苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用练习

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用练习，文件包含专题强化训练一导数在研究函数单调性极值最值参数问题原卷版docx、专题强化训练一导数在研究函数单调性极值最值参数问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。

题型一：由单调性求参数范围问题
1．（2023下·湖北武汉·高二校联考期中）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导，根据导函数的符号求解.
【详解】，由条件知当时，，即，
令，是减函数，；
故选：D.
2．（2023·陕西西安·统考三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由导数与函数的单调性的关系结合条件可得在上恒成立，由此可得在区间上恒成立，求函数的值域可得的取值范围.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，
则，
所以在上递增，又，
所以.
所以的取值范围是.
故选：B
3．（2023下·浙江·高二平湖市当湖高级中学校联考期中）已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】将问题等价于在有两个不同的实数根，进一步转化为在有唯一不为1的根，构造函数，求导得单调性即可求解.
【详解】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则，
即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根，
令，则，故当 单调递增，
当 单调递减，且
即，
故选：BD
题型二：由函数的区间求单调性问题
4．（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期中）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知，对任意的，，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为，则，
因为函数在区间单调递增，
则对任意的，，即，
当时，，故.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
5．（2023下·广东深圳·高二蛇口育才中学校考阶段练习）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，将问题转化为在上有解，然后分离参数即可求解.
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以在上有解，且，
所以，，
令，则，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
且，所以当时，由最大值，
即.
故选：D
6．（2023下·四川眉山·高二统考期末）若在上存在单调递增区间，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函数的导数，由在上有解，求出a的范围作答.
【详解】函数，求导得，
因为函数在上存在单调递增区间，则不等式在上有解，
而，
当时，，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
题型三：含参数的分类讨论求函数单调性问题
7．（2023下·广东江门·高二校考期中）已知函数．
(1)当时，求函数的单调增区间．
(2)当时，讨论函数的单调性．
【答案】(1)单调递增区间有和
(2)答案见解析
【分析】（1）当时，对相应求导（此时不含参），即可研究的单调增区间；
（2）直接对求导（此时含参），再结合即可进一步讨论的单调性．
【详解】（1）当时，，对其求导得，
令，注意到的定义域为，由此可以列出以下表格：
因此由以上表格可知：函数的单调增区间为和.
（2）对函数求导，得，
令，接下来对分两种情形来讨论：
情形一：当时，有，即在上单调递增.
情形二：当时，有，结合以上分析可列出以下表格：
由以上表格可知：在单调递增，在单调递减，在单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，而第二问的关键是要对进行分类讨论.
8．（2022上·宁夏银川·高二校考期末）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定和的解，得单调性；
（2）结合（1）的单调性分类讨论得最小值．
【详解】（1）的定义域是，
，
时，恒成立，在上是减函数；
时，时，，时，，
所以在上是减函数，在上是增函数，
综上，时，在上是减函数；时，在上是减函数，在上是增函数．
（2）由（1）当时，在上递减，；
时，即时，在上递减，；
，即时，在上是减函数，在上是增函数，．
综上，或时，，时，．
9．（2022下·重庆璧山·高二重庆市璧山来凤中学校校考阶段练习）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)代入，求出即可求得切线方程；
(2)函数求导 ，对分类讨论，进而求得单调性.
【详解】（1）当时，，
，所以，曲线在处的切线方程为.
（2），
①当时，，所以函数在上单调递增；
②当时，令，则(舍)或，
，当时，函数单调递减；
，当时，函数单调递增.
③当时，令，则或(舍)，
，当时，函数单调递减；
，当时，函数单调递增.
综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增；
当时，当时，函数单调递减
当时，函数单调递增；
当时，当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增
题型四：由函数的极点（极值）求参数问题
10．（2023下·高二课时练习）已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求导，利用二次方程有两个不相等的实数根即可由判别式求解.
【详解】∵，
∴，
∵函数既存在极大值，又存在极小值，
∴导函数有两个不相等的变号零点，
∴，即，解得或．
∴实数的取值范围是，
故选：B．
11．（2023下·北京海淀·高二统考期末）已知函数．若函数有三个极值点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据极值点的条件，先可推出的关系，然后根据二次函数根的分布知识求出的范围，最后利用韦达定理求解.
【详解】，则，
由题意，得到，从而，
而，
故，令，
由，
于是有两个根，满足，
注意到二次函数开口向上，对称轴为，故，
解得，于是有两个根，满足，根据韦达定理，.
故选：D
12．（2023·全国·高二随堂练习）已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)若有两个极值点b，c，记过两点，的直线斜率为．是否存在a使？若存在，求a的值；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)不存在符合题意的使,理由见解析.
【分析】（1）对求导，对参数进行分类讨论即可.
（2）由（1）可知当且仅当时，有两个极值点，根据题意列出等式，由分析法判断方程的解的情况即可.
