江苏省盐城市2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

这是一份江苏省盐城市2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知双曲线，3600的正因数的个数是，设等比数列的公比为，，设甲，已知直线与圆等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：苏教版选择性必修第一册，选择性必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ）
A.14B.64C.72D.80
2.已知，则下列向量中与平行的是（ ）
A.B.C.D.
3.下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A.某电子元件的寿命
B.某人早晨在车站等出租车的时间
C.高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
D.测量某零件的长度产生的测量误差
4.设点，，.若，则点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
5.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，若该数据的残差为0.6，则（ ）
A.23.4B.23.6C.23.8D.24.0
6.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（ ）
A.20B.22C.28D.36
7.3600的正因数的个数是（ ）
A.55B.50C.45D.40
8.设等比数列的公比为，，设甲：；乙：，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（ ）
A.B.C.D.
10.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到，，，，，六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A.如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B.如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种
C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D.如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
11.如图，在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面上的一点，且平面，则下列说法正确的是（ ）
A.B.存在点，使得
C.的最小值为D.的最大值为6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设随机变量，则________.
13.有甲、乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：
已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是________.
①列联表中的值为20，的值为40；
②列联表中的值为30，的值为50；
③根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；
④根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.
附：，其中.
14.由0、1、2、3、4、5、6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有________个.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知，求数列的前项和.
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.
18.（本小题满分17分）
在平面直角坐标系中，点，为动点，以为直径的圆与轴相切，记的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设为直线上的动点，过的直线与相切于点，过作直线的垂线交于点，求面积的最小值.
19.（本小题满分17分）
甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为，乙射击一次命中的概率为，比赛共进行轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击次，每次命中得2分，未命中得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0分，并终止射击.
（1）设甲同学在方案一中射击轮次总得分为随机变量，求；
（2）甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定的最小值，使得当时，甲的总得分期望大于乙.
高二年级2023~2024学年度第二学期考试・数学
参考答案、提示及评分细则
1.B 因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，
所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有种，故选B.
2.B 对于A，因为，所以A不正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，所以C不正确；
对于D，因为，所以D不正确.故选B.
3.C 某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量；
等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量；
一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；
测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量.故选C.
4.B 设，则，而，则，
有所以.故选B.
5.A 由题意可知，，，
将代入，即，解得，
所以，
当时，，
则.故选A.
6.C 由题意知，，所以，又，所以，所以的周长为.故选C.
7.C 由题意，因此正因数的个数是.故选C.
8.C 考虑充分性：因为，当时，，所以，满足充分性；
考虑必要性：，即，当，，当时，正负交替，不可能恒大于0，当时，，当，，满足必要性，所以甲是乙的充要条件，故选C.
9.ABC 当直线过的中点，且与垂直时，因为的中点为，，所以直线的方程为，即；
当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为，所以，解得或，所以直线的方程为或.故选ABC.
10.BD 安排甲、乙、丙三位同学到，，，，，六个社区进行暑期社会实践活动，
选项A：如果社区必须有同学选择，
则不同的安排方法有（种）.判断错误；
选项B：如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有（种）.判断正确；
选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，
则不同的安排方法共有（种）.判断错误；
选项D：如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，
则不同的安排方法共有（种）.判断正确.故选BD.
11.ACD 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，所以，，，所以，，所以平面，又平面，所以.故A正确；
设，所以，所以，即，所以.，，，
解得，又，故B错误；
，
所以，故C正确；
，，
所以，，
所以.故D正确.故选ACD.
12. ∵随机变量服从，∴.
13.①④ 由题意得在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，
则成绩非优秀的学生有人，甲班有40人，则乙班30人，即，
成绩优秀的学生有30人，甲班由10人，则乙班有20人，即，
故①正确，②错误；
由列联表可得，
故按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”，③错误，④正确.
14.90 ①0排在第6位时，共有个数；
②0排在第5位时，共有个数；
③0排在第4位时，共有个数；
故这样的七位数共有个.
15.解：（1）设等差数列的公差为.
由，，有①，②
联立①②解方程组可得
则；
（2）由题知，
则.
16.（1）证明：∵是等边三角形，为的中点.
所以是等边的中线，所以，
又∵平面，平面，∴，
又∵平面，平面，，∴平面；
（2）解：取的中点，连接，，因为平面，，
所以平面，
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
∴，.
设平面的法向量为，
由
令，则，，
∴.
显然平面的一个法向量为，
∴，
故平面与平面夹角的余弦值为.
17.解：（1），由题意可知，，即，
设当时，，不符题意，
当时，设，则，单调递增，
又，所以，经检验符合题意；
（2）因为在上恒成立，所以，所以，
又，，
①当时，恒成立，所以单调递增，所以.
所以单调递增，所以，符合题意；
②当时，令，解得，
则当时，，单调递减，所以，
所以单调递减，所以，不符题意；
综上，的取值范围为.
18.解：（1）设，则线段的中点坐标为，
因为以为直径的圆与轴相切，
所以，
化简得，所以的方程为；
（2）设，由，，则点处的切线斜率为，
所以直线方程为，整理为，
令，则，所以，
易知直线斜率为，所以直线：，整理为，
与联立可得，有，
解得，即的横坐标为，
所以，
，
所以面积为
又，当且仅当时，等号成立，
所以的面积最小值为.
19.解：（1）设，故，
所以，
故；
（2）由（1）知，
设乙同学的总得分为随机变量，的所有可能取值为0，6，12， …， ，
所以，，…，，，，
所以，
设，
则，
故，
即，代入，
故，
设，
易知，当时，，且，
则满足题意的最小为12.
色差
21
23
25
27
色度
15
18
19
20
优秀
非优秀
总计
甲班
10
乙班
30
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828