2023-2024学年广东省梅州市职业技术学校高三（上）开学数学试卷（8月份）

这是一份2023-2024学年广东省梅州市职业技术学校高三（上）开学数学试卷（8月份），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x﹣1，则A∩B＝（ ）
A．{1，2}B．{1，2，3}C．{1，3}D．{1，2，3，5}
2．（5分）已知集合M＝{x|x（x﹣2）＜0}，N＝{x|x﹣1＜0}（ ）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，1）C．（0，1）D．（1，2）
3．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥2}U（A∪B）＝（ ）
A．{x|x＞0}B．{x|x＜2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0＜x＜2}
4．（5分）已知函数f（x）＝lg2（x+l），若f（a）＝1（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（5分）下列函数中，最小正周期为的是（ ）
A．y＝csxB．y＝tanxC．y＝cs2xD．y＝tan2x
6．（5分）已知点A（0，1），B（2，3），向量＝（﹣3，1），则向量＝（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣3）D．（﹣1，3）
7．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝4，a4＝2，则S5＝（ ）
A．0B．10C．15D．30
8．（5分）给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0；④a＜0，b＜0．其中能使+（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（5分）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），则该试验的样本空间所包含的基本事件的个数为（ ）
A．6B．9C．12D．16
10．（5分）已知等比数列{an}中，a3•a13＝20，a6＝4，则a10的值是（ ）
A．16B．14C．6D．5
11．（5分）若sinθcsθ＜0，则角θ是（ ）
A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角
12．（5分）实数m不超过，是指（ ）
A．B．C．D．
13．（5分）不等式x2﹣x≤0的解集为（ ）
A．[0，1]B．[0，1）C．（0，1]D．（0，1）
14．（5分）某校高一共有10个班，编号分别为01，02，…，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（5），高一（6）班被抽到的概率为b，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
15．（5分）如图所示，三棱台ABC﹣A1B1C1中，沿面A1BC截去三棱锥A1﹣ABC，则剩余部分是（ ）
A．三棱锥B．四棱锥C．三棱台D．四棱台
二、填空题（共5题，共25分）
16．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{0，2，4} ．
17．（5分）空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量 共面．（填“一定”或“不一定”）
18．（5分）某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人．为了了解普通话在该校中的推广普及情况，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数为 ．
19．（5分）有标号分别为1、2、3的蓝色卡片和标号分别为1、2的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率是 ．
20．（5分）若0＜a＜1，则关于x的不等式ax2﹣1≤x（a﹣1）的解集是 ．
三、解答题（共5题，共50分）
21．（10分）已知A＝{x|x2+x﹣6≤0}，B＝{x|3﹣m≤x≤m+5}．
（1）若A∩B＝A，求m的取值范围；
（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围．
22．（10分）已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+1＝3bn﹣an﹣4．
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an﹣bn}是等差数列．
（2）求{an}和{bn}的通项公式．
