2023年山东省枣庄市台儿庄区中考数学三调试卷(含解析)
展开这是一份2023年山东省枣庄市台儿庄区中考数学三调试卷(含解析),共26页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2023年山东省枣庄市台儿庄区中考数学三调试卷
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 以下计算正确的是( )
A. (−2ab2)3=−6a3b6 B. 3ab+2b=5ab
C. (−x2)⋅(−2x)3=−8x5 D. 2m(mn2−3m2)=2m2n2−6m3
2. 如图,AB//CD,EF与AB,CD分别交于点G,H,∠CHG的平分线HM交AB于点M,若∠EGB=50°,则∠GMH的度数为( )
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°
3. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A. (x+2)(x−2)=x2−4 B. x2−4+4x=(x+2)(x−2)+4x
C. x2−12x+116=(x−14)2 D. x2−1y2=(x+1y)(x−1y)
4. 如图,菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合,点A(−2,5),则点C的坐标是( )
A. (5,−2) B. (2,−5) C. (2,5) D. (−2,−5)
5. 将直线y=2x+1向上平移2个单位,相当于( )
A. 向左平移2个单位 B. 向左平移1个单位 C. 向右平移2个单位 D. 向右平移1个单位
6. 若关于x的方程2x=m2x+1无解,则m的值为( )
A. 0 B. 4或6 C. 6 D. 0或4
7. 正整数a、b分别满足353 A. 16 B. 9 C. 8 D. 4
8. 如图,在半径为 13的⊙O中,弦AB与CD交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD的长是( )
A. 2 6 B. 2 10 C. 2 11 D. 4 3
9. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,有如下结论:
①abc>0;
②2a+b=0;
③3b−2c<0;
④am2+bm≥a+b(m为实数).
其中正确结论的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10. 如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF//BC,分别交AB,CD于E、F,连接PB、PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为( )
A. 10 B. 12 C. 16 D. 18
二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)
11. 已知9m=3,27n=4,则32m+3n= ______ .
12. 从不等式组2x+3≤x+92x+43−1>2−x所有整数解中任取一个数,它是偶数的概率是______.
13. 已知⊙O的直径AB长为2,弦AC长为 2,那么弦AC所对的圆周角的度数等于______.
14. 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,DB平分∠ADC.若AD=1,CD=3,则sin∠ABD= .
15. 按一定顺序排列的一列数叫做数列,如数列:12,16,112,120,…,则这个数列前2023个数的和为______ .
16. 如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,G是AD的中点,线段EF在边AB上左右滑动,若EF=1,则GE+CF的最小值为______.
三、解答题(本大题共8小题,共72.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题8.0分)
已知x+1x=3,求下列各式的值:
(1)x−1x;
(2)x4+1x4.
18. (本小题8.0分)
为了加强心理健康教育,某校组织七年级(1)(2)两班学生进行了心理健康常识测试(分数为整数,满分为10分),已知两班学生人数相同,根据测试成绩绘制了如下所示的统计图.
(1)求(2)班学生中测试成绩为10分的人数;
(2)请确定下表中a,b,c的值(只要求写出求a的计算过程);
统计量
平均数
众数
中位数
方差
(1)班
8
8
c
1.16
(2)班
a
b
8
1.56
(3)从上表中选择合适的统计量,说明哪个班的成绩更均匀.
19. (本小题8.0分)
某景区A、B两个景点位于湖泊两侧,游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达.观测得景点B在景点A的北偏东30°,从景点A出发向正北方向步行600米到达C处,测得景点B在C的北偏东75°方向.
(1)求景点B和C处之间的距离;(结果保留根号)
(2)当地政府为了便捷游客游览,打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥.大桥修建后,从景点A到景点B比原来少走多少米?(结果保留整数.参考数据: 2≈1.414, 3≈1.732)
20. (本小题8.0分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(−1,2),AB⊥x轴于点E,正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=n−3x的图象相交于A,P两点.
(1)求m,n的值与点A的坐标;
(2)求证:△CPD∽△AEO;
(3)求sin∠CDB的值.
21. (本小题8.0分)
在数的学习过程中,我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇,如学习自然数时,我们发现一种特殊的自然数--“好数”.
定义:对于三位自然数n,各位数字都不为0,且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除,则称这个自然数n为“好数”.
例如:426是“好数”,因为4,2,6都不为0,且4+2=6,6能被6整除;
643不是“好数”,因为6+4=10,10不能被3整除.
