山西省太原师院附中、师苑中学校两校联考2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份山西省太原师院附中、师苑中学校两校联考2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．等差数列中,已知,,则( )
A.8B.12C.16D.24
2．已知等比数列的前n项和为,公比,若,则的值是( )
A.B.C.D.
3．已知某质点运动的位移y(单位;)与时间t(单位;s)之间的关系为,则该质点在时的瞬时速度为( )
A.B.C.2D.4
4．过曲线上一点P作曲线的切线,若切点P的横坐标的取值范围是,则切线的倾斜角的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．若数列为等差数列,为数列的前n项和,已知,,则的值为( )
A.40B.50C.60D.70
6．已知,,,则( )
A.B.
C.D.
7．已知正项等比数列中,,,成等差数列.若数列中存在两项,,使得为它们的等比中项,则的最小值为( )
A.3B.4C.6D.9
8．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系,是微积分学重要的理论基础,其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.该定理如下：若函数在闭区间上的图象不间断,在开区间内可导,则在区间内至少存在一个点,使得,称为函数在闭区间上的中值点.那么函数在区间上的中值点的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
二、多项选择题
9．下列求导正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10．如图所示是的导数的图象,下列结论中正确的有( ).
A.的单调递增区间是
B.是的极小值点
C.在区间上单调递减,在区间上单调递增
D.是的极小值点
11．已知数列是等比数列,以下结论正确的是( )
A.是等比数列
B.若,,则
C.若,则数列是递增数列
D.若数列的前n项和,则
12．已知等差数列的前n项和,且,,则下列选项正确的是( )
A.数列为递减数列
B.
C.的最大值为
D.
三、填空题
13．已知数列满足:(,),则______.
14．若函数在R上可导,,则______.
15．已知函数,若数列满足,且是递增数列,则实数a的取值范围是______.
16．对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.
若,请你根据这一发现,求:
(1)函数对称中心为______;
(2)计算______.
四、解答题
17．已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求在上的值域.
18．已知两曲线和都经过点,且在点P处有公切线.
(1)求a,b,c的值
(2)设抛物线上一动点M到直线的距离为d,求d的最小值.
19．已知等比数列的公比,且是,的等差中项.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和.
20．为数列的前n项和.已知,.
(I)求的通项公式;
(II)设,求证:数列的前n项和.
21．设,.
(1)当时,求的极值;
(2)讨论函数的单调性.
22．已知函数.
(1)若在上单调递增,求a的取值范围;
(2)若,证明:.
参考答案
1．答案：C
解析：设等差数列的首项为,公差为d,则由,,得解得,,所以.故选:C.
2．答案：D
解析：由等比数列求和公式得.故选:D.
3．答案：B
解析：因为,所以,所以该质点在时的瞬时速度为.故选:B.
4．答案：A
解析：求导函数可得,,切点P的横坐标的取值范围是,,设切线的倾斜角为,则,,
故选:A.
5．答案：B
解析：设等差数列的公差为d,,,,解得,
.
故选:B.
6．答案：D
解析：令,则,
所以时,,时,,即在区间上单调递增,在区间上单调递减,因为,,,又因为,在区间上单调递增,所以,
故选:D.
7．答案：A
解析：设正项等比数列的公比为q,由,,成等差数列,有,即,得,由,解得,若数列中存在两项,,使得为它们的等比中项,
则,即,得,则,
当且仅当,即,时等号成立,
所以的最小值为3.
故选:A.
8．答案：C
解析：因为,,所以,,,所以,.
由拉格朗日中值定理得,解得.
因为,,所以函数在区间上的中值点有2个.故选:C.
9．答案：BC
解析：,,
,
故选:BC.
10．答案：BC
解析：由导函数的图象可知,当或时,;当或时,;所以的单调递增区间为和,单调递减区间为和.故A错误,C正确;所以或是的极小值点;故B正确;
所以是取得极大值点;故D错误.
故选:BC.
11．答案：ACD
解析：令等比数列的公比为q,则,
对于A,,且,则是等比数列,A正确;
对于B,,则,B错误;
对于C,由知,,则,,即,,数列是递增数列,C正确;
对于D,显然,则,而,因此,,,D正确.
故选:ACD.
12．答案：AC
解析：AB选项,由等差数列性质得到,又,所以,设公差为d,则,数列为递减数列,A正确,B错误;C选项,因为,,则的最大值为,C正确.
D选项,因为,故,D错误.故选:AC.
13．答案：
解析：,,又(,),
数列为首项为1,公差为1的等差数列,
,即,,
故答案为:.
14．答案：
解析：因为,所以,把代入得,解得.故答案为:.
15．答案：
解析：因为函数,数列满足,且是递增数列,则函数在每一段都是单调递增,且,即,
所以,解得,
所以实数a的取值范围是.
故答案为:.
16．答案：；2010
解析：(1)因为,则,,由,可得,且,所以,函数的对称中心为;
(2)由(1)可知对任意的,,
所以,.
.
因此,.
故答案为:(1);(2)2010.
17．答案：(1)函数在上单调递增,在上单调递减;
(2)
解析：(1)函数,则,当时,,当,,故函数在上单调递增,在上单调递减;
(2)由(1)可得函数在上单调递增,在上单调递减,且,,则在上的最大值,最小值,
故在上的值域为.
18．答案：(1),,
(2)
解析：(1)根据题意可知,将分别代入两曲线方程得到,.
两个函数的导函数分别是,,
又,,则,
解得,,.
(2)要使抛物线上的点M到直线的距离最短,则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线相同,则,解得,又因为点M在抛物线上,解得.
所以最短距离即d的最小值为点M到直线的距离,代入点到直线的距离公式得.即最短距离为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可得,即,解得.
因此数列的通项公式.
(2)由(1)得,
故
两式相减,得
即.
20．答案：(I)
(II)证明见解析
解析：(I)由,可知
两式相减得,
即,
,
(舍)或.
则是首项为3,公差的等差数列,
的通项公式.
(II),
,
数列的前n项和.
21．答案：(1),
(2)答案见解析
解析：(1)的定义域为,因为,
,
时,,单调递增,
时,,单调递增,
时,,单调递减,
,;
(2)由题:,
当时:,
时,,单调递减,
时,,单调递增;
当时:,
时,,单调递减,
时,,单调递增;
当时：
①若即,
所以时,,单调递增,时,,单调递减;时,,单调递增,
②若即,,则在单调递增;
③若即,
所以时,,单调递增,时,,单调递减;时,,单调递增.
22．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1),,在上单调递增,故在上恒成立,即,设,函数在上单调递增,故,即,故.
(2),,,当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增;
故.
设,,则,
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减;
,
故,即,即恒成立,得证.