福建省福清西山学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

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一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A＝{x|－1A.{x|0≤x<1} B.{x|－12.若，则的值可以是（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 15
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，则P(0<ξ<1)＝( )
A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1
4.的展开式中x4的系数是( )
A．90 B．80 C．70 D．60
5. 有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有
A. 34种 B. 48种 C. 96种 D. 144种
6. 甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A. ，互斥 B. C. D.
解：因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；
由题意得，，，，
，故B，D均正确；
因为，故C错误.
7．今天的课外作业是从6道应用题中任选2题详细解答，则甲、乙两位同学的作业中恰有一题相同的概率是（ ）
A．B．C．D．
【详解】基本事件个数为，“恰有一题相同”包含的基本事件数为
∴
8.某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（ ）
A．0.34B．0.37C．0.42D．0.43
【详解】设事件表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则,
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则，故,故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.使eq \f(2,x)≥1成立的一个充分不必要条件是( )
A.0＜x＜1 B.0＜x＜2 C.x＜2 D.0＜x≤2
10．某公司过去五个月的广告费支出x(万元)与销售额y(万元)之间有下列对应数据：
工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失．已知y对x呈线性相关关系，且经验回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，则下列说法正确的有( )
A．销售额y与广告费支出x正相关
B．丢失的数据(表中▲处)为30
C．该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元
D．若该公司下月广告费支出为8万元，则预测销售额约为75万元
答案 AB
11. 已知，则下列描述不正确的是（ ）
A. B. 除以5所得的余数是1
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.命题“∀x∈R，ax2－ax＋1＞0”为真命题，则实数a的取值范围是_[0，4)_
13. 的展开式中的常数项为180
14. 盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________.
解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球”所以.
（2），.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知展开式前三项的二项式系数和为22.
(1)求n的值； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中二项式系数最大的项．
解析 (1)由题意，Cn0＋Cn1＋Cn2＝1＋n＋eq \f(n（n－1）,2)＝22，解得n＝6或n＝－7(舍去)，即n的值为分
(2)通项公式Tk＋1＝C6k(2x)6－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))eq \s\up12(k)＝C6k26－kx6－eq \f(3k,2)分
令6－eq \f(3k,2)＝0，可得k＝分
∴展开式中的常数项为T5＝C6426－4x6－eq \f(12,2)＝分
(3)∵n＝6，展开式共有7项，∴第4项二项式系数最大，分
∴展开式中二项式系数最大的项为T3＋1＝26－3C63x6－eq \f(9,2)＝160xeq \s\up6(\f(3,2))分
16．(15分)某网游经销商在甲地区5个位置对“电信”和“网通”两种类型的网络在相同条件下进行游戏掉线次数测试，得到数据如下：
(1)如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，根据小概率值α＝0.15的独立性检验，能否说明游戏的网络状况与网络的类型有关？
(2)若该游戏经销商要在上述接受测试电信的5个地区中任选3个作为游戏推广，求A，B两个地区同时被选到的概率；
(3)在(2)的条件下，以X表示选中的掉线次数超过5次的位置的个数，求随机变量X的分布列及数学期望．
附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.
解析 (1)根据题意列出2×2列联表如下：
分
零假设H0：游戏的网络状况与网络类型无关，则分
χ2＝eq \f(10×（9－4）2,5×5×5×5)＝eq \f(10×25,25×25)＝0.4<2.072＝x0.15，分
∴根据小概率值α＝0.15的独立性检验，没有充分证据说明H0不成立，即不能说明游戏的网络状况与网络的类型有关．分
(2)依题意，所求概率P＝eq \f(C31,C53)＝eq \f(3,10)分
(3)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，分
P(X＝1)＝eq \f(C31C22,C53)＝eq \f(3,10)，P(X＝2)＝eq \f(C21C32,C53)＝eq \f(3,5)，P(X＝3)＝eq \f(C33,C53)＝eq \f(1,10)分
故X的分布列为：
分
∴E(X)＝1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,10)＝分
17．(15分)为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1．
（1）根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数，90%的位数
（2）若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望．
【解析】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为，分
所以数学成绩落在区间内的频率为，分
因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，
所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为，分
数学成绩落在区间[70，100）的频率为，
所以中位数落在区间内，
设中位数为，则，解得，分
所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为．
90%的位数是120+0.05/0.1*10=分
（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，分
由题意可知，，的所有可能取值为，分
，，
，，分
所以的分布列为：
分
所以数学期望．分
18（17分）2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年．华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性．正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务．”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里．现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．
（1）根据散点图判断，y＝ax+b与y＝c•edx（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入．（结果保留小数点后两位）
（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：
其中，设u＝lny，ui＝lnyi（i＝1，2，3，4，5，6）．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，vi）（i＝1，2，3，⋯，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【解答】解：（1）根据散点图判断，y＝cedx更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型；分
（2）由（1）得y＝cedx，则两边同时取常用对数得lny＝lnc+dx，
设u＝lny，则u＝lnc+dx，分
∵，∴，分
∴ ，分
∴，即，∴，分
令x＝7，则，分
故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65.35百万元；
（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，∴随机变量X的取值可能为0，1，2，分
∴，分
故X的分布列为：
分
∴．分
19. （17分）某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲､乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球．参加活动者首次摸球，可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球．若第二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券．用X表示一位参加活动者所得购物券的金额．
（1）在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率．
（2）①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依据以上分析，求随机变量的数学期望的最大值.
解：（1）设试验一次，“取到甲盒”为事件，“取到乙盒”为事件，
“第一次摸出黑球”为事件，“第一次摸出白球”为事件，
，
所以，
所以选中的盒子为甲盒的概率为分
①，分
所以方案一中取到黑球的概率为：，分
方案二中取到黑球的概率为：，分
因为，所以方案二中取到黑球的概率更大分
②随机变量的值为，分
依据以上分析，若采用方案一：
，
，
，
，分
若采用方案二：
，
，
，
，分
所以随机变量的数学期望的最大值分
x
2
4
5
6
8
y
▲
40
60
50
70
A
B
C
D
E
电信
4
3
8
6
12
网通
5
7
9
4
3
α
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
xα
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
α
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
xα
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
糟糕
良好
合计
电信
3
2
5
网通
2
3
5
合计
5
5
10
X
1
2
3
P
eq \f(3,10)
eq \f(3,5)
eq \f(1,10)
月份x
1
2
3
4
5
6
收入y（百万元）
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
e1.52
e2.66
3.50
21.15
2.85
17.70
125.35
6.73
4.57
14.30
X
0
1
2
P