2023-2024学年浙江省金华市卓越联盟高二上学期12月阶段联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年浙江省金华市卓越联盟高二上学期12月阶段联考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的标准方程直接求解即可.
【详解】由题知，设抛物线方程为，
由其准线方程为，则，可得，
所以抛物线的方程为.
故选：D
2．直线和直线垂直，则（ ）
A．1B．C．1或D．1或
【答案】C
【分析】由直线垂直的充要条件列出方程求解参数即可.
【详解】由题意直线和直线垂直，
所以或，C正确.
故选：C.
3．已知在等比数列中，，则的值是（ ）
A．4B．-4C．D．16
【答案】C
【分析】利用等比数列的性质计算出答案,
【详解】由题意得，解得.
故选：C
4．如图，在三棱台中，且，设，点在棱上，满足，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接利用向量的线性运算，即可求出结果.
【详解】
又，所以
故选：A.
5．已知等差数列的前项和为，且，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．数列是递减数列D．中最大
【答案】D
【分析】利用等差数列前项和的公式即可得出，，进而逐个选项判断即可.
【详解】因为，
所以，
又，
所以，则，
所以等差数列单调递减，中最大.
故选：D
6．已知圆，直线，圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
【答案】B
【分析】结合图形，由圆上恰有3个点到直线的距离等于1得，即得圆的圆心与半径，再由圆心距与两半径和差的关系判断两圆位置关系即可，
【详解】由，得，
则圆心，半径，
由，得，
则圆心，半径，
因为圆上3个点到直线的距离是1，
由直线，
则圆心到直线的距离，
故由题可知，则，
故圆的圆心为，半径是2，
又圆的圆心为，半径是1，
则，因为，所以两圆的位置关系是相交.
故选：B.
7．已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.
【详解】
在双曲线中，，，
，，
设双曲线的右焦点为，则，
在双曲线的右支上，
，即，
由题知，圆心，半径，在圆上，
，
则，
当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为，
此时，
的最小值为.
故选：D.
8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面方程可得法向量，即可根据向量法求解点面距离.
【详解】由于平面的方程为，所以平面的法向量，
在平面上任取一点，则，
点到平面距离
故选：A.
二、多选题
9．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用空间向量的坐标运算可判断A选项；利用空间向量平行的坐标表示可判断B选项；利用空间向量数量积的坐标运算可判断CD选项.
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，因为，则、不共线，B错；
对于C选项，，所以，，C对；
对于D选项，，
，，
，
所以，，D对.
故选：ACD.
10．已知直线，圆，点为圆上的任意一点，下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线与圆恒有两个公共点
C．直线被圆截得最短弦长为
D．当时，点到直线距离最大值是
【答案】ABD
【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标可判断A；根据直线定点在圆内可判断B；当直线与过定点和圆心的直线垂直时直线被圆截得的弦长最短，求出弦心距利用勾股定理可判断C；转化为圆心到直线的距离可判断D.
【详解】对于A，直线，令，解得，
所以直线恒过定点，故A正确；
对于B，因为直线定点，且，
所以定点在圆内，所以直线与圆恒有两个公共点，故B正确；
对于C，当直线与过定点和圆心的直线垂直时直线被圆截得的弦长最短，
定点和圆心的距离为，所以最短弦长，故C错误；
对于D，当时，，圆心到直线的距离是，
所以点到直线的距离的最大值是，故D正确.
故选：ABD.
11．已知数列满足是的前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等差数列
C．若，则为等差数列
D．若，则
【答案】ABD
【分析】确定，求和得到A正确，确定得到B正确，计算，时不成立，C错误，确定数列的通项公式，再利用错位相减法求和得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：当，则，所以，正确；
对选项B：已知，当时，，
当时，，则，故，
（时也成立），所以为等差数列，正确；
对选项C：已知，当时，，
当时，，则，，
（时不成立），所以不是等差数列，不正确；
对选项D：已知，当时，，
当时，，则，，
（时不成立，所以，
当时，，
当时，，
，
，
所以时也成立，正确.
故选：ABD
12．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与抛物线相交于两点，点是点关于轴的对称点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最小值为10
C．三点共线D．
【答案】CD
【分析】设直线联立抛物线，应用韦达定理判断A；由，结合抛物线定义及基本不等式求最小值判断B；设，联立抛物线，应用韦达定理得，结合A分析求参数判断C；应用向量的坐标运算求判断D.