【详解】（1）对求导得，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
所以当时，有，
所以此时在上单调递增；
当时，令，解得，
又，所以，
所以此时、随的变化情况如下表：
由上表可知：此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，此时在上单调递增；当时，此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其中.
（2）由（1）可知当且仅当时，有两个极值点，，
由题意，
又由（1）可知是方程即方程的两根，
所以由韦达定理有，所以，
由题意若，所以有，
且注意到，所以，
又因为，
所以有，
不妨设，则，
求导得，
所以函数在上严格单调递减，
且注意到，
所以只能
又，
所以，
注意到且，
所以不可能成立，
综上所述：不存在符合题意的使.
题型五：已知函数的最值求参数问题
13．（2022上·陕西延安·高二校考期末）设函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)如果对所有的，都有，求a的取值范围．
【答案】(1)在单调递减，在单调递增
(2)
【分析】（1）求出函数定义域，求导，得到函数单调性；
（2）在（1）基础上，由单调性求出，从而求出.
【详解】（1）的定义域为，
，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
故在单调递减，在单调递增；
（2）由（1）知，在上单调递增，
又，，
故，
则，
故a的取值范围为.
14．（2023上·河南许昌·高二统考期末）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)当时，函数在上的最小值为3，求实数的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.
（2）根据给定条件，求出函数的导数，分类讨论求解最小值即可作答.
【详解】（1）当时，，求导得，则，而，
所以函数在点处切线方程为，即.
（2）函数，求导得，，
当时，，函数在上单调递增，，解得，矛盾，
当时，由，得，函数递减，由，得，函数递增，
因此，解得，从而，
当时，，函数在上单调递减，，解得，矛盾，
所以.
15．（2023下·四川宜宾·高二校考期中）已知函数，．
(1)若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(2)记函数，若的最小值是，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知在区间内恒成立，由参变量分离法可得在区间内恒成立，利用导数求出函数在上的最大值，由此可得出实数的取值范围；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的最小值可求得实数的值.
【详解】（1）解：因为，则，
由题意知在区间内恒成立，
所以，在区间内恒成立．
令，，因为恒成立，
所以在区间内单调递减，
所以，所以，即实数的取值范围为．
（2）解：，其中．
因为，
①当时，对任意的恒成立，
所以在区间内单调递增，此时，无最小值，不合题意；
②当时，令，则或（舍去），
当时，；当时，.
所以，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，
则是函数的极小值点，也是最小值点，
所以，
解得，合乎题意.
综上所述，.
【专题强化】
一、单选题
16．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
17．（2023下·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】A
【分析】求导得到导函数，确定，1是的两根，解得答案.
【详解】由，由已知递减区间，则得：，
故，1是的两根，，，
故选：A
18．（2023下·福建龙岩·高二校联考期中）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】函数定义域为，且，
依题意在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递减，
且当时，所以，即实数的取值范围是.
故选：D
19．（2023下·广东韶关·高二统考期末）已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，分类讨论求导函数判断函数单调性及极值点，结合零点存在定理可得参数范围.
【详解】已知函数，函数的定义域为
，
当时，恒成立，所以在上单调递减，故时，至多有一个零点；
当时，令得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．
此时最小值为，
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，即，故没有零点；
③当时，即，又
；
，
由零点存在定理知在上有一个零点；在有一个零点．
所以有两个零点，a的取值范围为；
故选:A．
20．（2023下·安徽滁州·高二统考期末）已知存在唯一极小值点，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性，极值，即可得出答案．
【详解】由，，
，
当时，恒成立，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以没有极小值点，只有极大值点，不合题意，
当时，令，，
，令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
，，当时，且当时，，
①若，则存在，，使得，即，
所以在上，，，，单调递减，
在上，，，，单调递减，
在上，，，，单调递减，
在上，，，，单调递增，
所以当时，有两个极小值点，不合题意，
当时，，即，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以有唯一极小值点，无极大值点，
综上所述，当时，有唯一极小值点．
故选：A
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
21．（2023下·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）已知函数有两个极值点、，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域与导函数，令，依题意可得 在区间上有两个不相等实数根，求出函数的导函数，对分类讨论，解得即可．
【详解】解：因为定义域为，，
令，
函数有两个极值点，则在区间上有两个不相等的实数根，
，
当时，，则函数在区间单调递增，
因此在区间上不可能有两个不相等的实数根，应舍去；
当时，令，解得，
令，解得，即在上单调递增；
令，解得，即在上单调递减．
当时，函数取得极大值即最大值．
而当时，，当时，，
要使在区间上有两个不相等实数根，
则，解得，
实数的取值范围是.
故选：A
22．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考阶段练习）若函数在区间上的最小值为2e，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出的单调性，结合即可求解.
【详解】，令，得，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
而，所以函数在区间上的最小值为2e，
必有，即.
故选：B
23．（2023·甘肃金昌·统考模拟预测）已知函数在上单调递增，且在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数在上单调递增，利用函数导数性质求出的取值范围，在由在区间上既有最大值又有最小值求出的取值范围，然后求交集即可.