(1)判断312,675是否是“好数”?并说明理由;
(2)求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数,并说明理由.
22. (本小题10.0分)
如图,用四根木条钉成矩形框ABCD,把边BC固定在地面上,向右边推动矩形框,矩形的形状会发生改变(四边形具有不稳定性).
(1)通过观察分析,我们发现图中线段存在等量关系,如线段EB由AB旋转得到,所以EB=AB.我们还可以得到FC=______,EF=______;
(2)进一步观察,我们还会发现EF//AD,请证明这一结论;
(3)已知BC=30cm,DC=80cm,若BE恰好经过原矩形DC边的中点H,求EF与BC之间的距离.
23. (本小题10.0分)
定义:对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形.
(1)下面四边形是垂等四边形的是______;(填序号)
①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形
(2)图形判定:如图1,在四边形ABCD中,AD//BC,AC⊥BD,过点D作BD垂线交BC的延长线于点E,且∠DBC=45°,证明:四边形ABCD是垂等四边形.
(3)由菱形面积公式易知性质:垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半.应用:在图2中,面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中,∠BCD=60°.求⊙O的半径.
24. (本小题12.0分)
已知抛物线经过A(−1,0)、B(0,3)、C(3,0)三点,O为坐标原点,抛物线交正方形OBDC的边BD于点E,点M为射线BD上一动点,连接OM,交BC于点F.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求证:∠BOF=∠BDF;
(3)是否存在点M,使△MDF为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求ME的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:A、(−2ab2)3=−8a3b6,故A不符合题意;
B、3ab与2b不属于同类项,不能合并,故B不符合题意;
C、(−x2)⋅(−2x)3=8x5,故C不符合题意;
D、2m(mn2−3m2)=2m2n2−6m3,故D符合题意;
故选:D.
利用合并同类项的法则,单项式乘单项式的法则,单项式乘多项式的法则,积的乘方的法则对各项进行运算即可.
本题主要考查合并同类项,积的乘方,单项式乘单项式,单项式乘多项式,解答的关键是对相应的运算法则的掌握.
2.【答案】D
【解析】解:∵AB//CD,
∴∠EHD=∠EGB=50°,
∴∠CHG=180°−∠EHD=180°−50°=130°.
∵HM平分∠CHG,
∴∠CHM=∠GHM=12∠CHG=65°.
∵AB//CD,
∴∠GMH=∠CHM=65°.
故选:D.
由AB//CD,利用“两直线平行,内错角相等”可得出∠EHD的度数,利用邻补角互补可求出∠CHG的度数,结合角平分线的定义可求出∠CHM的度数,由AB//CD,利用“两直线平行,内错角相等”可得出∠GMH=∠CHM=65°,此题得解.
本题考查了平行线的性质,牢记“两直线平行,内错角相等”是解题的关键.
3.【答案】C
【解析】解:A.原式是整式的乘法,不是因式分解,故本选项不符合题意;
B.原式右边不是整式积的形式,故不是因式分解,不符合题意;
C.原式符合因式分解的形式,符合题意;
D.原式右边不是整式积的形式,故不是因式分解,不符合题意;
故选:C.
根据因式分解的定义,因式分解是把多项式写成几个整式积的形式,对各选项分析判断后利用排除法求解.
本题考查因式分解,解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义.
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是菱形的性质,关于原点对称的点的坐标特征,掌握菱形对角线互相平分是解题关键.
由菱形的对角线相互平分可知点A与C关于原点对称,从而得结论.
【解答】
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,即点A与点C关于原点对称,
∵点A(−2,5),
∴点C的坐标是(2,−5).
故选:B.
5.【答案】B
【解析】解:将直线y=2x+1向上平移2个单位后得到新直线解析式为:y=2x+1+2,即y=2x+3.
由于y=2x+3=2(x+1)+1,
所以将直线y=2x+1向左平移1个单位即可得到直线y=2x+3.
所以将直线y=2x+1向上平移2个单位,相当于将直线y=2x+1向左平移1个单位.
故选:B.
根据直线y=kx+b平移k值不变,只有b发生改变解答即可.
本题考查的是一次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键.
6.【答案】D
【解析】解:2x=m2x+1,
2(2x+1)=mx,
4x+2=mx,
(4−m)x=−2,
∵方程无解,
∴4−m=0或x=−12,即−12=−24−m,
∴m=4或m=0,
故选:D.
