小学数学人教版六年级下册圆柱的体积学案

这是一份小学数学人教版六年级下册圆柱的体积学案，共16页。

第一部分
知识清单
V=Sh
V=πr2h
根据体积不变的特性，明确瓶子正放和倒放时空余无水部分的容积是相等的，这样就把不规则的图形转化成规则的图形了，体现了转化的思想方法。
第二部分
典型例题
例1：一个圆柱体容器底面直径4dm，水面高2dm，放入5个质量一样的小铁球后，水面上升到3dm。小海用算式“”计算的是（ ）。
A．每个小铁球的体积B．5个小铁球的体积
C．圆柱形容器里水的体积D．圆柱形容器里水的体积和5个小铁球的体积
答案：A
分析：分析算式“”，“”求的是底面积，是水面上升的高度，铁球总体积＝圆柱底面积×水面上升的高度，因此“”求的是5个小铁球的体积，再除以5是求每个小铁球的体积。
详解：根据分析，算式“”计算的是每个小铁球的体积。
故答案为：A
例2：如图，根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（ ）mL。
A．108πB．72πC．54π
答案：B
分析：同一个瓶子的容积不变，水的体积不变，则瓶子中的空气体积也相同，所以瓶子的容积＝左图中水的体积＋右图中空气的体积。先根据圆柱的体积分别求出左图中水的体积和右图空气的体积；再把二者加起来即可求出瓶子的容积。
详解：
＝
＝
＝
＝（cm3）
cm3＝mL
所以瓶子的容积是mL。
故答案为：B
例3：如图，一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，根据图中的数据（数据是从瓶子里面测量得到的）可知瓶中水的体积是( )立方厘米，瓶中水的体积占瓶子容积的( )%。

答案： 141.3 25
分析：（1）圆柱的体积，把直径6厘米，高5厘米代入公式计算即可求出水的体积。
（2）瓶子的容积＝有水部分的容积＋无水部分的容积，即求瓶子的容积列式为3.14×（6÷2）2×5＋3.14×（6÷2）2×15；再用瓶中水的体积÷瓶子的容积即可。
详解：3.14×（6÷2）2×5
＝3.14×32×5
＝3.14×9×5
＝28.26×5
＝141.3（立方厘米）
3.14×（6÷2）2×5÷[3.14×（6÷2）2×5＋3.14×（6÷2）2×15]
＝3.14×（6÷2）2×5÷[3.14×（6÷2）2×（5＋15）]
＝3.14×（6÷2）2×5÷[3.14×（6÷2）2×20]
＝5÷20
＝25%
所以瓶中水的体积是141.3立方厘米，瓶中水的体积占瓶子容积的25%。
例4：如图一个瓶身是圆柱形的饮料瓶，内直径是5cm，里面装满了饮料。小多喝了一些后，瓶中饮料的高度是10cm。把瓶盖拧紧后倒置放平，此时无饮料部分是圆柱形，且高度是6cm，这个饮料瓶的容积是( )mL。
答案：314
分析：观察图形可知，这个饮料瓶的容积等于底面直径是5cm，高是（10＋6）cm的圆柱的容积，根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。
详解：3.14×（5÷2）2×（10＋6）
＝3.14×6.25×16
＝19.625×16
＝314（cm3）
＝314（mL）
则这个饮料瓶的容积是314mL。
：基础过关练
一、选择题
1．一个拧紧瓶盖的瓶子里装了一些水，放置情况如图所示，水的体积与瓶子容积的比是（ ）。
A．2∶3B．3∶4C．6∶7
2．如图，一个酒瓶里面深25厘米，底面内直径是10厘米，瓶里酒深13厘米。把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立，这时酒深20厘米，酒瓶的容积是（ ）毫升。
A．392.5B．1570C．1413D．1962.5
3．如下图，一个饮料瓶高30cm，瓶内饮料的高度是7cm，将这个饮料瓶的瓶盖拧紧倒置放平，空余部分的高度是18cm。已知这个饮料瓶的容积是1200mL，则瓶内的饮料有（ ）。
A．48mB．280mLC．336mLD．无法确定
4．一个圆柱形玻璃容器内盛着水，底面半径是厘米，把一个正方体铁块浸没水中，水面上升了厘米，这个铁块的体积是（ ）立方厘米。
A．B．C．
5．如图所示，把一块磁铁完全浸没在圆柱形容器的水中，根据浸没前后两次测量的数据计算这块磁铁的体积大约是（ ）立方厘米。（玻璃厚度忽略不计，π取3.14）
A．75.36B．18.84C．12.56D．25.12
二、填空题
6．一个圆柱形玻璃容器的底面直径是10cm，把一块完全浸在这个容器的水中的铁块取出后，水面下降2cm。这个铁块的体积是( )cm3。
7．有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径分别为10厘米和20厘米，杯中盛有适量的水。甲杯中浸没一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块浸没于乙杯，且乙杯中的水未外溢。这时乙杯中的水位上升了( )厘米。
