2024年上海市黄浦区中考三模数学试卷含详解

这是一份2024年上海市黄浦区中考三模数学试卷含详解，共24页。试卷主要包含了本试卷含三个大题，共25题，05等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1. 下列计算正确的是（ ）
A. （a2）3＝a5B. a2•a3＝a6
C. a5÷a3＝a2D. （a+2a）2＝4a2
2. 下列各数中是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，满足的值随的值增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如果一组数据的众数为，那么这组数据的中位数为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的梯形是等腰梯形
B. 等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形
C. 有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形
D. 有一组对角互补的梯形是等腰梯形．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算：_____．
8. 红细胞的直径约为，用科学记数法表示为______．
9 因式分解：____．
10 方程的根是_____．
11. 不等式组的整数解是______．
12. 如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是______．
13. 在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是______．
14. 某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的成绩整理后分为6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是_____．
15. 如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是_____．
16. 如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点．设，，那么向量用向量表示是________．
17. 当相交两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．已知点O在线段AB上，的半径为1，如果以OB为半径的与“内相交”，且，那么的取值范围是______
18. 如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为______．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19. 先化简，再求值：，其中.
20. 解方程： ．
21. 如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，，．
（1）求的长；
（2）如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由．
22. 在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像．请根据图像回答下列问题：
（1）求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式；
（2）若两人间距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？
23. 如图，梯形中，，，与对角线交于点，，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，如果，求证：．
24. 已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点．
（1）求点的坐标；
（2）当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积；
（3）如果，求抛物线的表达式．
25. 如图，已知圆的半径，是半径上的一个动点（点不与点、点重合），作线段的垂直平分线，分别交线段于点、交圆于点和点（点在点的上方）．连接并延长，交圆于点．
（1）当点是线段中点时，求的值；
（2）当时，
如果，求的长；
连接交于点，连接，如果为等腰三角形，求的长．
2023学年第二学期九年级数学学科2024．05
（满分：150分时间：100分钟）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1. 下列计算正确的是（ ）
A. （a2）3＝a5B. a2•a3＝a6
C. a5÷a3＝a2D. （a+2a）2＝4a2
【答案】C
【分析】分别根据幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法和除法法则、合并同类项法则和积的乘方运算法则进行计算，即可得出答案.
【详解】解：A、（a2）3＝a6，所以此选项不正确；
B、a2•a3＝a5，所以此选项不正确；
C、a5÷a3＝a2，所以此选项正确；
D、（a+2a）2＝（3a）2＝9a2，所以此选项不正确；
故选C．
【点睛】本题考查了幂的运算性质和合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2. 下列各数中是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义逐项判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键．
【详解】解：、，是分数，属于有理数，不合题意；
、是有限小数，属于有理数，不合题意；
、是整数，属于有理数，不合题意；
、，是无理数，符合题意；
故选：．
3. 下列函数中，满足的值随的值增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查了函数的性质，根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质逐一判断即可求解，掌握一次函数、反比例函数及二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴的值随的值增大而增大，该选项不合题意；
、∵，
∴在同一个象限内，的值随的值增大而减小，该选项不合题意；
、∵，
∴的值随的值增大而减小，该选项符合题意；
、∵，
∴当时，的值随的值增大而增大；当时，的值随的值增大而减小，该选项不合题意；
故选：．
4. 如果一组数据的众数为，那么这组数据的中位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】本题考查了众数和中位数，根据众数的定义可得为，再根据中位数的定义计算即可求解，掌握众数和中位数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵数据的众数为，
∴为，
∴数据按从小到大排列为，
∴这组数据的中位数为，
故选：．
5. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，∠1=120°，∠2=45°，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】A
【详解】试卷分析：先根据邻补角的定义得到∠3=60°，根据平行线的判定当b与a的夹角为45°时，b∥c，由此得到直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°=15°．