解分式方程可得(4−m)x=−2,根据题意可知,4−m=0或x=−12,即−12=−24−m,求出m的值即可.
本题考查分式方程的解法,熟练掌握分式方程的解法,分式方程无解的条件是解题的关键.
7.【答案】A
【解析】解:∵53<64<98,2<4<7,
∴353<4<398, 2<2< 7,
∴a=4,b=2,
∴ba=24=16,
故选:A.
结合已知条件,利用无理数的估算分别求得a,b的值,然后代入ba中计算即可.
本题考查无理数的估算,结合已知条件求得a,b的值是解题的关键.
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
过点O作OF⊥CD于点F,OG⊥AB于G,连接OB、OD、OE,由垂径定理得出DF=CF,AG=BG=12AB=3,得出EG=AG−AE=2,由勾股定理得出OG= OB2−BG2=2,
证出△EOG是等腰直角三角形,得出∠OEG=45°,OE= 2OG=2 2,求出∠OEF=30°,由直角三角形的性质得出OF=12OE= 2,由勾股定理得出DF═ 11,即可得出答案.
【解答】
解:过点O作OF⊥CD于点F,OG⊥AB于G,连接OB、OD、OE,如图所示:
则DF=CF,AG=BG=12AB=3,
∴EG=AG−AE=2,
在Rt△BOG中,OG= OB2−BG2= 13−9=2,
∴EG=OG,
∴△EOG是等腰直角三角形,
∴∠OEG=45°,OE= 2OG=2 2,
∵∠DEB=75°,
∴∠OEF=30°,
∴OF=12OE= 2,
在Rt△ODF中,DF= OD2−OF2= 13−2= 11,
∴CD=2DF=2 11;
故选:C.
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系,由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴判定2a+b=0;当x=−1时,y=a−b+c;然后由图象得出最小值确定am2+bm与a+b的大小关系.
【解答】
解:①∵对称轴在y轴右侧,
∴a、b异号,
∴ab<0,
∵当x=0时,二次函数的图象与y轴交于负半轴,
∴c<0
∴abc>0,故①正确;
②∵对称轴x=−b2a=1,
∴2a+b=0,故②正确;
③∵2a+b=0,
∴a=−12b,
∵当x=−1时,y=a−b+c>0,
∴−12b−b+c>0
∴3b−2c<0,故③正确;
④根据图象知,当x=1时,y有最小值a+b+c;
当m为实数时,有am2+bm+c≥a+b+c,
所以am2+bm≥a+b(m为实数),故④正确.
本题正确的结论有:①②③④,4个.
10.【答案】C
【解析】解:作PM⊥AD于M,交BC于N.
则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,
∴S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,
∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8,
∴S阴=8+8=16,
故选:C.
想办法证明S△PEB=S△PFD解答即可.
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识,解题的关键是证明S△PEB=S△PFD.
11.【答案】12
【解析】解:∵9m=3,27n=4,
∴32m+3n=32m×33n
=(32)m×(33)n
=9m×27n
=3×4
=12,
故答案为:12.
将式子变形为32m+3n=32m×33n=(32)m×(33)n,再代入计算即可.
本题考查同底数幂的逆运算,积的乘方,幂的乘方,正确变形是解题的关键.
12.【答案】35
【解析】解:2x+3≤x+9①2x+43−1>2−x②,
由①得:x≤6,
由②得:x>1,
∴不等式组的解集为:1
∴它是偶数的概率是35.
故答案为:35.
首先求得不等式组的所有整数解,然后由概率公式求得答案.
此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
13.【答案】45°或135°
【解析】解:如图,
∵⊙O的直径AB长为2,
∴OA=OC=1,
∵AC= 2,
∴OA2+OC2=AC2,
∴∠AOC=90°,
∴∠ADC=45°,
∴∠AD′C=135°,
故答案为:45°或135°.
首先利用勾股定理逆定理得∠AOC=90°,再根据一条弦对着两种圆周角可得答案.
本题主要考查了圆周角定理,勾股定理逆定理等知识,明确一条弦对着两种圆周角是解题的关键.
14.【答案】 66
【解析】
【分析】
本题主要考查了锐角三角函数的定义,根据题意作辅助线构造直角三角形,应用解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键.
