2024年山东省枣庄市台儿庄区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年山东省枣庄市台儿庄区中考数学一模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算正确的是( )
A. (−3x)2=−9x2B. 7x+5x=12x2
C. (x−3)2=x2−6x+9D. (x−2y)(x+2y)=x2+4y2
2.刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约400000000千米，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”.其中数字400000000用科学记数法表示为( )
A. 4×108B. 4×106C. 0.4×108D. 4000×104
3.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个球，则两次取出的小球标号相同的概率是( )
A. 13B. 19C. 29D. 49
4.在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，将△ABC先向左平移3个单位，再作出其关于x轴的对称图形，则A点的对应点的坐标为( )
A. (−3,−2)
B. (−1,−2)
C. (−2,−2)
D. (−2,−3)
5.若关于x的不等式组4(x−1)>3x−15x>3x+2a的解集为x>3，则a的取值范围是( )
A. a>3B. a<3C. a≥3D. a≤3
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE/​/AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5，DF=3，则下列结论错误的是( )
A. BF=1
B. DC=3
C. AE=5
D. AC=9
7.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A(2,3)，B(m,−2)，则不等式ax+b>kx的解是( )
A. −32B. x<−3或0C. −22D. −33
8.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称.下列五个结论：
①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2+bm>a+b；⑤3a+c>0.其中正确的有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
9.如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为( )
A. 52π−74
B. 52π−72
C. 54π−74
D. 54π−72
10.如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM=PC，则AM的长为( )
A. 3( 3−1)
B. 3(3 3−2)
C. 6( 3−1)
D. 6(3 3−2)
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若|a−1|+(b−3)2=0，则 a+b= ______．
12.因式分解：ax2−2ax+a=______．
13.若关于x的分式方程1−xx−2=m2−x−2有增根，则m的值是______．
14.如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为______．
15.如图，点P在函数y= 3x(x>0)的图象上运动，O为坐标原点，点A为PO的中点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P，则当⊙P与坐标轴相切时，点P的坐标为______．
16.在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2(1,0)，A3(1,1)，A4(−1,1)，A5(−1,−1)，A6(2,−1)，A7(2,2)，….若到达终点An(506,−505)，则n的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(3.14−π)0−(−12)−2+2cs60°−|1− 3|+ 12；
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−1x+1)÷xx2+2x+1，其中x=2．
19.(本小题8分)
市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分(满分为10分).依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：
甲队成绩统计表
请根据图表信息解答下列问题：
(1)填空：α= ______°，m= ______；
(2)补齐乙队成绩条形统计图；
(3)①甲队成绩的中位数为______，乙队成绩的中位数为______；
②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．
20.(本小题9分)
如图，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB=12，AB=2．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO=45°，求点C的坐标．
21.(本小题8分)
创建文明城市，构建美好家园.为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶.若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
