2024金华卓越联盟高二下学期5月期中联考数学试题含答案

这是一份2024金华卓越联盟高二下学期5月期中联考数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸．等内容，欢迎下载使用。

命题人：艾青中学 审题人：浦江三中
考生须知：
1、本卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．
2、答题前，在答题纸指定的区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3、所有试题必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4、考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的4个选项中，只有一个选项符合要求．
1．若集合，则（ ）
A．或B．
C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．-2B．2C．D．
3．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．下列说法错误的个数为（ ）
①已知，若，则
②已知，则
③投掷一枚均匀的硬币5次，已知正面向上不少于3次，则出现5次正面向上的概率为
A．0B．1C．2D．3
5．科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若
，则的值为（ ）
A．14B．15C．24D．25
6．袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则（ ）
A．B．C．D．
7．体积为1的正三棱雉的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，当时，记的最大值为，有，则实数的最大值为（ ）
A．2B．1C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．下列选项中正确的有（ ）
A．已知在上的投影向量长度为，且，则
B．
C．若非零向量满足，则
D．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是
10．下列命题错误的是（ ）
A．线性相关模型中，决定系数越大相关性越强，相关系数越大相关性也越强
B．回归直线至少会经过其中一个样本点
C．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
D．以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到
线性方程，则的值分别为3，4
11．如图，已知圆台的下底面直径，母线，且，是下底面圆周上一动点，则（ ）
A．圆台的侧面积为
B．圆台的体积为
C．当点是弧中点时，三棱雉的内切球半径
D．的最大值为
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题每题5分，共15分．
12．的展开式中的常数项为______．
13．在锐角三角形中，边长为1，且，则边的长度取值范围是______．
14．某学校举办校庆，安排3名男老师和2名女老师进行3天值班，值班分为上午和下午，每班次一人，其中女老师不在下午值班，且每个人至少要值班一次，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．（本题满分13分）设函数，其中，已知．
（1）求的解析式；
（2）已知，求的单调递增区间及值域．
16．（本题满分15分）在如图所示的直三棱柱中，分别是线段上的动点．
（1）若平面，求的值；
（2）若三棱柱是正三棱柱，是的中点，求二面角余弦值的最小值．
17．（本题满分15分）已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）证明：当时，．
18．（本题满分17分）某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：
（单位：元），得到如图所示频率分布直方图：
（1）利用抽样的数据计算本次活动的人均消费金额（同一组中的数据用该组的中点值表示）
（2）若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？
（3）为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：
从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数．）
附：
19．（本题满分17分）已知①设函数的值域是，对于中的每个，若函数在每一处都等于它对应的，这样的函数叫做函数的反函数，记作，我们习惯记自变量为，因此可改成即为原函数的反函数．易知与互为反函数，且．如的反函数是可改写成即为的反函数，与互为反函数．
②是定义在且取值于的一个函数，定义
，则称是函数在上的次迭代．例如，则．对于一些相对复杂的函数，为求出其次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数和，若函数的反函数存在，且有，称与关于相似，记作，其中称为桥函数，桥函数满足以下性质：
（1）若，则
（2）若为的一个不动点，即，则为的一个不动点．
（1）若函数，求（写出结果即可）
（2）证明：若，则．
（3）若函数，求（桥函数可选取），若，试选取恰当桥函数，计算．
2023学年第二学期金华卓越联盟5月阶段联考
高二年级数学学科参考答案
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的4个选项中，只有一个选项符合要求．
1．D2．C3．C4．B5．A6．B7．D8．C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．BC10．AB11．ABD
三、填空题：本题共三小题每题5分，共15分．
12．537613．14．252
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．解（1）可化为
，
所以
所以又
所以
所以
（2）令
解得
又所以
故的单调递增区间为
所以
所以
16．方法1．（1）过点作，交于，连接，如图，
由平面，平面，
则平面且
又平面，，且平面，
故平面平面
又平面平面，平面平面，
所以
从而．
故
方法2过点作，可得，所以四点共面
四边形是平行四边形
所以
所以
（2）过作，垂足为，正三棱雉可得平面，
再过作，垂足为，连接，
则即为二面角的平面角．
当位于时此时
故二面角余弦值的最小值为
方法2：取的中点由正三棱锥得平面
如图建立空间直角坐标系
设平面的法向量
令得
平面法向量
当时取到
17．（1）
令
又过点直线方程为可化为
（2）
当在上恒成立，故在上单调递增；
当时，令得；
令得，
故在上单调递增，在上单调递减
综上所述：时增区间为
当时单调递增区间为，单调递减区间为
（3）证明：不等式可化为恒成立
由（2）知，当时，，
令，
则．
令
则．
因为，所以
所以在上单调递增．
所以，所以，
所以在上单调递减．
因为，所以，
所以，
即当时，．
18．（1）
（2）列联表如下
因此有的把握与性别有关．
（3）可视作抽出消费900元8人，消费1100元4人
19．（1）
（2）因为，有，即
所以有，即
由数学归纳法或递推法可知成立
（3）根据相似函数不动点也相似，桥函数选取时可令不动点为一解，当，可选取桥函数（不唯一），
易得
由（2）可知，
即有．
当，选取桥函数，
．易得
由（2）可知，，即有
活跃客户
非活跃客户
总计
男
20
女
60
总计
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
k
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
活跃客户
非活跃客户
总计
男
20
80
100
女
40
60
100
总计
60
140
200
Y
1800
2000
2200
P