浙江省金华市卓越联盟2023-2024学年高二下学期5月阶段联考数学试题（Word版附解析）

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考生须知：
1、本卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．
2、答题前，在答题纸指定的区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3、所有试题必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4、考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的4个选项中，只有一个选项符合要求．
1. 若集合，则（ ）
A. 或B. 或
C. D.
2. 已知复数，则（ ）
A. B. 2C. D.
3. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 下列说法错误的个数为（ ）
①已知，若，则
②已知，则
③投掷一枚均匀的硬币5次，已知正面向上不少于3次，则出现5次正面向上的概率为
A. 0B. 1C. 2D. 3
5. 科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若，则的值为（ ）
A. 14B. 15C. 24D. 25
6. 袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则（ ）
A. B. C. D.
7. 体积为1的正三棱锥的外接球的半径与底面正三角形的边长比的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，当时，记的最大值为，有，则实数的最大值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 下列选项中正确的有（ ）
A. 已知在上的投影向量长度为，且，则
B.
C. 若非零向量满足，则
D. 已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是
10. 下列命题错误的是（ ）
A. 线性相关模型中，决定系数越大相关性越强，相关系数越大相关性也越强
B. 回归直线至少会经过其中一个样本点
C. 已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
D. 以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为3，4
11. 如图，已知圆台的下底面直径，母线，且，是下底面圆周上一动点，则（ ）
A. 圆台的侧面积为
B. 圆台的体积为
C. 当点是弧中点时，三棱锥的内切球半径
D. 最大值为
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题每题5分，共15分．
12. 的展开式中的常数项为______．
13. 在锐角三角形中，边长为1，且，则边长度取值范围是______．
14. 某学校举办校庆，安排3名男老师和2名女老师进行3天值班，值班分为上午和下午，每班次一人，其中女老师不在下午值班，且每个人至少要值班一次，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15. 设函数，其中，已知．
（1）求的解析式；
（2）已知，求的单调递增区间及值域．
16. 在如图所示的直三棱柱中，分别是线段上的动点．
（1）若平面，求的值；
（2）若三棱柱是正三棱柱，是的中点，求二面角余弦值的最小值．
17. 已知函数，．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）证明：当时，．
18. 某超市为促进消费推出优惠活动，为预估活动期间客户投入的消费金额，采用随机抽样统计了200名客户的消费金额，分组如下：（单位：元），得到如图所示频率分布直方图：
（1）利用抽样的数据计算本次活动的人均消费金额（同一组中的数据用该组的中点值表示）
（2）若把消费金额不低于800元的客户，称为“活跃客户”，经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，求列联表中的值，并根据列联表判断是否有的把握认为“活跃客户”与性别有关？
（3）为感谢客户，该超市推出免单福利，方案如下：
从“活跃客户”中按分层抽样的方法抽取12人，从中抽取2人进行免单，试写出总单金额的分布列及其期望．（每一组消费金额按该组中点值估计，期望结果保留至整数．）
附：
19. 已知①设函数的值域是，对于中的每个，若函数在每一处都等于它对应的，这样的函数叫做函数的反函数，记作，我们习惯记自变量为，因此可改成即为原函数的反函数．易知与互为反函数，且．如的反函数是可改写成即为的反函数，与互为反函数．②是定义在且取值于的一个函数，定义，则称是函数在上的次迭代．例如，则．对于一些相对复杂的函数，为求出其次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数和，若函数的反函数存在，且有，称与关于相似，记作，其中称为桥函数，桥函数满足以下性质：
（i）若，则
（ii）若为一个不动点，即，则为的一个不动点．
（1）若函数，求（写出结果即可）
（2）证明：若，则．
（3）若函数，求（桥函数可选取），若，试选取恰当桥函数，计算．
活跃客户
非活跃客户
总计
男
20
女
60
总计
0150
0.100
0.050
0.010
0005
k
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879