人教版2024年数学七年级上册 暑假讲义02 数轴、相反数与数轴+同步练习 (原卷版+教师版)

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1．理解数轴的概念及三要素；
2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；
3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；
4. 掌握多重符号的化简.
【要点梳理】
要点一、数轴
1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
要点诠释：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如 SKIPIF 1 < 0 .
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
要点二、相反数
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.
（2）互为相反数的两数和为0.
要点三、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .
要点诠释：
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5.
（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.
【典型例题】
类型一、数轴的概念
1．如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( )
A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4) C．只有(2) D．(1)(2)(3)(4)
类型二、相反数的概念
2．﹣的相反数是（ ）
A．5 B． C．﹣ D.-5
举一反三：
【变式1】填空：
(1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) SKIPIF 1 < 0 是 的相反数；
(4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数.（6）a和 互为相反数 .
（7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身．
【变式2】下列说法中正确的有( )
①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④ SKIPIF 1 < 0 的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多
3．已知 SKIPIF 1 < 0 互为相反数，则 SKIPIF 1 < 0 ．
类型三、多重符号的化简
4.化简下列各数中的符号．
（1） SKIPIF 1 < 0 （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4） SKIPIF 1 < 0 （5）-[-(+1)] （6）-(-a)
类型四、利用数轴比较大小
5．在数轴上表示2.5，0， SKIPIF 1 < 0 ，-1，-2.5， SKIPIF 1 < 0 ，3有理数，并用“＜”把它连接起来．
举一反三：
【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（ ）
A．b﹣a＞0 B．﹣b＜0 C．﹣a＞﹣b D．﹣ab＜0
【变式2】填空：
大于 SKIPIF 1 < 0 且小于 SKIPIF 1 < 0 的整数有______个； 比 SKIPIF 1 < 0 小的非负整数是____________．
类型五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）
6．已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a，b(a＜b)并且A、B两点间的距离是 SKIPIF 1 < 0 ，求a、b两数．
举一反三：
【变式】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个．
绝对值
【学习目标】
1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；
2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；
3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.
【要点梳理】
要点一、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点二、有理数的大小比较
1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2.法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4. 求商法：设a、b为任意正数，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
【典型例题】
类型一、绝对值的概念
1．求下列各数的绝对值．
SKIPIF 1 < 0 ，-0.3，0， SKIPIF 1 < 0
2．下列说法正确的是（ ）
A. 一个数的绝对值一定比0大
B. 一个数的相反数一定比它本身小
C. 绝对值等于它本身的数一定是正数
D. 最小的正整数是1
举一反三：
【变式1】求绝对值不大于3的所有整数．
【变式2】已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ．
【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为 ．
类型二、比较大小
3．比较下列有理数大小：
(1)-1和0； (2)-2和|-3| ；(3) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 ______ SKIPIF 1 < 0
举一反三：
【变式1】比大小：
SKIPIF 1 < 0 ______ SKIPIF 1 < 0 ； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000；
SKIPIF 1 < 0 ______－1.384； －π______－3.14．
【变式2】下列各数中，比－1小的数是（ ）
A．0B．1C．－2D．2
【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a，-a，-1的大小关系是( )．
A．-a＜a＜-1 B．-1＜-a＜a C．a＜-1＜-a D．a＜-a＜-1

类型三、绝对值非负性的应用
4. 已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n的值．
类型四、绝对值的实际应用
5．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
举一反三：
【变式1】某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表：
请用绝对值知识说明：
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)?
(2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
《数轴、相反数与绝对值》课时练习
一、选择题
下列数轴的画法正确的是( )
互为相反数的两个数的和为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
2的相反数和绝对值分别是( )
A.2，2 B.﹣2，2 C.﹣2，﹣2 D.2，﹣2
下列化简，正确的是( )
A.-(-3)=-3 B.-[-(-10)]=-10 C.-(＋5)=5 D.-[-(＋8)]=-8
若|a|=|b|,则a,b的关系是( )
A.a=b B.a=-b C.a=b或a=-b D.a=0且b=0
下列说法：
①若a，b互为相反数，则a+b=0;
②若a+b=0，则a，b互为相反数;
③若a，b互为相反数，则=-1;
④若=-1，则a，b互为相反数.
其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
下图中数轴的单位长度为1，若点A、B表示的数是互为相反数，则在图中A，B，C，D四个点中表示绝对值最小的数的点是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
下列结论中，正确的有（ ）
①符号相反且绝对值相等的数互为相反数；
②一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；
③两个负数，绝对值大的它本身反而小；
④正数大于一切负数；
⑤在数轴上，右边的数总大于左边的数.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
点A是数轴上表示－2的点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B表示的有理数是( )
A.－4 B.－6 C.2或－4 D.2或－6
点A为数轴上表示-2的点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的数为( )
A.2 B.-6 C.2或-6 D.无法确定
二、填空题
数轴上与原点距离是5的点有 个，表示的数是 ．
从数轴上表示-1的点开始,向右移动6个单位长度,再向左移动5个单位长度,最后到达的终点所表示的数是 .
已知a与b互为相反数，b与c互为相反数，且c=﹣6,则a=
数轴上表示-4的点为M,那么在数轴上与点M相距3个单位的点所对应的数是 ．
下列说法：
①绝对值是它本身的数有两个：0和1；
②一个有理数的绝对值必为正数；
③0.5的倒数的相反数的绝对值是2；
④任何有理数的绝对值都不是负数.
其中错误的个数是____________个.
小红在写作业时,不慎将一滴墨水滴在数轴上,根据图中的数据,可确定被墨迹遮盖住的整数共有 个.
三、解答题
请画一条数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”号将这些数连接起来：
－5，3eq \f(1,3)，－2.5，0，－eq \f(3,4)，＋1.
已知A为数轴上的一点,先将点A向右移动7个单位长度,再向左移动4个单位长度,得到点B,若A,B两点表示的数恰好互为相反数,求点A表示的数.
在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C.
(1)画出数轴并标出A、B、C三点在数轴上的位置；
(2)写出A、B、C三点表示的数；
(3)根据点C在数轴上的位置，C点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？
已知|a|=5，|b|=3，且a>0，b>0，求a＋b的值；
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
+0.0018
-0.0023
+0.0025
-0.0015
+0.0012
+0.0010