8．如图，水的体积和容器的容积比是 。
9．（如图）一个内直径是8cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分的圆柱形，高度是18cm。这个瓶子的容积是( )mL。
10．一个饮料瓶内饮料的高度是4cm，将这个饮料瓶的瓶盖拧紧倒置放平，空余部分的高度是10cm。已知这个饮料瓶的容积是210mL，则这个饮料瓶的底面积是( )。
三、判断题
11．圆柱体的底面积不变时，圆柱体的高扩大到原来的2倍，体积就扩大到原来的2倍。( )
12．把一个圆柱形木料锯成两段，它的体积和表面积都不会发生变化。( )
13．一张长方形纸片，长是15cm，宽是8cm。把它卷成一个最大的圆柱，这个圆柱的侧面积是120cm2。( )
14．一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，体积就扩大到它的8倍。( )
15．用圆柱体侧面积的一半乘底面半径等于这个圆柱的体积。( )
：培优提升练
四、解答题
16．如图，有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），瓶内饮料是240毫升，正放时，液体高20厘米，倒放时瓶中空白部分高5厘米，求瓶子的容积是多少毫升？
17．一个装有水的圆柱形容器，底面直径是10厘米，高是12厘米，一块石头完全浸没在水里，量得水深9.5厘米，将石头取出后，水深是7.5厘米，这块石头的体积是多少？
18．在一个底面半径为80厘米圆柱形的鱼缸里，放进一个石山做装饰（完全浸没），水面由原来40厘米升为50厘米的，问这个石山体积是多少？
19．孙楠利用两种方法测量石块的体积（如下图）：
（1）这两种方法有什么相同和不同的地方？想一想，写一写。
（2）选择你喜欢的一种方法计算这块石块的体积。
20．有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），底面直径是6厘米，瓶子的高度为30厘米，现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时饮料的高度为25厘米（见下图）。问：瓶子的容积是多少？

21．春风小学组织学生去科技馆参观，李老师做了一个实验：把一段圆柱形钢材垂直放入一个圆柱形的水桶中，钢材露出水面10厘米时，水面上升6厘米；再把钢材全部浸入水中，水面又上升2厘米。已知钢材的底面半径是5厘米，你能求出这段钢材的体积吗？
1．B
分析：由图可知，正放时瓶子中水的体积＋倒放时瓶子中空白部分的体积＝瓶子的容积，利用“”分别表示出水的体积和瓶子的容积，再根据比的意义求出水的体积与瓶子容积的比，据此解答。
详解：假设正放时瓶子的底面积为S。
水的体积：（立方厘米）
瓶子的容积：
＝（立方厘米）
水的体积∶瓶子的容积
＝∶
＝12∶16
＝（12÷4）∶（16÷4）
＝3∶4
所以，水的体积与瓶子容积的比是3∶4。
故答案为：B
点睛：掌握圆柱的体积计算公式，把瓶子的容积看作两个圆柱的体积之和是解答题目的关键。
2．C
分析：根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，用3.14×（10÷2）2×13即可求出酒的体积，然后用3.14×（10÷2）2×（25－20）即可求出空白部分的体积，最后将两部分相加即可；然后把单位换算成毫升。据此解答。
详解：3.14×（10÷2）2×13＋3.14×（10÷2）2×（25－20）
＝3.14×52×13＋3.14×52×5
＝3.14×25×13＋3.14×25×5
＝1020.5＋392.5
＝1413（立方厘米）
1413立方厘米＝1413毫升
酒瓶的容积是1413毫升。
故答案为：C
点睛：本题主要考查了圆柱的体积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。
3．C
分析：由题意可知，这个瓶子的容积＝图一饮料的体积＋图二空气的体积，根据圆柱的容积公式：V＝Sh，据此求出瓶子的底面积，进而求出饮料的体积。
详解：1200÷（7＋18）
＝1200÷25
＝48（cm2）
48×7＝336（cm3）＝336（mL）
则瓶内的饮料有336mL。
故答案为：C
点睛：本题考查圆柱的体积，熟记公式是解题的关键。
4．B
分析：正方体铁块放入水中后，水面上升的高度为h厘米，铁块的体积等于水面上升的体积，水面上升的体积可看作底面积为平方厘米，高为h厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：V＝Sh，代入数据即可求出这个铁块的体积。
详解：根据分析得，V＝Sh＝
故答案为：B
点睛：此题的解题关键是掌握求不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用圆柱的体积公式求解。