(1)求两种型号垃圾桶的单价；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，且∠BCD=12∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若sinB=35，⊙O的半径为3，求AC的长．
23.(本小题12分)
(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH.求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的长．
24.(本小题12分)
如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点B的坐标为(1,0)，对称轴是直线x=−1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点P在线段AO上运动(点P与点A、点O不重合)，求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵(−3x)2=9x2，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵7x+5x=12x，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵(x−3)2=x2−6x+9，
∴C选项的运算正确，符合题意；
∵(x−2y)(x+2y)=x2−4y2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C．
利用幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式对每个选项进行主要判断即可得出结论．
本题主要考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握上述性质与公式是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：400000000=4×108．
故选：A．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种，
∴两次摸出的小球标号相同的概率是39=13．
故选：A．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4.【答案】D
【解析】解：如图所示：
△A′B′C′为平移后的三角形；
△A″B″C″为关于x轴的对称图形．
由图可知，A点的对应点A″(−2,−3)．
故选：D．
先根据平移的性质画出平移后的三角形，再根据关于x轴的点的坐标特点描出各点，把各点连接起来，得出A点坐标即可．
本题考查的是坐标与图形变化，熟知关于x轴对称的图形与图形平移的性质是解答此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：4(x−1)>3x−1①5x>3x+2a②，
解不等式①得：x>3，
解不等式②得：x>a，
∵不等式组的解集是x>3，
∴a≤3．
故选：D．
用含a的式子表示出不等式的解，结合条件进行求解即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
6.【答案】A
【解析】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DF⊥AB，
∴∠1=∠2，DC=DF=3，∠C=∠DFB=90°，
∵DE//AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE=DE=5，
故选项B、C正确；
∴CE= DE2−CD2= 52−32=4，
∴AC=AE+CE=5+4=9，故选项D正确；
故选：A．
根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；从而可得到答案．
本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】A
【解析】解：∵A(2,3)在反比例函数上，
∴k=6．
又B(m,−2)在反比例函数上，
∴m=−3．
∴B(−3,−2)．
结合图象，
∴当ax+b>kx时，−32．
故选：A．
依据题意，首先求出B点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．
本题主要考查反比例函数、一次函数的图象和性质，通过图象直接得出一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围．
8.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称，
∴−b2a=1，
∵a>0，
∴b=−2a<0，
∵c<0，
∴abc>0，
故①正确；
∴b=−2a，
∴2a+b=0，
故②正确；
∵x=0时，y<0，对称轴为直线x=1，
∴x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，
故③错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
故④错误；
∵x=−1时，y>0，
∴a−b+c>0，
∴b=−2a，
∴3a+c>0．
故⑤正确．
故选：B．
由抛物线开口方向以及与y轴的交点可知a>0，c<0，根据对称轴为直线x=1得出b=−2a<0，即可判断①；由对称轴为直线x=1得出2a+b=0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由x=−1时，y>0，得出a−b+c>0，由b=−2a得出3a+c>0即可判断⑤．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，
由题意得：OA2=12+22=5，
OC2=12+22=5，
AC2=12+32=10，
∴OA2+OC2=AC2，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC=90°，
∵AO=OC= 5，
∴图中阴影部分的面积=扇形AOC的面积−△AOC的面积−△ABC的面积