【详解】1.因为，则，
若在上单调递增，则在上恒成立，
即恒成立，则，解得；
2.因为，则，
①当时，对任意恒成立，所以在上单调递增，
此时只有最大值，没有最小值不满足题意；
②当时，对任意恒成立，所以在上单调递减，
此时只有最小值，没有最大值不满足题意；
③当时，令，解得；令，解得；
则在单调递增，在单调递减，所以为最小值，
若在上既有最大值，又有最小值，
则且，解得：；
综上所述：．
故选：B.
24．（2022下·广东潮州·高二饶平县第二中学校考开学考试）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由基本不等式求得x＜0时，f（x）的值域，由题意可得x＞0时，f（x）的值域应该包含在x＜0时的值域内，转化为在x＞0时恒成立．利用导数求出的最大值即可.
【详解】当x＜0时，，
当且仅当x＝−1时，f（x）取得最大值f（−1）＝a−2，
由题意可得x＞0时，的值域包含于（−∞，a−2]，
即在x＞0时恒成立
即在x＞0时恒成立
即
设
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
故选：C．
二、多选题
25．（2023下·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）函数，的最大值为，最小值为，则（ ）
A．或B．若，则
C．若，可得D．或
【答案】AB
【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的最值可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出合适的选项.
【详解】因为，，则，
当时，则为常值函数，不合乎题意；
当时，由可得，由可得，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，，则，
又因为，，
因为，则，解得；
当时，由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，，解得，
又因为，，
因为，则，解得.
综上所述，或，AB都对，CD都错.
故选：AB.
26．（2023下·广东汕头·高二校考阶段练习）已知函数有两个不同的极值点，则（ ）
A．有两个不同的解
B．实数的取值范围是
C．两个极值点同号
D．极大值大于极小值
【答案】AD
【分析】利用导数与极值的关系逐项进行检验即可求解.
【详解】，函数有两个不同的极值点有两个不同的解1有两个不同的交点，故A正确；
如图所示，与切于点，故，
又，
综上可解得，故当或时有两个不同的交点，故B错误；
因为切点，将切线倾斜，与的两个交点即为极值点，
显然在处，与相交，即的一个极值点为0，故C错误；
设的另一个极值点为，当时，有，
当时，，当时；
当时，有，当时，，
当时，故的图象先增后减再增，
数形结合显然极大值大于极小值，故D正确，
故选：AD．

【点睛】求函数极值的步骤：
（1） 确定函数的定义域；
（2） 求导数；
（3） 求方程的解；
（4） 检查方程的解的左右两侧导数的符号，确定极值点.
27．（2023下·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设，若函数在上单调递增，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】分析可得在上恒成立，进而分析可得在上恒成立，求出的取值范围，分析选项可得答案．
【详解】因为函数，则，
若函数在上单调递增，则在上恒成立，
，
则有在上恒成立，
因为，则，所以，
必有在上恒成立，
由于，则，必有，即，所以，
解得，
即的取值范围为，分析选项：和符合．
故选：CD．
28．（2023下·河南新乡·高二统考期中）已知函数的导函数为，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，有3个零点B．当时，有2个极值点
C．若为增函数，则D．若为增函数，则
【答案】ABD
【分析】对于A，利用零点的定义直接求解即可，对于B，对函数求导后，由，可得有两个零点，再由极值点的定义判断，对于C，由于导函数为二次函数，所以其不可能为增函数，对于D，由判断即可.
【详解】当时，由，得，则或.
由，可知有两个非零实根，
故有3个零点，A正确.
由，得.因为，
所以恰有2个零点，且在这两个零点周围的符号发生改变，
所以有2个极值点，B正确.
因为是二次函数，所以不可能是增函数，C不正确.
若为增函数，则恒成立，则，解得，D正确.
故选：ABD
29．（2023下·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）已知，则下列说法正确的有（ ）
A．若恒成立，则实数的取值范围是
B．若有极值，则实数的取值范围是
C．若，则实数的取值范围是
D．若有极值点，则
【答案】BCD
【分析】对于A，由已知可得，利用导数求的最大值，可得的取值范围，判断A，
对于B，根据极值的导数的关系，列不等式可求的取值范围，由此判断B，
对于D，结合函数的单调性，判断D，
对于C，由已知可得在单调递增，结合导数与单调性的关系可求的取值范围判断C.
【详解】因为，恒成立，所以恒成立，
设，则，
当时，，函数在上单调递增；
当，函数在上单调递减，
的最大值为，故A错误；
因为函数的定义域为，导函数，
若有极值，则方程有两个不等的实数根，
且至少有一个正根，设其根为，且，则，
所以，又，
所以，，
所以，B正确；
当时，，函数在上单调递增，
当时，时，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
可知，所以D正确；
对C，若，不妨设，可得，
可得在单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
所以，C正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．