过点D作DE⊥BC,垂足为E,如图,由已知∠A=∠ABC=90°,可得AD//BC,由平行线的性质可得∠ADB=∠CBD,根据角平分线的定义可得∠ADB=∠CDB,则可得∠CDB=∠CBD,根据矩形的性质可得AD=BE,即可得CE=BC−BE,在Rt△CDE中,根据勾股定理DE= CD2−CE2,在Rt△ADB中,根据勾股定理可得BD= AD2+AB2,根据正弦三角函数的定义进行求解即可得出答案.
【解答】
解:过点D作DE⊥BC,垂足为E,如图,
∵∠A=∠ABC=90°,
∴AD//BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB,
∴∠CDB=∠CBD,
∴CD=CB=3
∵AD=BE=1,
∴CE=BC−BE=3−1=2,
在Rt△CDE中,DE= CD2−CE2= 32−22= 5,
∵DE=AB,
在Rt△ADB中,BD= AD2+AB2= 12+( 5)2= 6,
∴sin∠ABD=ADBD=1 6= 66.
故答案为: 66.
15.【答案】20232024
【解析】解:由数列知第n个数为1n(n+1),
则前2023个数的和为12+16+112+120+…+12023×2024
=11×2+12×3+13×4+14×5+…+12023×2024
=1−12+12−13+13−14+14−15+…+12023−12024
=1−12024
=20232024,
故答案为:20232024.
根据数列得出第n个数为1n(n+1),据此可得前2023个数的和为11×2+12×3+13×4+14×5+…+12023×2024,再用裂项求和计算可得.
本题主要考查数字的变化类,解题的关键是根据数列得出第n个数为1n(n+1),并熟练掌握裂项求和的方法.
16.【答案】3 2
【解析】解:如图,作G关于AB的对称点G′,在CD上截取CH=1,然后连接HG′交AB于E,在EB上截取EF=1,此时GE+CF的值最小,
∵CH=EF=1,CH//EF,
∴四边形EFCH是平行四边形,
∴EH=CF,
∴G′H=EG′+EH=EG+CF,
∵AB=4,BC=AD=2,G为边AD的中点,
∴DG′=AD+AG′=2+1=3,DH=4−1=3,
由勾股定理得:HG′= 32+32=3 2,
即GE+CF的最小值为3 2.
故答案为:3 2.
利用已知可以得出GA,EF长度不变,求出GE+CF最小,利用轴对称得出E,F位置,即可求出.
此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识,确定GE+CF最小时E,F位置是解题关键.
17.【答案】解:(1)∵x+1x=3,
∴(x−1x)2=x2−2+1x2
=x2+2+1x2−4
=(x+1x)2−4
=9−4
=5,
则x−1x=± 5;
(2))∵x+1x=3,
∴(x+1x)2=x2+2+1x2=9,
整理得:x2+1x2=7,
则原式=x4+2+1x4−2
=(x2+1x2)2−2
=49−2
=47.
【解析】(1)利用完全平方公式列出关系式,把已知等式代入计算,开方即可求出值;
(2)原式利用完全平方公式化简,把各自的值代入计算即可求出值.
此题考查了分式的混合运算,以及完全平方公式,熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.
18.【答案】解:(1)由题意知,(1)班和(2)班人数相等,为:5+10+19+12+4=50(人),
∴(2)班学生中测试成绩为10分的人数为:50×(1−28%−22%−24%−14%)=6(人),
答:(2)班学生中测试成绩为10分的人数是6人;
(2)由题意知,a=6×10+50×28%×9+50×22%×8+50×24%×7+50×14%×650=8;
b=9;c=8;
故a,b,c的值分别为8,9,8;
(3)根据方差越小,数据分布越均匀可知(1)班成绩更均匀.
【解析】(1)根据条形图求出人数,根据扇形统计图求出所占百分比,即可得出结论;
(2)根据(1)中数据分别计算a,b,c的值即可;
(3)根据方差越小,数据分布越均匀判断即可.
本题主要考查统计的知识,熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键.
19.【答案】解:(1)过点C作CD⊥AB于点D,
由题意得,∠A=30°,∠BCE=75°,AC=600m,
在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=600,
∴CD=12AC=300m,
AD= 32AC=300 3m,
∵∠BCE=75°=∠A+∠B,
∴∠B=75°−∠A=45°,
∴CD=BD=300m,
BC= 2CD=300 2m,
答:景点B和C处之间的距离为300 2m;
(2)由题意得.
AC+BC=600+300 2,
AB=AD+BD=300 3+300,
AC+BC−AB=(600+300 2)−(300 3+300)≈204.6=205m,
答:大桥修建后,从景点A到景点B比原来少走约205m.