5．D
分析：根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此可求出磁铁的体积。
详解：3.14×（8÷2）2×（4－3.5）
＝3.14×16×0.5
＝50.24×0.5
＝25.12（立方厘米）
故答案为：D
点睛：本题考查不规则物体的体积，明确不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度是解题的关键。
6．157
分析：完全浸在这个容器的水中的铁块取出后，铁块的体积＝水面下降的体积，水面下降的体积可看作底面半径为（10÷2）cm，高为2cm的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式，把数据代入即可得解。
详解：3.14×（10÷2）2×2
＝3.14×52×2
＝3.14×25×2
＝157（cm3）
即这个铁块的体积是157cm3。
点睛：此题的解题关键是掌握不规则物体的体积的计算方法，通过转化的数学思想，灵活运用圆柱的体积公式，解决问题。
7．0.5
分析：甲杯中浸没一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米，则铁块的体积是底面直径为10厘米，高为2厘米的圆柱的体积，再除以乙杯底面积，求出乙杯水面上升的高度。
详解：
（立方厘米）
（厘米）
所以这时乙杯中的水位上升了0.5厘米。
点睛：本题考查圆柱的体积，解答本题的关键是掌握题中的数量关系。
8．1∶4
分析：瓶子整体是个不规则容器，当瓶子正放时水的体积是6厘米高圆柱的体积，瓶子倒置时，空气的体积是28－10＝18厘米高圆柱的体积，瓶子的体积就等于（6厘米圆柱）水的体积与（18厘米圆柱）空气体积的和，据此解答。
详解：28－10＝18（厘米）
18＋6＝24（厘米）
水的体积和容器的容积比是6∶24即1∶4。
点睛：求不规则物体的体积或容积，可以利用转化思想将其转化成规则的物体进行计算。
9．1256
分析：瓶子容积＝水的体积＋空白部分的容积，观察左右两幅图，可以将瓶子容积看成底面直径8cm，高（7＋18）cm的圆柱，根据圆柱体积＝底面积×高，即可求出容积。
详解：8÷2＝4（cm）
3.14×42×（7＋18）
＝3.14×16×25
＝1256（cm3）
＝1256（mL）
这个瓶子的容积是1256mL。
点睛：关键是利用转化思想，将不规则物体的体积转化为圆柱进行计算。
10．15
分析：从图中可知，瓶子的两种放法，饮料、无水部分的容积是不变的，将右图中圆柱形的无水部分移到左图，替换掉左图不规则的无水部分，则这个饮料瓶的体积相当于一个以瓶子的底面为底面，高为（4＋10）cm的圆柱的体积；已知这个饮料瓶的容积，根据圆柱的底面积公式S＝V÷h，求出瓶子的底面积，注意单位的换算。
详解：210mL＝210cm3
210÷（4＋10）
＝210÷14
＝15（cm2）
即这个饮料瓶的底面积是15。
点睛：本题考查圆柱体积（容积）计算公式的灵活运用，关键是把不规则的饮料瓶看作等体积的圆柱，利用圆柱的体积公式列式计算。
11．√
分析：圆柱体的体积＝底面积×高，圆柱体的底面积不变，高扩大到原来的2倍，根据一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积也会随之扩大到相同的倍数，所以体积就扩大到原来的2倍，由此可以判断。
详解：由分析可知，圆柱体的底面积不变，高扩大到原来的2倍，体积就扩大到原来的2倍。
故答案为：√
12．×
分析：如下图，把一个圆柱形木料锯成两段，两个小圆柱的底面积等于原来圆柱的底面积，两个小圆柱的高的和等于原来圆柱的高，所以两个小圆柱的体积和等于原来这个圆柱的体积；
把一个圆柱形木料锯成两段，增加了两个圆柱的底面积，即两个小圆柱的表面积的和比原来圆柱的表面积多了两个底面积，所以两个小圆柱的表面积和大于原来这个圆柱的表面积。
详解：把一个圆柱形木料锯成两段，它的体积不会发生变化；表面积变大了。即原题说法错误。
故答案为：×
点睛：解决此类题可采用画图法。通过画图，使题意形象具体，一目了解，以便较快找到解题途径。画图法对解答条件隐蔽、复杂的问题，可以起到化难为易的作用。
13．√
分析：由题意可知，把一张长方形纸片卷成一个最大的圆柱，则该圆柱的侧面积等于长方形的面积，根据长方形的面积公式：S＝ab，据此计算即可。
详解：15×8＝120（cm2）
则这个圆柱的侧面积是120cm2。原题干说法正确。
故答案为：√
点睛：本题考查圆柱的侧面积，明确该圆柱的侧面积就是长方形的面积是解题的关键。
14．√
分析：根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，积的变化规律，可知如果一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，体积就扩大到它的（2×2×2）倍。据此解答。