=90π×( 5)2360−12OA⋅OC−12AB⋅1
=5π4−12× 5× 5−12×2×1
=5π4−52−1
=5π4−72，
故选：D．
作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明△AOC是直角三角形，从而可得∠AOC=90°，然后根据图中阴影部分的面积=扇形AOC的面积−△AOC的面积−△ABC的面积，进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：方法1：
∵PM=PC，
∴∠PMC=∠PCM，
∴∠DPA=∠PMC+∠PCM=2∠PCM=2∠PAD，
∵∠DPA+∠PAD=90°，
∴∠APD=60°，∠PAD=30°，
∴PD=AD 3=2 3，∠CPM=120°，
∴CP=CD−PD=6−2 3，
在△PCM中，∠CPM=120°，PM=PC，
∴CM= 3CP=6 3−6，
由正方形对称性知AM=CM=6( 3−1)，
故选：C．
方法2：
以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：
∵正方形ABCD边长为6，
∴A(0,6)，D(6,6)，C(6,0)，
由B(0,0)，D(6,6)可得直线BD解析式为y=x，
设M(m,m)，
由A(0,6)，M(m,m)得直线AM解析式为y=m−6mx+6，
在y=m−6mx+6中，令x=6得y=12m−36m，
∴P(6,12m−36m)，
∵PM=PC，
∴(m−6)2+(m−12m−36m)2=(12m−36m)2，
∴m2−12m+36+m2−2(12m−36)+(12m−36m)2=(12m−36m)2，
整理得m2−18m+54=0，
解得m=9+3 3(不符合题意，舍去)或m=9−3 3，
∴M(9−3 3,9−3 3)，
∴AM= (9−3 3)2+(9−3 3−6)2=6( 3−1)，
故选：C．
以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，由正方形ABCD边长为6，可知A(0,6)，D(6,6)，C(6,0)，直线BD解析式为y=x，设M(m,m)，可得直线AM解析式为y=m−6mx+6，即得P(6,12m−36m)，由PM=PC，有(m−6)2+(m−12m−36m)2=(12m−36m)2，解得m=9+3 3(不符合题意，舍去)或m=9−3 3，故M(9−3 3,9−3 3)，从而求出AM=6( 3−1)．
本题考查正方形性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出M的坐标．
11.【答案】2
【解析】解：|a−1|+(b−3)2=0，
∵|a−1|≥0，(b−3)2≥0，
∴a−1=0，b−3=0，
则a=1，b=3，
那么 a+b= 1+3=2，
故答案为：2．
根据绝对值及偶次幂的非负性求得a，b的值，然后代入 a+b中计算即可．
本题考查绝对值及偶次幂的非负性和算术平方根的定义，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．
12.【答案】a(x−1)2
【解析】【分析】
此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式．
【解答】
解：ax2−2ax+a
=a(x2−2x+1)
=a(x−1)2．
故答案为：a(x−1)2．
13.【答案】1
【解析】解：∵1−xx−2=m2−x−2，
去分母，得：1−x=−m−2(x−2)；
∵分式方程有增根，
∴x=2，
把x=2代入1−x=−m−2(x−2)，
则1−2=−m−2(2−2)，
解得：m=1；
故答案为：1．
先把分式方程去分母变为整式方程，然后把x=2代入计算，即可求出m的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】12
【解析】解：由图可得，
AC= 12+12= 2，AB= 12+32= 10，BC= 22+22=2 2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB是直角三角形，
∴tan∠ABC=ACBC= 22 2=12，
故答案为：12．
根据题意和图形，可以求得AC、BC和AB的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ACB的形状，然后即可求得∠ABC的正弦值．
本题考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】( 3,1)或(1, 3)
【解析】【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式以及切线的性质，解题的关键是分圆P与x(或y)轴相切分类讨论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出点P的坐标，根据切线的性质，找出P点坐标与半径之间的关系是关键．
结合点P在反比例函数图象上，设出点P的坐标，由两点间的距离公式求出OP的长度，由点A为OP的中点，即可找出PA的长度，再根据相切的两种不同形式分类，结合点P的坐标以及圆的半径即可得出关于P点横坐标的一元高次方程，解方程即可得出结论．
【解答】
解：∵点P为函数y= 3x(x>0)的图象上的点，
∴设点P的坐标为(n, 3n)(n>0)．
∴OP= n2+( 3n)2．
∵点A为PO的中点，
∴PA=12OP=12 n2+( 3n)2．
⊙P与坐标轴相切分两种情况：
①⊙P与x轴相切，此时有12 n2+( 3n)2= 3n，
整理得：n2=9n2，解得：n2=3，或n2=−3(舍去)，
解n2=3，得：n1= 3，n2=− 3(舍去)，
此时点P的坐标为( 3,1)；
②⊙P与y轴相切，此时有12 n2+( 3n)2=n，
整理得：n2=1n2，解得：n2=1，或n2=−1(舍去)，
解n2=1，得：n3=1，a4=−1(舍去)，
此时点P的坐标为(1, 3).
综上可知：点P的坐标为( 3,1)或(1, 3).
故答案为( 3,1)或(1, 3).
