2022-2023学年山西省太原师院附中、师苑中学高一（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年山西省太原师院附中、师苑中学高一（下）月考数学试卷（5月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省太原师院附中、师苑中学高一（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2022年，中央网信办举报中心受理网民举报违法和不良信息1.72亿件.下面是2021年、2022年连续两年逐月全国网络违法和不良信息举报受理情况数据及统计图，下面说法中错误的是(    )

A. 2022年比2021年平均每月举报信息数量多
B. 举报信息数量按月份比较，8月平均最多
C. 两年从2月到4月举报信息数量都依次增多
D. 2022年比2021年举报信息数据的标准差大
2. 如图，△A′B′C′是水平放置△ABC的直观图，其中B′C′=C′A′=1，A′B′//x′轴，A′C′//y′轴，则BC=(    )
A. 2
B. 2
C. 6
D. 4
3. 下列命题正确的为(    )
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；
②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
④已知a，b，c为三条直线，若a⊥c，b⊥c，则a//b．
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①②
4. 如图，已知圆锥的母线长为2，底面半径为23，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面爬行一周返回A点，则蚂蚁爬行的最短距离为(    )
A. 1
B. 3
C. 2 3
D. 4
5. 少年强则国强，少年智则国智.党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质.为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是(    )

A. 样本的众数为65
B. 样本的第80百分位数为72.5
C. 样本的平均值为67.5
D. 该校学生中低于65kg的学生大约为1000人
6. 如图所示的菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，对角线AC，BD交于点O，将△ABD沿BD折到△A′BD位置，使平面A′BD⊥平面BCD.以下命题：

①BD⊥A′C；
②平面A′OC⊥平面BCD；
③平面A′BC⊥平面A′CD；
④三棱锥A′−BCD体积为1．
其中正确命题序号为(    )
A. ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ①②④
7. 由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥(底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥)，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为 5+14，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为(    )

A. 2 B. 14 C. 12 D. 4
8. 《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体.如图所示，在羡除ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB=2AD=2，△ADE和△BCF均为正三角形，EF//平面ABCD，EF=3，则该羡除的外接球的表面积为(    )

A. 13π2 B. 15π2 C. 17π2 D. 19π2
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，且AB=BC，则(    )
A. 三棱锥S−ABC的体积为12
B. 该圆锥的体积为12π
C. 该圆锥的表面积为14π
D. 该圆锥的母线长为5


10. 甲、乙两人6次模拟考试英语成绩(不含听力)的统计折线图如图所示，下列说法中正确的是(    )

A. 若甲、乙两组成绩的平均数分别为x1−,x2−，则x1−>x2−
B. 若甲、乙两组成绩的方差分别为s12,s22，则s12>s22
C. 甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数
D. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差
11. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达59%以上为贫困，50～59%为温饱，40～50%为小康，30～40%为富裕，低于30%为最富裕.国家统计局2023年1月17日发布了我国2022年居民收入和消费支出情况，根据统计图表如图甲、乙所示，下列说法正确的是(    )


A. 2022年城镇居民人均可支配收入增长额超过农村居民人均可支配收入增长额
B. 2022年城镇居民收入增长率快于农村居民
C. 从恩格尔系数看，可认为我国在2022年达到富裕
D. 2022年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过50%
12. 如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，G为线段B1C上一个动点，则(    )
A. 存在点G，使直线B1C⊥平面EFG
B. 存在点G，使平面EFG平面BDC1
C. 三棱锥A1−EFG的体积为定值
D. 平面EFG截正方体所得截面的最大面积为3 34

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 如图，在三棱锥D−ABC中，AC= 3BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于______ ．


14. 对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；
②存在平面γ，使α、β都平行于γ；
③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l，m，使得l//α，l//β，m//α，m//β．
其中可以判断两个平面α与β平行的条件有______ 个.
15. 周总理纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若该组合体接于半径R的球O(即所有顶点都在球上)，记正四棱锥侧面PB1C1与正方体底面A1B1C1D1所成二面角为θ，则tanθ=______．

16. 已知一组样本数据x1，x2，…，xn(x1 22(舍)，
若球心O′在MO延长线上，设OO′=x，外接球的半径为R，连接O′E，O′A，显然O′E=O′A=R，
则OE²+x²=R²且AM²+(OM+x)²=R²，即94+x2=R254+( 22+x)2=R2，解得x= 24，R²=198，
所以外接圆的表面积S=4πR²=192π.
故选：D．
根据EA=ED，FB=FC，EF//平面ABCD，所以EF的中点O在平面ABCD的投影为AC，BD交点M，又底面ABCD为矩形，所以外接球球心在直线OM上，再由球心到多边形各顶点距离相等得半径，进而求出该羡除的外接球的表面积．
本题考查外接球的表面积，属于中档题．