【解析】(1)通过作辅助线,构造直角三角形,在Rt△ACD中,可求出CD、AD,根据外角的性质可求出∠B的度数,在Rt△BCD中求出BC即可;
(2)计算AC+BC和AB的长,计算可得答案.
本题考查解直角三角形的应用,掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提,构造直角三角形是解决问题的关键.
20.【答案】(1)解:将点P(−1,2)代入y=mx,得:2=−m,
解得:m=−2,
∴正比例函数解析式为y=−2x;
将点P(−1,2)代入y=n−3x,得:2=−(n−3),
解得:n=1,
∴反比例函数解析式为y=−2x.
联立正、反比例函数解析式成方程组,
得:y=−2xy=−2x,
解得:x1=−1y1=2,x2=1y2=−2,
∴点A的坐标为(1,−2).
(2)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AB//CD,
∴∠DCP=∠BAP,即∠DCP=∠OAE.
∵AB⊥x轴,
∴∠AEO=∠CPD=90°,
∴△CPD∽△AEO.
(3)解:∵点A的坐标为(1,−2),
∴AE=2,OE=1,AO= AE2+OE2= 5.
∵△CPD∽△AEO,
∴∠CDP=∠AOE,
∴sin∠CDB=sin∠AOE=AEAO=2 5=2 55.
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出m,n的值;(2)利用菱形的性质,找出∠DCP=∠OAE,∠AEO=∠CPD=90°;(3)利用相似三角形的性质,找出∠CDP=∠AOE.
(1)根据点P的坐标,利用待定系数法可求出m,n的值,联立正、反比例函数解析式成方程组,通过解方程组可求出点A的坐标;
(2)由菱形的性质可得出AC⊥BD,AB//CD,利用平行线的性质可得出∠DCP=∠OAE,结合AB⊥x轴可得出∠AEO=∠CPD=90°,进而即可证出△CPD∽△AEO;
(3)由点A的坐标可得出AE,OE,AO的长,由相似三角形的性质可得出∠CDP=∠AOE,再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值.
21.【答案】解:(1)312是“好数”,因为3,1,2都不为0,且3+1=4,4能被2整除,
675不是“好数”,因为6+7=13,13不能被5整除;
(2)611,617,721,723,729,831,941共7个,理由:
设十位数数字为a,则百位数字为a+5(0 ∴a+a+5=2a+5,
当a=1时,2a+5=7,
∴7能被1,7整除,
∴满足条件的三位数有611,617,
当a=2时,2a+5=9,
∴9能被1,3,9整除,
∴满足条件的三位数有721,723,729,
当a=3时,2a+5=11,
∴11能被1整除,
∴满足条件的三位数有831,
当a=4时,2a+5=13,
∴13能被1整除,
∴满足条件的三位数有941,
即满足条件的三位自然数为611,617,721,723,729,831,941共7个.
【解析】此题主要考查了数的整除问题,新定义,理解并灵活运用新定义是解本题的关键.
(1)根据“好数”的意义,判断即可得出结论;
(2)设十位数数字为a,则百位数字为a+5(0
22.【答案】解:(1)CD; AD
(2)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC,AB=CD,AD=BC,
∵AB=BE,EF=AD,CF=CD,
∴BE=CF,EF=BC,
∴四边形BEFC是平行四边形,
∴EF//BC,
∴EF//AD;
(3)如图,过点E作EG⊥BC于G,
∵DC=AB=BE=80cm,点H是CD的中点,
∴CH=DH=40cm,
在Rt△BHC中,BH= BC2+CH2= 1600+900=50(cm),
∵EG⊥BC,
∴CH//EG,
∴△BCH∽△BGE,
∴BHBE=CHEG,
∴5080=40EG,
∴EG=64,
∴EF与BC之间的距离为64cm.
【解析】(1)解:∵把边BC固定在地面上,向右边推动矩形框,矩形的形状会发生改变,
∴矩形ABCD的各边的长度没有改变,
∴AB=BE,EF=AD,CF=CD,
故答案为:CD,AD;
(2)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC,AB=CD,AD=BC,
∵AB=BE,EF=AD,CF=CD,
∴BE=CF,EF=BC,
∴四边形BEFC是平行四边形,
∴EF//BC,
∴EF//AD;
(3)如图,过点E作EG⊥BC于G,
∵DC=AB=BE=80cm,点H是CD的中点,
∴CH=DH=40cm,
在Rt△BHC中,BH= BC2+CH2= 1600+900=50(cm),
∵EG⊥BC,
∴CH//EG,
∴△BCH∽△BGE,
∴BHBE=CHEG,
∴5080=40EG,
∴EG=64,
∴EF与BC之间的距离为64cm.
