，

则有，方程组无解．

所以，不存在满足条件的实数．

故答案为：若是成立的充分不必要条件，则，

若是成立的必要不充分条件，则，

若是成立的充要条件，则不存在，

21．（10分）若市财政下拨专款100百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元），处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）．

（Ⅰ）设分配给植绿护绿项目的资金为（单位：百万元），两个生态项目五年内带来的生态收益总和为（单位：百万元），试将表示成关于的函数；

（Ⅱ）试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少．

【考点】根据实际问题选择函数类型

【解答】解：由题意可得，处理污染项目投放资金为百万元，

则，

故．

由可得，，

当且，即时，等号成立，此时，

故的最大值为52百万元，分别投资给植树护绿向量、处理污染项目的资金为40百万元，60百万元．

22．（12分）已知二次函数，

（Ⅰ）已知，，是正实数，且（1），求证：；

（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求的最大值．

【考点】不等式的证明；二次函数的性质与图象

【解答】（Ⅰ）证明：已知，，是正实数，且（1），

，

由柯西不等式可得，

当且仅当时取等号，

；

（Ⅱ）解：恒成立，

，

，，

令，，．

．

令．

当时，，当时，，

的最大值为．