9.【答案】ABD 
【解析】解：圆锥的底面半径为3，高为4，且AB=BC，
则AB=BC=3 2，AB⊥BC，
∴三棱锥S−ABC的体积为VS−ABC=13×S△ABC×SO=13×12×3 2×3 2×4=12，故A正确；
该圆锥的体积为V=13×π×32×4=12π，故B正确；
该圆锥的母线长为l= 32+42=5，故D正确；
该圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×5+π×32=24π，故C错误．
故选：ABD．
推导出AB=BC=3 2，AB⊥BC，求出三棱锥S−ABC的体积，判断A；由圆锥的体积公式判断B；由圆锥半径和高求出母线长，判断D；求出圆锥的表面积，判断C．
本题考查圆锥的结构特征、体积、表面积、母线长、棱锥的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

10.【答案】AC 
【解析】解：由折线图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试成绩都高于乙同学，所以x−1>x−2.故选项A正确；
由折线图的变化趋势可知，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，由方差的意义可得s12 22=B1H，
此时G应在CB1延长线上，故B错误；

对于C项，随着G移动但G到面A1EF的距离始终不变即A1B1，
故VA1−EFG=VG−A1EF=13×A1B1×S△A1EF=124是定值，即C正确；
对于D项，若G点靠C远，如图一所示，过G作QR//EF，即截面为四边形EFQR，
显然该截面在G为侧面CB1的中心时取得最大，最大值为98，

若G靠C近时，如图二所示，G作KJ//EF，延长EF交DD1、DA延长线于M 、H，连接MK、HJ交D1C1、AB于L、I，则截面为六边形EFIJKL，当KG为中点时取得最大值，最大值为3 34，3 34>98，即D正确；

故选：ACD．
对于A项，可以通过取B1C1，B1B的中点H 、I，连接HI交B1C于G点，判定即可；
对于B项，通过反证，利用面A1DCB1与面EFG和面BDC1的交线PG、DH是否能平行来判定；
对于C项，通过等体积法转化即可判定；
对于D项，讨论截面的形状并计算各交线长来判定即可．
本题主要考查直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系以及几何体的体积，属于中档题．

13.【答案】π6 
【解析】解：如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．
∵E，F分别是CD，AB的中点，
∵FG//AC，EG//BD，且FG=12AC，EG=12BD．
∴∠EFG为EF与AC所成的角(或其补角)．
又∵AC= 3BD，∴FG= 3EG．
又∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE=90°，
∴△EFG为直角三角形，∴tan∠EFG=EGFG= 33，又∠EFG为锐角，
∴∠EFG=30°，即EF与AC所成的角为π6．
故答案为：π6．
取BC的中点G，连接FG、EG，则∠EFG为EF与AC所成的角．通过解△EFG即可求解．
本题考查异面直线所成角的求法，考查异面直线所甩角的定义、中位线定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14.【答案】2 
【解析】解：如图取α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①；

若存在平面γ，使α、β都平行于γ，则可以判断两个平面α与β平行．②是正确的；
若α与β相交，如图所示，α∩β=l，m⊂α，p⊂α，m//l，p//l，A，B∈m，C∈p，且l与m，n两直线等距离，
则α内不共线的三点A，B，C到β的距离相等．所以排除③；

存在异面直线l，m，使得l//α，l//β，m//α，m//β．
平行移动两条异面直线l，m，使得l′//l，m′//m，可得l′与m′为相交直线，
由此则可以判断两个平面α与β平行． ④是正确的．
故答案为：2．
举反例否定①③，进而得到可以判断两个平面α与β平行的条件为②④．
本题考查线线，线面，面面的位置关系，属于中档题．

15.【答案】 3−1 
【解析】解：取B1C1的中点Q，A1D1的中点S，连接PQ，SQ，
∵P−A1B1C1D1为正四棱锥，
∴∠PQS为二面角θ的平面角，
由正方体的结构特征可知，该组合体外接球的球心O为正方体的中心，
连接OP交SQ于点M，则构成直角三角形PMQ，
∴tanθ=tan∠PQS=|PM||MQ|，
∵外接球的半径为R，∴正方体的体对角线长为2R，且|OP|=R，
∴正方体的棱长为2 33R，
∴|MP|=|OP|−|OM|=R−2 33R×12=3− 33R，|QM|=|OM|=2 33R×12= 33R，
∴tanθ=3− 33R 33R=3− 3 3= 3−1，
故答案为： 3−1．
取B1C1的中点Q，A1D1的中点S，连接PQ，SQ，则∠PQS为二面角θ的平面角，根据正方体的结构特征可知该组合体外接球的球心O为正方体的中心，进而求出正方体的棱长，在直角三角形PMQ中，由tanθ=tan∠PQS=|PM||MQ|即可求出结果．
本题主要考查了正方体的外接球问题，考查了正四棱锥的结构特征，属于中档题．

16.【答案】①③④ 
【解析】解：对于①，新数据的总数为x1+x22+x2+x32+...+xn+x12=x1+x2+...+xn，
新数据的总数为x1+x22+x2+x32+...+xn+x12=x1+x2+...+xn，
与原数据总数一样，且数据数量不变都是n，故平均数不变，故①正确；
对于②，举例原数据为：1，2.5，3，中位数为2.5，
则新数据为1.75，2.75，2，中位数为2，显然中位数变了，故②错误；
对于③，原数据极差为：xn−x1，新数据极差为：xn−1+xn2−x1+x22，
因为xn−1+xn2−x1+x22−(xn−x1)=xn−1−xn+x1−x22