2023年上海市黄浦区九年级上学期数学期末质量检测卷（中考一模）含详解

这是一份2023年上海市黄浦区九年级上学期数学期末质量检测卷（中考一模）含详解，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在直角坐标平面内，如果点，点与原点连线与轴正半轴的夹角是，那么的值是（ ）
A. 4B. C. D.
2. 关于抛物线以下说法正确的是（ ）
A. 抛物线在直线右侧的部分是上升的
B. 抛物线在直线右侧的部分是下降的
C. 抛物线在直线右侧的部分是上升的
D. 抛物线在直线右侧的部分是下降的
3. 二次函数的图像的顶点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 如图，梯形中，，点、分别在腰、上，且，下列比例成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 矩形的对角线与相交于点，如果，，那么（ ）
A. B.
C D.
6. 下列条件中，不能判定与相似的是（ ）
A. ，
B ，，
C. ，，，，
D. ，，，，
二、填空题：（本大题共12题）
7. 计算：______．
8. 如果一个二次函数的图像的对称轴是轴，且这个图像经过平移后能与重合，那么这个二次函数的解析式可以是______．（只要写出一个）
9. 已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是______．
10. 已知点P是线段的黄金分割点，且那么 ___________．
11. 已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为54，那么的最短边的长是______．
12. 如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是______．
13. 在中，，已知的正弦值是，那么的正弦值是______．
14. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为______．
15. 在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是______．（不必写定义域）
16. 已知是的重心，过点作交边于点，作交边于点，如果四边形的面积为2，那么的面积是______．
17. 如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为，过点作的垂线，交边于点，如果，，那么的长是______．
18. 将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片如图所示，其中，厘米，厘米，厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是______平方厘米．
三、解答题（本大题共7题）
19. 计算：．
20. 已知：如图，平行四边形中，点、分别在边、上，对角线分别交、于点、，且．
（1）求证：；
（2）设，，请直接写出关于、分解式．
21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）如果拋物线经过点，求该拋物线的对称轴；
（2）如果抛物线的顶点在直线上，求的值．
22. 圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代很多地区通过观察“表”在“圭”上的影子长度来测算二十四节气，并以此作为指导农事活动的重要依据．例如，我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．
某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即的长）约为多少米？（参考数据见表1，结果精确到个位）
表1
（注：表1中三角比的值是近似值）
23. 已知：如图，点、分别在等边三角形的边的延长线与反向延长线上，且满足．求证：
（1）；
（2）．
24. 平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．
（1）当，时，
①求该抛物线的表达式；
②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值；
（2）若，且、、中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围．
25. 已知，如图1，在四边形中，，，．

（1）当时（如图2），求的长；
（2）连接，交边于点，
①设，，求关于的函数解析式并写出定义域；
②当是等腰三角形时，求的长．
九年级数学
一、选择题（本大题共6题）
1. 在直角坐标平面内，如果点，点与原点的连线与轴正半轴的夹角是，那么的值是（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】A
【分析】由锐角的余切定义，即可求解．
【详解】解：如图，
∵点，
∴．
故选∶ A
【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，关键是掌握锐角的三角函数定义．
2. 关于抛物线以下说法正确的是（ ）
A. 抛物线在直线右侧的部分是上升的
B. 抛物线在直线右侧的部分是下降的
C. 抛物线在直线右侧的部分是上升的
D. 抛物线在直线右侧的部分是下降的
【答案】C
【分析】根据题目中的抛物线解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线在直线右侧的部分是上升，故选项A、B错误，不符合题意；
抛物线在直线右侧的部分是上升的，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意；
故选∶C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3. 二次函数的图像的顶点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【分析】利用配方法把二次函数解析式配成顶点式，然后利用二次函数的性质求解．
【详解】解：
，
，
∴顶点坐标为，
∴二次函数的图像的顶点位于第三象限，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是将题目中的函数解析式化为顶点式．
4. 如图，梯形中，，点、分别在腰、上，且，下列比例成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键．
5. 矩形的对角线与相交于点，如果，，那么（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】求出，再根据即可得到结果．
【详解】解：如图所示：
∵
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面向量，矩形的性质，本题侧重考查知识点的理解能力．
6. 下列条件中，不能判定与相似的是（ ）
A. ，
B. ，，
C. ，，，，
D. ，，，，
【答案】D
【分析】由相似三角形的判定依次判断，可求解．
【详解】解∶ A．∵，，
∴与相似，
故选项A不合题意；
B．∵，，
∴，
∴，
∴与相似，
故选项B不合题意；
C．，，
∴与相似，
故选项C不合题意；
D．，但与不一定相等，
与不一定相似，
故选项D符合题意；
故选∶D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
二、填空题：（本大题共12题）
7. 计算：______．
【答案】##
【分析】根据向量的运算法则可直接进行解答．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面向量的知识，熟悉向量的相关性质是解题的关键．
8. 如果一个二次函数的图像的对称轴是轴，且这个图像经过平移后能与重合，那么这个二次函数的解析式可以是______．（只要写出一个）
【答案】
【分析】先设原抛物线的解析式为，根据二次函数的图像平移性质知，据此写出符合要求的解析式即可．
【详解】解∶先设原抛物线解析式为，
经过平移后能与抛物线重合，
∴，
∴这个二次函数的解析式可以是（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的图像与几何变换，熟知二次函数图像平移中不变的性质是解答的关键．
9. 已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是______．
【答案】##
【分析】设第二个矩形较长的一边长是a，根据相似多边形的性质得出，再求出a即可．
【详解】解：设第二个矩形较长的一边长是a，
∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，
∴，
解得∶，
即第二个矩形较长一边长是，
故答案为∶．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，能熟记相似多边形的性质（相似多边形的对应边的比相等）是解此题的关键．
10. 已知点P是线段的黄金分割点，且那么 ___________．