16.【答案】2022
【解析】解：由题知，
点A3的坐标为(1,1)；
点A7的坐标为(2,2)；
点A11的坐标为(3,3)；
点A15的坐标为(4,4)；
…，
由此可见，点A4n−1的坐标可表示为(n,n)(n为正整数)，
当n=506时，
4n−1=2023，
即点A2023的坐标为(506,506)，
所以点A2022的坐标为(506,−505)．
即n的值为2022．
故答案为：2022．
根据所给点的运动方式，发现第一象限角平分线上点的坐标规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的运动方式发现点A4n−1的坐标可表示为(n,n)(n为正整数)是解题的关键．
17.【答案】解：(3.14−π)0−(−12)−2+2cs60°−|1− 3|+ 12
=1−4+1− 3+1+2 3
= 3−1．
【解析】根据零指数幂，负整数指数幂以及特殊角三角函数值的运算法则，求之即可．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算的法则是关键．
18.【答案】解：(1−1x+1)÷xx2+2x+1
=x+1−1x+1⋅(x+1)2x
=xx+1⋅(x+1)2x
=x+1，
当x=2时，
原式=2+1=3．
【解析】先把括号里面进行通分，再把除法化为乘法，进行约分，最后代入求值．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19.【答案】解：(1)126， 2 ;
(2)乙队7分人数为：20−4−5−4=7(人)，
补齐乙队成绩条形统计图如下：
(3)①7.5 8
②甲队成绩的平均数为：120×(7×10+8+9×2+10×7)=8.3；
乙队成绩的平均数为：120×(7×7+8×4+9×5+10×4)=8.3；
因为甲、乙两队成绩的平均数相同，但乙队的中位数比甲队大，所以乙运动队的成绩较好．
【解析】解：(1)由题意得，α=360−72−72−90=126；
乙队人数为：5÷90360=20(人)，
故m=20−10−1−7=2．
故答案为：126；2；
(2)见答案；
(3)①甲队成绩的中位数为：7+82=7.5；
乙队成绩的中位数为：8+82=8；
故答案为：7.5；8；
②见答案．(1)用360°分别减去其它三部分的度数可得α的值；根据乙队9分的人数和它所占比例可得乙队人数，再根据两队人数相等可得m的值；
(2)先求出7分的人数，再补齐乙队成绩条形统计图；
(3)①根据中位数的定义解答即可；
②根据加权平均数公式解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：(1)∵AB⊥y轴于点B，
∴∠OBA=90°，
在Rt△OBA中，AB=2，tan∠AOB=ABOB=12，
∴OB=4，
∴A(2,4)，
∵点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=4×2=8；
∴反比例函数的解析式为y=8x；
(2)如图，过A作AF⊥x轴于F，
∴∠AFD=90°，
∵∠ADO=45°，
∴∠FAD=90°−∠CDE=45°，
∴AF=DF=OB=8，
∵OF=AB=2，
∴OD=6，
∴D(6,0)，
设直线AC的解析式为y=ax+b，
∵点A(2,4)，D(6,0)在直线AC上，
∴2a+b=46a+b=0，
∴a=−1b=6，
∴直线AC的解析式为y=−x+6①，
由(1)知，反比例函数的解析式为y=8x②，
联立①②解得，x=2y=4或x=4y=2，
∴C(4,2)．
【解析】(1)根据锐角三角函数求出OB，进而求出点A坐标，最后用待定系数法即可求出k；
(2)过A作AF⊥x轴于F，求出点D坐标，进而求出直线AC的解析式，最后联立双曲线解析式求解，求出点C的坐标，即可求出OC．
此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的性质，解方程组，作出辅助线求出直线AC的解析式是解(2)的关键．
21.【答案】解：(1)设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得：3x+4y=5806x+5y=860，
解得：x=60y=100，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
(2)设A型垃圾桶a个，
由题意可得：60a+100(200−a)≤15000，
a≥125，
答：至少需购买A型垃圾桶125个．
【解析】(1)设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，根据购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元，列出二元一次方程组，求解即可；
(2)设A型垃圾桶a个，根据总费用不超过15000元，列出不等式，即可求解．
本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
22.【答案】解：(1)直线AB与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠DOB=∠OCD+∠ODC=2∠BCD，
∴∠BCD=12∠BOD，
∵∠BCD=12∠A，
∴∠BOD=∠A，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠BOD+∠B=90°，
∴∠BDO=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
(2)∵sinB=ODOB=35，OD=3，
∴OB=5，
∴BC=OB+OC=8，
在Rt△ACB中，sinB=ACAB=35，
∴设AC=3x，AB=5x，
∴BC= AB2−AC2=4x=8，
∴x=2，
∴AC=3x=6．
