2024年安徽省合肥市寿春中学中考三模数学试题（学生版+教师版）

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1. 实数，，，中，最大的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，进行作答即可．
【详解】解：依题意，，
∴最大的数是，
故选：C．
2. 中国的探月、登月计划受到世人的关注．月球与地球之间的平均距离约为384000公里，用科学记数法表示数据384000应该为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：B．
3. 如图所示为某机械零件的示意图，其主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
【详解】观察图形可知，某零件的立体图如图所示，其主视图是
故选A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、幂的乘方，据此相关运算法则进行逐项计算分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是正确的；
B、，故该选项是错误的；
C、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；
D、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；
故选：A．
5. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
由平行线的性质可求得，从而可求的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
6. 某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设年平均增长率为x，根据2020年销量为20万辆，到2022年销量增加了万辆列方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
7. 如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合），连接．若，则度数不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出，然后根据三角形外角性质对各选项进行判断．
【详解】解：四边形为的内接四边形，
，
，
，
即，
的度数不可能为．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了三角形外角性质．
8. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；画树状图表示出所有等可能得情况和恰好选中《算学启蒙》的情况，然后利用概率公式求解即可．
【详解】将四部名著《周髀算经》，《算学启蒙》，《测圆海镜》，《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D，
根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，
其中恰好选中《算学启蒙》的情况有6种
∴恰好选中《算学启蒙》的概率是．
故选：B．
9. 如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】如图连接交于，作于．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出、，在中，利用勾股定理即可解决问题．本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
【详解】解：如图连接交于，作于．
中，，，
，
，
，
，
，
，
点在的垂直平分线上．
，
点在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
是直角三角形，
垂直平分线段，
，
，
，
在中，，
故选：A．
10. 直线与抛物线位于同一坐标系内，下列关于它们的说法不正确的是（ ）
A. 当时，随的增大而增大
B. 当时，的图像一定不过第三象限
C. 当时，与交点横坐标的范围是
D. 与的图像一定有两个交点
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象和性质，掌握函数的图像和性质是解题的关键．
【详解】解：，故当时，随的增大而增大，A选项正确，不符合题意；
当时，过二，四象限，由于直线必定过，故直线过一，二，四象限，不过第三象限，B选项正确，不符合题意；
当时，，故在抛物线内部，故与的图像一定有两个交点，且与交点分在的两侧，故D选项正确，不符合题意；
由此可知，C选项不正确，符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据求一个数的算术平方根，零指数幂，进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，零指数幂是解题的关键．
12. 因式分解：__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式和公式法进行因式分解，先提公因式3，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 如图，点，过点P作轴，轴，分别交反比例函数的图像于C，B两点，连接，，若，则k的值为____．

【答案】
【解析】
【分析】延长，分别交x轴和y轴于点E和点F，易证四边形为矩形，求出矩形的面积，根据反比例函数k值的几何意义可得，即可求解．
【详解】解：延长，分别交x轴和y轴于点E和点F，
∵轴，轴，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，
∴，
∵，
∴，
∵该反比例函数图象在第三象限，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，反比例函数k值的几何意义，解题的关键是掌握矩形的判定定理和反比例函数的图象和性质．
14. 如图在正方形中，，点E是上一动点，点F在上，且，过点B作交于点G，垂足为点M：
（1）当点G是的中点时，则的长为____________；
（2）连接，则的最小值为___________；
【答案】 ①. 1 ②. ##
【解析】
【分析】（1）过F点作于H点，,则四边形，都是矩形，则可得，根据证明，则可得，又由，即可求出的长；
（2）连接交于O点，可证，则可得，取中点P，连接、，过P点作于Q点，则可得．再求出的长，根据两点之间线段最短可得当A、M、P三点共线时取最小值，由此可求得的最小值．
【详解】（1）
∵四边形是正方形，
，．
过F点作于H点，
则四边形，都是矩形，
，，
．
，，
，
又，
，
，点G是的中点，
，
，
又，，
．
故答案为：1
（2）
连接，交于O点，
，
，
，，
，
又，
，
．
，，
，
．
取中点P，连接、，过P点作于Q点，
则，
，，
，
，
．
在中，P是中点，
，
，
当A、M、P三点共线时取最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质．两点之间线段最短，直角三角形的性质．熟练掌握根据“两点之间线段最短”求最小值是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】，数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为，然后在数轴上表示即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得，
移项得：，
合并得：，
系数化为得：，
在数轴上表示为：
16. 端午节即将来临，小明和妈妈打算去超市买粽子，他们购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，已知每个肉粽比素粽多1元，那么每个肉粽多少元?
【答案】5元．
【解析】
【分析】设每个肉粽元，则每个素粽元，利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设每个肉粽元，则每个素粽元，
依题意得：，
解得：．
答：每个肉粽5元．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知网格的每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）将先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，画出， 并写出点的对应点的坐标；
（2）画出绕点按逆时针方向旋转的， 并写出点的坐标．
【答案】（1）画图见解析，
（2）画图见解析，
【解析】
【分析】本题考查图形的平移和旋转，
（1）根据点平移的性质，画出图形，即可求解；
（2）由旋转的性质，画出图形，即可求解．
熟练掌握图形平移和旋转的性质，准确画图是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，向右平移2个单位长度得到，
再向下平移3个单位长度得到；
【小问2详解】
如图，点的坐标为
18. 观察下列等式：
①；
；
③；
……
根据上述各题的规律，解决下列问题：
（1）完成第⑤个等式：
（2）请你猜想第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性．
【答案】（1），
（2），验证见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了数字变化规律，根据已知数字得出数字之间的变与不变是解题关键．
（1）根据题目提供的算式直接写出答案即可；
（2）写出第个算式然后展开验证即可．
【小问1详解】
解：第⑤个等式：；
故答案为：，；
【小问2详解】
解：猜想：第个等式为：，
验证：左边，右边，
所以左边右边，
所以．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 位于安徽省合肥市的渡江纪念馆旁的胜利塔是合肥滨湖新区的标志性建筑．它体现的是中国正义之师的历史功绩和光辉荣耀．如图，某兴趣小组想测量胜利塔的高度，先在A处仰望它顶C，测得仰角为，再往塔的方向前进120米到B处，测得仰角为．
（1）求第一次测量点A到塔顶C的距离的长．
（2）求胜利塔的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，）
【答案】（1）第一次测量点A到塔顶C的距离的长为168米
（2）胜利塔的高度为101米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于熟练掌握三角函数的定义．
（1）过点B作于点E，解直角三角形求出（米），（米），求出，解直角三角形得出（米），计算求解即可；
（2）在中解直角三角形求出结果即可．
【小问1详解】
解：过点B作于点E，如图所示：
则，
在中，，米，
∴（米），
（米），
∵，，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：第一次测量点A到塔顶C的距离的长为168米．
【小问2详解】
解：∵在中，米，，
∴（米），
答：胜利塔的高度为101米．
20. 如图，为的直径，过上一点C作的切线交延长线于点P，于点D．