23．（10分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求∠A；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定．求△ABC的面积和BC边上的高．
条件①：，b＝5；
条件②：a＝7，c＝5；
条件③：b＝5，c＝8．
24．（10分）智能手机的出现改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间．某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名，得到每天使用手机的时间（单位：分钟），其分组是（0，20]，40]，（40，（60，80]，100]．
（1）根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者每天使用手机的时间的中位数是多少分钟．（精确到整数）
（2）估计这500名手机使用者平均每天使用手机多少分钟．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）
（3）在抽取的100名手机使用者中，从每天使用手机的时间在（20，40]和（40，再从研究小组中选出2名组长，求这2名组长分别选自（20，60]的概率．
25．（10分）如图所示，已知ABCD为梯形，AB∥CD，M为线段PC上一点．
（1）设平面PAB∩平面PDC＝l，证明：AB∥l．
（2）在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MBD？若存在，请确定点M的位置，请说明理由．
2023-2024学年广东省梅州市职业技术学校（梅州旅游职业技术学校、梅州商业学校、梅州财贸学校）高三（上）开学数学试卷（8月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共15题，共75分）
1．【答案】C
【解答】解：∵集合A＝{1，2，8}，x∈A}＝{1，3，
∴A∩B＝{3，3}．
故选：C．
2．【答案】C
【解答】解：∵M＝{x|x（x﹣2）＜0}＝（6，2），1），
则M∩N＝（3，2）∩（﹣∞，1）．
故选：C．
3．【答案】D
【解答】解：∵全集U＝R，A＝{x|x≤0}，
∴A∪B＝{x|x≤0或x≥8}，
∴∁U（A∪B）＝∁R（A∪B）＝{x|0＜x＜2}，
故选：D．
4．【答案】B
【解答】解：由函数f（x）＝lg2（x+l），
得f（a）＝lg2（a+5）＝1，
∴a+1＝8，∴a＝1，
故选：B。
5．【答案】D
【解答】解：由于y＝csx的最小正周期为2π，故排除A；
由于y＝tanx的最小正周期为π，故排除B；
由于y＝cs2x的最小正周期为π，故排除C；
由于y＝tan3x的最小正周期为，故D满足条件，
故选：D．
6．【答案】D
【解答】解：∵A（0，1），5），
∴，
∴＝（﹣1．
故选：D．
7．【答案】C
【解答】解：数列{an}为等差数列，且a2＝4，a6＝2，所以由a2+a2＝2a3，得a2＝3，
∴S5＝＝5a2＝5×3＝15，
故选：C．
8．【答案】C
【解答】解：当，均为正数时，+≥，b同号即可，
故①③④均满足要求．
故选：C．
9．【答案】C
【解答】解：由题意，该试验的样本空间所包含的基本事件有：
（1，2），3），4），1），2），4），1），5），4），1），8），3）．
故选：C．
10．【答案】D
【解答】解：等比数列{an}中，a3•a13＝20，a6＝4，
由等比数列的性质可知，a3•a13＝a6•a10＝20
a10＝7
故选：D．
11．【答案】D
【解答】解：∵sinθcsθ＜0，
∴或，
当时，θ为第二象限角；
当时，θ为第四象限角。
∴θ为第二或第四象限角，
故选：D。
12．【答案】D
【解答】解：实数m不超过，是指．
故选：D．
13．【答案】A
【解答】解：不等式x2﹣x≤0可化为x（x﹣2）≤0，
解得0≤x≤7，
所以该不等式的解集为[0，1]．
故选：A．
14．【答案】C
【解答】解：设高一（5）班被抽到的概率为a，高一（b）班被抽到的概率为b，
则a＝，b＝，
故选：C．
15．【答案】B
【解答】解：三棱台ABC﹣A1B1C2中，沿面A1BC截去三棱锥A1﹣ABC，
则剩余部分是以A4为顶点，梯形BCC1B1为底面的四棱锥，
故选：B．
二、填空题（共5题，共25分）
16．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{5，2，
∴A∩B＝{0，2}，
故答案为：{0，2}．
17．【答案】一定．
【解答】解：根据共线向量的概念可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，
故答案为：一定．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵依题意得从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，
学校共有教师490人，
∴每个个体被抽到的概率是
∴不到40岁的教师中应抽取的人数为×350＝50．
故答案为：50