【详解】
设直线，联立方程组，
可得，且，则，A不正确；
由，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为9，不正确；
设，，联立，可得，且，
则，结合A分析得，即直线过点，正确；
由，
，正确.
故选：CD
三、填空题
13．在空间直角坐标系中，已知点，则 .
【答案】
【分析】根据向量的坐标表示，表示出向量，再计算其模.
【详解】.
故答案为：
14．过点作圆的两条切线，切点为，则劣弧长 .
【答案】
【分析】首先转换圆C的标准方程，再结合题意进行计算即可.
【详解】
易知圆C的标准方程为：，且设切线为，
则必有，解得，,
，故劣弧长.
故答案为：.
15．如图，已知正方形的边长为2，分别取边的中点，并连接形成正方形，继续取边的中点，并连接形成正方形，继续取边的中点，并连接形成正方形，依此类推；记的面积为的面积为，依此类推，的面积为，若，则 .
【答案】10
【分析】为首项为，公比为的等比数列，利用等比数列求和公式列出方程，求出答案.
【详解】由题意可知为首项为，公比为的等比数列，
，
令，解得.
故答案为：10
16．设是椭圆的左､右焦点，点为椭圆上的两点，且满足，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】作出辅助线，由对称性得到，设，根据椭圆定义得到其他各边长，由余弦定理得到方程，求出，进而求出离心率.
【详解】延长交椭圆于点，连接，
因为，故，
由对称性可知，，
因为，所以，
设，则，
故，
在中，，
即，
即，解得，
故，
由余弦定理得，
即，
解得.
故答案为：
四、解答题
17．如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，通过证明，可得答案；
（2）求出平面的法向量以及直线的方向向量，然后利用向量法求夹角即可.
【详解】（1）方法一：因为是的中点，所以和是等腰直角三角形，所以，
，
因为平面平面，所以，
又平面，且
平面；
方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
，，
所以，
，，又平面，且，
平面；
（2），设平面的法向量为，
则，取得，
又，
设直线与平面所成角为，
.
直线与平面所成角的正弦值为.
18．已知数列满足，点在直线上.
(1)求证：数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)求满足的的取值构成的集合.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）根据等比数列的定义可得是等比数列，且公比为2，即可由等比通项求解，
（2）根据对数的运算即可求解.
【详解】（1）由已知得，
且，
所以数列是等比数列，且公比为2，
，则
（2）因为，所以，
得，又因为，所以的取值构成的集合是.
19．已知动点与两个定点，的距离的比是2.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆；
（2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程.
【详解】（1）设点，
动点与两个定点，的距离的比是，
，即，
则，
化简得，
所以动点的轨迹的方程为；
（2）由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
直线被曲线截得的弦长为，
圆心到直线的距离，
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
化简得，解得或，
此时直线的方程为或.
综上，直线的方程是或.
20．已知等差数列前项和为，满足.数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)首先分析题意，利用等差数列性质，解出，进而求出是等比数列.
(2)利用裂项相消法进行求解.
【详解】（1）设数列的公差为，解得.
，且，所以是等比数列，
（也可用累乘法求的通项公式）
（2），
故，
.
21．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，分别为的中点.
(1)求平面与底面所成角的余弦值；
(2)求平面与四棱锥表面的交线围成的图形的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 首先建立空间直角坐标系，求出平面，再进行联立，求出平面与底面所成角的余弦值.
(2)利用对称性，设交点Q，求出平面与四棱锥表面的交线围成的图形的周长.
【详解】（1）以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
平面的法向量为，且，
设平面的法向量为，所以，所以取，
所以，
所以平面与底面所成角的余弦值为；
（2）由对称性可知平面与棱交于一点，
设交点，
,又，所以围成的图形的周长为.
22．已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)记双曲线的上､下顶点为为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）根据离心率和上顶点确定，进而可得渐近线方程；
（2）直线的方程为，与双曲线联立，利用韦达定理，结合， 可得的值，进而可得定点.
【详解】（1）设双曲线方程为，由上顶点坐标可知，
则由可得，
双曲线的渐近线方程为；
（2）由（1）可得，设，
设直线的方程为，
与联立可得，且，
则，
，
设，
，
又，
得，
，
即，
化简得，
解得，所以直线过定点.