（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）先由切线性质得出，再结合，得出，进行角的等量代换，得出，再结合等边对等角，即可作答．
（2）连接，由，得，可证明，进而证明，得，则，所以，由，得，，则，所以，则，求得．
【小问1详解】
解：连接，如图：

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：连接，

，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
线段的长为．
【点睛】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 为了解甲、乙两校九年级学生对《校园安全》的学习情况，每个学校随机抽取20个学生进行测试，测试后对学生的成绩进行了整理和分析．
信息一：绘制成了如下两幅统计图．
（数据分组为：A组：，B组：，C组：，D组：）
信息三：甲、乙两校成绩的平均数，中位数，众数如表：
信息二： 甲校学生的测试成绩在C组的是：80，82.5，82.5，85，86，89，89.5，82.5，85．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中C组所在的圆心角度数为 ，乙校学生的测试成绩位于D组的人数为 人，表格中 ，
（2）在此次测试中，甲校小明和乙校小华的成绩均为82分，则两位同学谁在各自学校测试成绩中的排名更靠前?并说明理由；
（3）假设甲校学生共有800入参加此次测试，估计甲校成绩超过87分的人数．
【答案】（1），，
（2）小华的成绩排名在前；理由见解析
（3）人
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，中位数、众数、平均数以及扇形统计图，理解中位数、众数的定义是正确解答的关键.
（1）求出乙校组所占的百分比即可求出相应的圆心角度数；进而求出组的人数；根据中位数的定义进行判断即可；
（2）根据甲、乙两个学校的中位数以及小明、小华的成绩进行判断即可；
（3）求出甲校成绩在86分以上的学生所占的百分比，进而求出整体中成绩在分以上的学生人数.
【小问1详解】
；
(人)；
将甲校的名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为，即；
故答案为：，，；
【小问2详解】
小华的成绩排名在前；理由如下：
小明的成绩为分，在甲校中位数分以下，而小华的成绩分，在乙校中位数分以上，因此小华的成绩排名靠前；
【小问3详解】
(人),
答：估计甲校学生中成绩超过分的大约有人.
七、（本题满分12分）
22. 材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用．
问题：某厂商生产产品中有一种蓝球工艺品，已知该工艺品销路很好，它的成本C（元）与生产量x（个）的关系式为：
（1）求该工艺品的固定成本和可变成本．
（2）市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销量单价（元/个）之间的对应关系如下图所示：

①销量与销量单价之间的函数关系式．
②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少?
【答案】（1）固定成本为元，可变成本为元
（2）①；②售价为20或21元时，最大利润是26340元．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数最大利润问题，一次函数的解析式等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据“固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数”，以及“可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用”，即可作答．
（2）①运用待定系数法求解销量与销量单价之间的函数关系式；
②经分析列式得，结合二次函数性质，得出开口向下，在有最大值，考虑为整数，得出或时，有最大值，再代入计算，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，
∵它的成本C（元）与生产量x（个）的关系式为：，且可变成本与该产品生产的件数有关，
∴该工艺品的固定成本为元，可变成本为元
【小问2详解】
解：①设销量与销量单价之间的函数关系式
把代入
得
解得
∴
设利润为
依题意，得出
整理得出
∵
∴开口向下，在有最大值，
∵为整数，
∴或时，有最大值
∴
则当售价为20或21元时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是26340元．
八、（本题满分14分）
23. 如图，在中，，是边的中线，，交于点M，过点M作交的平行线于点F，交于点N．
（1）求证：；
（2）求证：平分；
（3）若，求的值．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）由“等腰三角形三线合一”的性质可得，再根据平行线的判定可得．又由，可得四边形是平行四边形，则可得．
（2）先证，则可得．又由，可得．再证，则可得，即可得．
（3）先证，则可得．再证，则可得．设，，则，，则可得，求出的值即可．
【小问1详解】
∵在中，，是边的中线，
，
又，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
．
【小问2详解】
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
∴平分．
【小问3详解】
和中，
，
，
，
又，
，
又，，
，
．
设，，
则，，
，
得，
，
，
解得或（舍去），
．
【点睛】本题考查了“等腰三角形三线合一”的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大．熟练掌握以上知识，利用设未知数法及整体思想求的值是解题的关键．

平均数
中位数
众数
甲校
83.2
82.3
乙校
80.6
81
80