【解析】(1)连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD=∠ODC，求得∠DOB=∠OCD+∠ODC=2∠BCD，等量代换得到∠BOD=∠A，求得∠BDO=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)根据三角函数的定义得到OB=5，求得BC=OB+OC=8，设AC=3x，AB=5x，根据勾股定理得到BC= AB2−AC2=4x=8，于是得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠ADE=90°，
∴∠CDF+∠DFC=90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE=90°，
∴∠CDF+∠AED=90°，
∴∠AED=∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，AD//BC，∠ADE=∠DCF=90°，
在Rt△ADE和Rt△DCF中，
AE=DFAD=DC
∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，
∴DE=CF，
∵CH=DE，
∴CF=CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH=∠DCF=90°，
在△DCF和△DCH中，
CF=CH∠DCF=∠DCHDC=DC
∴△DCF≌△DCH(SAS)，
∴∠DFC=∠H，
∵AD/​/BC，
∴∠ADF=∠DFC，
∴∠ADF=∠H；
(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG=DE=8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，AD//BC，
∴∠ADE=∠DCG，
在△ADE和△DCG中
AD=DC∠ADE=∠DCGDE=CG
∴△ADE≌△DCG(SAS)，
∴∠DGC=∠AED=60°，AE=DG，
∵AE=DF，
∴DG=DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG=DF=11，
∵CF+CG=FG，
∴CF=FG−CG=11−8=3，
即CF的长为3．
【解析】(1)由矩形的性质得∠C=∠ADE=90°，再证∠AED=∠DFC，即可得出结论；
(2)证Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，得DE=CF，再证△DCF≌△DCH(SAS)，得∠DFC=∠H，然后由平行线的性质得∠ADF=∠DFC，即可得出结论；
(3)延长BC至点G，使CG=DE=8，连接DG，△ADE≌△DCG(SAS)，得∠DGC=∠AED=60°，AE=DG，再证△DFG是等边三角形，得FG=DF=11，即可解决问题．
本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)∵抛物线对称轴是直线x=−1，点B的坐标为(1,0)，
∴点A的坐标为(−3,0)，
∴二次函数解析式为y=(x−1)(x+3)=x2+2x−3；
(2)连接ON，如图：
设P(m,0)，则N(m,m2+2m−3)，
在y=x2+2x−3中，令x=0得y=−3，
∴C(0,−3)，
∴OC=3，
∴S四边形ABCN=S△AON+S△BOC+S△CON
=12×3(−m2−2m+3)+12×1×3+12×3(−m)
=−32m2−92m+6
=−32(m+32)2+758，
∵−32<0，
∴当m=−32时，S四边形ABCN取最大值758，
此时P(−32,0)；
∴四边形ABCN面积的最大值是758，此时点P的坐标为(−32,0)；
(3)在y轴上存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
由A(−3,0)，C(0,−3)得直线AC解析式为y=−x−3，
设Q(0,t)，P(n,0)，则M(n,−n−3)，N(n,n2+2n−3)，
∵MN//CQ，
∴当M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形时，MN，CQ是一组对边；
①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN=CQ，
∴−n−3−3=t+n2+2n−3n2+(n2+2n)2=(t+3)2，
解得n=0t=−3(此时M，N与C重合，舍去)或n=−2t=−1；
∴Q(0,−1)；
②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ=CM，
∴−n−3+t=n2+2n−3−3(t+3)2=n2+(−n)2，
解得n=0t=−3(舍去)或n=−3+ 2t=−1−3 2或n=−3− 2t=−1+3 2，
∴Q(0,−1−3 2)或(0,−1+3 2)；
综上所述，Q的坐标为(0,−1)或(0,−1−3 2)或(0,−1+3 2).
【解析】(1)由抛物线对称轴是直线x=−1，点B的坐标为(1,0)，得点A的坐标为(−3,0)，故二次函数解析式为y=(x−1)(x+3)=x2+2x−3；
(2)连接ON，设P(m,0)，则N(m,m2+2m−3)，可得S四边形ABCN=S△AON+S△BOC+S△CON=−32m2−92m+6=−32(m+32)2+758，根据二次函数的性质可得答案；
(3)由A(−3,0)，C(0,−3)得直线AC解析式为y=−x−3，设Q(0,t)，P(n,0)，则M(n,−n−3)，N(n,n2+2n−3)，由MN//CQ，知MN，CQ是一组对边；分两种情况：①当MC，NQ为对角线时，MC，NQ的中点重合，且CN=CQ，②当MQ，CN为对角线时，MQ，CN的中点重合，且CQ=CM，分别列出方程组，即可解得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，菱形性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．成绩
7分
8分
9分
10分
人数
10
1
m
7