(1)由推动矩形框时,矩形ABCD的各边的长度没有改变,可求解;
(2)通过证明四边形BEFC是平行四边形,可得结论;
(3)由勾股定理可求BH的长,由相似三角形的性质可求解.
本题考查了矩形的性质,平行四边形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质等知识,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
23.【答案】(1)④
(2)∵AC⊥BD,ED⊥BD,
∴AC//DE,
又∵AD//BC,
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴AC=DE,
又∵∠DBC=45°,
∴△BDE是等腰直角三角形,
∴BD=DE,
∴BD=AC,
又∵BD⊥AC,
∴四边形ABCD是垂等四边形;
(3)如图,过点O作OE⊥BD,连接OD,
则DE=12BD,
∵四边形ABCD是垂等四边形,
∴AC=BD,
又∵垂等四边形的面积是24,
∴12AC⋅BD=24,
解得,AC=BD=4 3,
又∵∠BCD=60°,
∴∠DOE=60°,
设半径为r,根据垂径定理可得:
在△ODE中,OD=r,DE=2 3,
∴r=DEsin60∘=2 3 32=4,
∴⊙O的半径为4.
【解析】(1)①平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直和相等,故不是垂等四边形;
②矩形对角线相等但不一定垂直,故不是垂等四边形;
③菱形的对角线互相垂直但不一定相等,故不是垂等四边形;
④正方形的对角线互相垂直且相等,故正方形是垂等四边形;
故选:④;
(2)根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形,即可得到AC=DE,再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果;
(3)过点O作OE⊥BD,根据面积公式可求得BD的长,根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O的半径.
本题是一道圆的综合题,主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、新定义、圆周角定理、垂径定理,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用新定义解答问题.
24.【答案】(1)解:设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
把A(−1,0)、B(0,3)、C(3,0)代入
得:0=a−b+c3=c0=9a+3b+c,解得a=−1b=2c=3,
∴抛物线的表达式为:y=−x2+2x+3;
(2)证明:∵正方形OBDC,
∴∠OBC=∠DBC,BD=OB,
∵BF=BF,
∴△BOF≌△BDF,
∴∠BOF=∠BDF;
(3)解:∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E,
∴令y=3,则3=−x2+2x+3,解得:x1=0,x2=2,
∴E(2,3),
①如图,
当M在线段BD的延长线上时,∠BDF为锐角,
∴∠FDM为钝角,
∵△MDF为等腰三角形,
∴DF=DM,
∴∠M=∠DFM,
∴∠BDF=∠M+∠DFM=2∠M,
∵BM//OC,
∴∠M=∠MOC,
由(2)得∠BOF=∠BDF,
∴∠BDF+∠MOC=3∠M=90°,
∴∠M=30°,
在Rt△BOM中,
BM=OBtan30∘=3 3,
∴ME=BM−BE=3 3−2;
②如图,
当M在线段BD上时,∠DMF为钝角,
∵△MDF为等腰三角形,
∴MF=DM,
∴∠BDF=∠MFD,
∴∠BMO=∠BDF+∠MFD=2∠BDF,
由(2)得∠BOF=∠BDF,
∴∠BMO=2∠BOM,
∴∠BOM+∠BMO=3∠BOM=90°,
∴∠BOM=30°,
在Rt△BOM中,
BM=tan30°⋅OB= 3,
∴ME=BE−BM=2− 3,
综上所述,ME的值为:3 3−2或2− 3.
【解析】(1)把A(−1,0)、B(0,3)、C(3,0)代入y=ax2+bx+c,即可得解;
(2)根据正方形的性质得出∠OBC=∠DBC,BD=OB,再由BF=BF,得出△BOF≌△BDF,最后利用全等三角形的性质得出结论;
(3)分两种情况讨论解答,当M在线段BD的延长线上时,先求出∠M,再利用解直角三角形得出结果,当M在线段BD上时,得出∠BOM=30°,类别①解答即可.
本题考查了二次函数的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质及解直角三角形,分类讨论思想的运用是解题的关键.
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