详解：假设圆柱的底面半径是1，高也是1，则圆柱的体积是：
3.14×1×1×1＝3.14
扩大后底面半径和高：1×2＝2
扩大后圆柱的体积：3.14×2×2×2＝25.12
25.12÷3.14＝8
如果一个圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，体积就扩大到它的8倍。原题干说法正确。
故答案为：√
点睛：本题主要考查了圆柱的体积公式的应用。
15．√
分析：根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆柱的侧面积是S＝2πrh，则侧面积的一半是πrh，侧面积的一半乘半径的为πrh×r＝πr2h，据此判断即可。
详解：圆柱的体积公式：V＝πr2h，
圆柱的侧面积是S＝2πrh，则侧面积的一半是πrh，侧面积的一半乘半径的积为πrh×r＝πr2h，
因此，题干中的结论是正确的。
故答案为：√
点睛：此题考查的目的是理解掌握圆柱的体积公式、圆柱的侧面积公式及应用，关键是熟记公式。
16．300毫升
分析：根据圆柱的容积公式：容积＝底面积×高；底面积＝容积÷高，用瓶内饮料的容积除以此时的高度，即240÷20，求出这个饮料瓶底的底面积；空白处的容积等于底面积是圆柱形饮料瓶的底面积，高是5厘米的圆柱的容积，代入数据，求出空白处的容积，再加上瓶内饮料的容积，注意单位名数的换算；即可解答。
详解：240毫升＝240立方厘米
240÷20＝12（平方厘米）
12×5＝60（立方厘米）
60立方厘米＝60毫升
60＋240＝300（毫升）
答：瓶子的容积是300毫升。
17．157立方厘米
分析：根据题意，把一块石头完全浸没在装有水的圆柱形容器里，水深9.5厘米，将石头取出后，水深是7.5厘米，那么这块石头的体积等于水下降部分的体积；
水下降部分是一个底面直径10厘米，高（9.5－7.5）厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这块石头的体积。
详解：10÷2＝5（厘米）
3.14×52×（9.5－7.5）
＝3.14×25×2
＝157（立方厘米）
答：这块石头的体积是157立方厘米。
18．200960立方厘米
分析：不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，再结合圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。
详解：3.14×802×（50－40）
＝3.14×6400×10
＝20096×10
＝200960（立方厘米）
答：这个石山体积是200960立方厘米。
19．（1）见详解
（2）96立方厘米
分析：（1）根据图示可知，两种方法都用到了转化思想。第一种将石块的体积转化成上升的水的体积，第二种方法是将石块的体积转化成减少的长方体的体积；
（2）方法不唯一，如选择第二种，用带有石块的长方体的体积减去取出石块后的体积，它们的差即为石块的体积。
详解：（1）相同点：通过转化，将不规则物体体积转化成规则物体体积来计算体积
不同点：一个利用圆柱体积公式，另一个利用长方体体积公式
（2）8×4×6－8×2×6
＝192－96
＝96（立方厘米）
答：石块的体积是96立方厘米。
20．706.5毫升
分析：瓶子正放或倒放时的容积与饮料的体积不变，则瓶子正放或倒放时瓶子里空气的体积相等，所以瓶子的容积＝左图中水的体积＋右图中空气的体积。圆柱的体积，据此求出左图中水的体积，右图中空气的体积，再把二者加起来即可求出瓶子的容积。
详解：3.14×（6÷2）2×20＋3.14×（6÷2）2×（30－25）
＝3.14×32×20＋3.14×32×5
＝3.14×9×20＋3.14×9×5
＝3.14×9×（20＋5）
＝3.14×9×25
＝3.14×（9×25）
＝3.14×225
＝706.5（立方厘米）
706.5立方厘米＝706.5毫升
答：瓶子的容积是706.5毫升。
点睛：求不规则物体的体积或容积，可以利用转化思想将其转化成规则的物体进行计算。
21．3140立方厘米
分析：根据再把钢材全部浸入水中，水面又上升2厘米，可以知道钢材10厘米的体积等于圆柱水桶2厘米的体积，钢材10厘米的体积是5×5×3.14×10也就是785立方厘米，根据求出的体积可以知道圆柱水桶的底面积，也就是785÷2＝392.5（平方厘米），钢材的总体积应该等于露出水面的10厘米体积加上水面上升6厘米的体积，所以钢材体积等于785＋392.5×6
详解：
＝3.14×25×10
＝78.5×10
＝785（立方厘米）
785÷2＝392.5（平方厘米）
785＋392.5×6
＝785＋2355
＝3140（立方厘米）
答：这段钢材的体积是3140立方厘米。
点睛：考查圆柱的体积相关知识，重点是能够熟练掌握圆柱体积的计算公式。