解：∵∠1=120°，
∴∠3=60°，
∵∠2=45°，
∴当∠3=∠2=45°时，b∥c，
∴直线b绕点A逆时针旋转60°﹣45°=15°．
故选A．
点评：本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的梯形是等腰梯形
B. 等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形
C. 有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形
D. 有一组对角互补的梯形是等腰梯形．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰梯形的判定，根据等腰梯形的判定及三角形中位线的性质逐一判断即可求解，掌握等腰梯形的判定是解题的关键．
【详解】解：、两腰相等的梯形是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意；
、等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形不一定是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意；
、有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形，该选项说法错误，不合题意；
、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，该选项说法正确，符合题意；
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算：_____．
【答案】
【分析】本题考查了实数运算，先根据零指数幂和算术平方根运算，然后进行减法运算即可，解题的关键是熟练掌握零指数幂和算术平方根运算法则．
【详解】解：原式，
，
故答案为：．
8. 红细胞的直径约为，用科学记数法表示为______．
【答案】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故答案为：
9. 因式分解：____．
【答案】x(x-9)
【分析】根据提取公因式法分解因式，即可．
【详解】x(x-9)，
故答案是：x(x-9)．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键．
10. 方程的根是_____．
【答案】x＝1
【分析】先把方程两边同时平方转化为有理方程，然后解得有理方程的解，最后要进行检验，本题得以解决．
【详解】两边平方，得
x2＝4﹣3x，
解得，x＝1或x＝﹣4，
检验：当x＝﹣4不是原方程的根，
故原无理方程的解是x＝1，
故答案为x＝1
【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解法，注意解方程最后要检验．
11. 不等式组的整数解是______．
【答案】，
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，再根据解集即可得到不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解是，，
故答案为：，．
12. 如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【详解】解：∵方程没有实数根,
∴
故答案为：．
13. 在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是______．
【答案】##0.6
【分析】本题考查了求简单事件的概率，求出张纸片中中心对称图形的个数，再利用概率公式计算即可求解，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】解：∵在等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形中，属于中心对称图形的有圆、矩形、菱形种，
∴从张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是，
故答案为：．
14. 某班学生参加环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数．把参赛学生的成绩整理后分为6小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图（如图所示），根据图中的信息，可得成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是_____．
【答案】80%．
【分析】根据频数分布直方图可得全班的总人数及成绩高于60分的学生，从而得出答案．
【详解】∵全班的总人数为3+6+12+11+7+6＝45人，其中成绩高于60分的学生有12+11+7+6＝36人，
∴成绩高于60分的学生占全班参赛人数的百分率是，
故答案为80%．
【点睛】本题主要考查频数分布直方图，根据频数分布直方图明确各分组人数是解题的关键．
15. 如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是_____．
【答案】6．
【分析】根据正n边形的内角是它中心角的两倍，列出方程求解即可．
【详解】依题意有×2，
解得n＝6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查多边形内角与外角，此题比较简单，解题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角的求法．
16. 如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点．设，，那么向量用向量表示是________．
【答案】
【详解】分析：根据梯形的中位线等于上底与下底和的一半表示出EF，然后根据向量的三角形法则解答即可．
详解：∵点E、F分别是边AB、CD的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，FC=DC，∴EF=（AD+BC）．∵BC=3AD，∴EF=（AD+3AD）=2AD，由三角形法则得，=+=2+===2+．
故答案2+．
点睛：本题考查了平面向量，平面向量的问题，熟练掌握三角形法则和平行四边形法则是解题的关键，本题还考查了梯形的中位线等于上底与下底和的一半．
17. 当相交的两个圆中有一个圆的圆心在另一圆的圆内部时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．已知点O在线段AB上，的半径为1，如果以OB为半径的与“内相交”，且，那么的取值范围是______
【答案】
【分析】本题考查了新定义，圆与圆的位置关系，根据题意画出草图，确定临界点，即可求解．
【详解】解：如图所示，设为的中点，则
当与重合时，，如图所示，此时在上，则时，两圆“内相交”．
当时，两圆“内相交”．
∴
故答案为：．
18. 如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点恰好与的重心重合，与相交于点，那么的值为______．
【答案】##
【分析】本题考查了三角形的重心的性质，相似三角形的性质与判定，根据题意得出，进而证明，根据向上三角形的性质得出，结合直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：如图所示，
为的中点，为的重心，
∵在中，，
∴
∴
∵旋转，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴
设，则
∴，
∴
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19. 先化简，再求值：，其中.