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：
红1红2，红8红3，红1蓝5，红1蓝2，红5红3，红2蓝3，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝8，蓝1蓝2．
其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于8的有红1蓝1、红3蓝2、红2蓝2，共3种情况，
故所求的概率为P＝．
故答案为：．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：ax2﹣1≤x（a﹣4）变为
ax2﹣（a﹣1）x﹣6≤0
即（ax+1）（x﹣7）≤0
∵0＜a＜8，
∴
∴不等式ax3﹣1≤x（a﹣1）的解集是{x|}
故答案为{x|}
三、解答题（共5题，共50分）
21．【答案】（1）{m|m≥6}；
（2）{m|m＜﹣1}．
【解答】解：（1）A＝{x|x2+x﹣6≤5}＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2﹣m≤x≤m+5}，
由 A∩B＝A可知A⊆B，则，
解得m≥7，
所以m的取值范围为{m|m≥6}；
（2）由“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件可知 B⫋A，
当 B＝∅时，则 ，解得 ；
当 B≠∅时，则，
综上，实数m的取值范围为{m|m＜﹣1}．
22．【答案】（1）证明过程见解答；（2）．
【解答】解：（1）证明：因为4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+7＝3bn﹣an﹣4，
所以两式相加可得，3（an+1+bn+1）＝7（an+bn），
又因为a1+b1＝7+0＝1≠2，
所以为非零常数，
则数列{an+bn}是以1为首项，为公比的等比数列．
因为4an+4＝3an﹣bn+4，5bn+1＝3bn﹣an﹣2，
所以两式相减可得，4（an+1﹣bn+2）＝4（an﹣bn）+8，
所以（an+6﹣bn+1）﹣（an﹣bn）＝2为常数，
又因为a3﹣b1＝1﹣6＝1，
则数列{an﹣bn}是以1为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（ 1）知，an﹣bn＝2n﹣2，，
则，．
23．【答案】（1）；（2）选①：SΔABC＝，h＝；选②：SΔABC＝，h＝；选③：SΔABC＝10，h＝．
【解答】解：（1）法一：（边化角）
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC，
所以，
因为sinC≠2，
所以，
因为A∈（8，π），
所以．
法二：（角化边）
因为，
所以，
整理得b2+c2﹣a3＝﹣bc，
所以．
因为A∈（0，π），
所以．
（2）选①：，，b＝6：
因为，
所以B∈（0，π），
所以，
所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB＝×﹣×＝，
由正弦定理得，
所以，
所以，
所以BC 边上的高．
选②：，a＝4，
则在ΔABC中，由余弦定理可得，
a2＝b2+c7﹣2bccsA，
所以有49＝b2+25﹣4×5×cs×b，
整理得b2+5b﹣24＝4，即（b+8）（b﹣3）＝6，
所以b＝3，
所以SΔABC＝bcsinA＝＝，
设BC边上的高为h，则有，
所以h＝＝；
选③：，b＝5
所以，
由余弦定理得，
所以，
设BC边上的高为h，则有，
所以h＝＝＝．
24．【答案】（1）这500 名手机使用者每天使用手机的时间的中位数是57分钟；
（2）58分钟；
（3）．
【解答】解：（1）设这500名手机使用者每天使用手机的时间的中位数为x，根据频率分布直方图可得0.0025×20+0.0100×20+6.0150×（x﹣40）＝0.5，
∵4.0025×20+0.0100×20+0.0150×（x﹣40）＝3.5，
∴，
∴这500 名手机使用者每天使用手机的时间的中位数是57分钟；
（2）根据频率分布直方图可得估计这500名手机使用者平均每天使用手机的时间为2.05×10+0.2×30+7.3×50+0.4×70+0.25×90＝58分钟；
（3）从每天使用手机的时间在（20，40]和（40，再从研究小组中选出2名组长，40]和40＝．
25．【答案】（1）证明过程见解答；（2）存在点M，使得PA∥平面MBD，此时，理由见解答．
【解答】解：（1）证明：因为AB∥CD，CD⊂平面PDC，
所以AB∥平面PDC．
又因为平面PAB∩平面PDC＝l，且AB⊂平面PAB，
所以AB∥l．
（2）存在点M，且，使得PA∥平面MBD
连接AC交BD于点O，连接MO．
因为AB∥CD，
所以△AOB∽△COD．
又CD＝5AB，
则．
又因为，PC∩AC＝C，
所以PA∥MO，
又因为MO⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，
所以PA∥平面MBD．