【答案】,
【详解】先把分母因式分解、通分化成同分母，然后进行加减运算算，最后把x的值代入进行求值即可．
解：

当时，原式=.
“点睛”本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．
20. 解方程： ．
【答案】，．
【分析】先把方程组化成两个二元一次方程组，再解这两个二元一次方程组即可．
【详解】解：∵，∴或，解得，．
【点睛】此题主要考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键．
21. 如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，，．
（1）求的长；
（2）如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）直线与相交，理由见解析．
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角函数，三角形的面积，直线和圆的位置关系，正确作出辅助线是解题的关键．
（）连接并延长交于点，连接，由可得，进而得，，利用勾股定理得，得到，再由勾股定理即可得到的长；
（）直线与相交．过点作于，由三角函数得，得到，进而得，再根据三角形的面积得，即可求证．
小问1详解】
解：连接并延长交于点，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：直线与相交，理由如下：
过点作于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线与相交．
22. 在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像．请根据图像回答下列问题：
（1）求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式；
（2）若两人间的距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？
【答案】（1）；
（2）小时．
【分析】（）根据题意列出函数解析式即可；
（）求出两人途中相遇的时间，可求出小刚此时距地的距离，再算出相遇后两人相距千米的时间，求出此时小刚距的距离，进而求出小刚到达地的时间，然后求出小刚从地返回地与小明相距的时间，把两个时间相加即为两人无法用无线对讲机保持联系的总时间；
本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，看懂函数图象是解题的关键．
【小问1详解】
解：由图可得，小明骑自行车的速度为千米小时，
∴小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式为；
【小问2详解】
解：由图可得，小刚骑电动车的速度为千米小时，
当两人在途中相遇时，有，
∴，
此时，小刚距地千米，
相遇后设小时两人相距千米，则，
∴，
此时，小刚距地千米，到达需要的时间为，
设小刚从地返回地小时与小明相距千米，
则，
解得，
∴两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间为小时．
23. 如图，在梯形中，，，与对角线交于点，，且．
（1）求证：四边形菱形；
（2）连接，如果，求证：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（）由，得四边形是平行四边形，由得，得到，同理得，进而由得到，即可求证；
（）连接，与交于点，证明得到，进而由，，，可得，据此即可求证；
本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，
∴
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
证明：连接，与交于点，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即．
24. 已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点．
（1）求点的坐标；
（2）当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积；
（3）如果，求抛物线的表达式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得，令得到，求得直线的解析式为，进而即可求解；
（2）根据题意，分两种情况讨论，①与轴只有1个交点；②过原点，根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解；
（3）根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，进而得出是等腰直角三角形，结合的坐标，建立方程，解方程，得出，进而求得抛物线解析式．
【小问1详解】
解：令，则，则，
∵
∴
又，
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为，
令，则，
∴；
【小问2详解】
①当抛物线与轴只有一个交点与轴有一个交点时，
当时，
即
∵抛物线与坐标轴共有两个不同的交点
∴
解得
∵，
∴
∴
②当抛物线过原点时，且与轴有2个交点时，
将代入解析式
∴
即
∴
∴此情况不存在，
综上所述，
【小问3详解】
解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为，
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
又∵
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∵，
∴
解得：（舍去）或
∴．
25. 如图，已知圆的半径，是半径上的一个动点（点不与点、点重合），作线段的垂直平分线，分别交线段于点、交圆于点和点（点在点的上方）．连接并延长，交圆于点．
（1）当点是线段中点时，求的值；
（2）当时，
如果，求的长；
连接交于点，连接，如果为等腰三角形，求的长．
【答案】（1）；
（2）；或．
【分析】（）利用线段垂直平分线和线段中点性质可得，，利用勾股定理可求出，即可求解；
（）延长交圆于点，连接，可证，得到，据此即可求解；分三种情况讨论：，和，进行解答即可求解．
【小问1详解】
解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵点是线段中点时，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，，
∴；
【小问2详解】
解：延长交圆于点，连接，则，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴；
如图，分三种情况讨论：
当时，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，，
∴，，
∴，，
∴，
即，
∴，
即，
∴；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
由（）知，
∴，
即，
解得或（不合，舍去），
∴，
∴；
当时，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，为圆直径的，不合题意，故此种情况不存在；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键．