【答案】##
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
【详解】解：∵P为线段的黄金分割点，且是较长线段；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．
11. 已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为54，那么的最短边的长是______．
【答案】12
【分析】先计算出的周长，进而得出相似比为，进而得出答案．
【详解】解：∵的三边长分别为2、3、4，
∴的周长为：9
∵与相似，且周长为54，
∴与的周长比为，
∴与的相似比为，
设的最短边的长是x ，则：
，
解得∶．
故答案为∶12．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
12. 如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是______．
【答案】##
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得x的值．
详解】解∶∵，，
∴，
∴，
∵的长是，
∴，
∵零件的外径为，
∴零件的厚度为∶，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值．
13. 在中，，已知的正弦值是，那么的正弦值是______．
【答案】##
【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．
【详解】解：中，， ∠A的正弦值是即，
∴设，则，由勾股定理得，
∴，
故答案为∶．
【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．
14. 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为______．
【答案】1：1.5
【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．
【详解】解：∵，
∴斜面AB的坡度为2：3=1：1.5，
故答案为：1：1.5．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
15. 在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为平方厘米，那么关于的函数解析式是______．（不必写定义域）
【答案】
【分析】根据几何关系先把矩形的另一边用x表示出来，再利用矩形面积公式得到y与x的表达式．
【详解】解：如图所示，由题意，,，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
由矩形可知，，
∴，
∴，
∴矩形面积为，
故答案为∶．
【点睛】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式，解题关键是熟知等腰直角三角形和矩形的性质．
16. 已知是重心，过点作交边于点，作交边于点，如果四边形的面积为2，那么的面积是______．
【答案】9
【分析】延长交于F点，连接，先证四边形为平行四边形得，由G是的重心，得，为边上的中线，再根据平行线分线段成比例可证，从而即可求解．
【详解】解：延长交于F点，连接，如图，
∵， ，
∴四边形为平行四边形，
∴
∵G是的重心，
∴，为边上的中线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为边上的中线，
∴．
故答案为∶ 9．
【点睛】本题考查了三角形的重心∶三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，也考查了平行四边形的判定与性质和平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
17. 如图，在矩形中，过点作对角线的垂线，垂足为，过点作的垂线，交边于点，如果，，那么的长是______．
【答案】
【分析】利用矩形的性质求出，利用三角形的面积、勾股定理求出、的长，再利用等角的余角相等说明、，得，最后利用相似三角形的性质得结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
【点睛】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质与判定、三角形的内角和定理及勾股定理是解决本题的关键．
18. 将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片如图所示，其中，厘米，厘米，厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是______平方厘米．
【答案】或
【分析】先由勾股定理求得厘米，再分情况讨论，利用三角形相似求解即可．
【详解】解：连接，
∵，厘米，厘米，厘米，
∴即，
∴厘米，
如下图，延长，相交于点N，设厘米，
∵，，厘米，
∴，
∴即，
∴厘米，厘米，
平方厘米；
如下图，延长，相交于点M，设厘米，
∵，，厘米，
∴，
∴即，
∴厘米，
平方厘米，
故答案为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题）
19. 计算：．
【答案】
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
20. 已知：如图，平行四边形中，点、分别在边、上，对角线分别交、于点、，且．
（1）求证：；
（2）设，，请直接写出关于、的分解式．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，，进而得，，得， 再证得，从而即可得证；
(2)由向量差可知，，再证，从而．
【小问1详解】
证明：∵
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，'，
∴，，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
由（1） 知，，，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，平面向量的计算等相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）如果拋物线经过点，求该拋物线的对称轴；
（2）如果抛物线的顶点在直线上，求的值．
【答案】（1）；
（2）0或2．
【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，列出关于系数的方程，解方程求得m的值；然后将所求的抛物线解析式转化为顶点式，直接得到拋物线的对称轴；
（2）根据题意可以求得抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标代入，从而可以求得m的值．
【小问1详解】
解：把点代入，得．
解得，
则该抛物线解析式为：．
∴该拋物线的对称轴是；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标是，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴，
解得∶或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22. 圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代很多地区通过观察“表”在“圭”上的影子长度来测算二十四节气，并以此作为指导农事活动的重要依据．例如，我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．
某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即的长）为米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即的长）约为多少米？（参考数据见表1，结果精确到个位）
表1
（注：表1中三角比的值是近似值）
【答案】表的高度是9米．
【分析】利用和的正切，用表示出和，得到一个只含有的关系式，再解答即可．
【详解】解：∵在中，，在中，，
∴，，
∵，
∴（米）
答∶表的高度是9米．
【点睛】本题主要考查了三角函数，熟练掌握建模思想是解决本题的关键．
23. 已知：如图，点、分别在等边三角形的边的延长线与反向延长线上，且满足．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由三角形的性质证，，再由得，即可得证；
（2）证明即可得证．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴即，
∴；
【小问2详解】
证明：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．
（1）当，时，
①求该抛物线的表达式；
②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值；
（2）若，且、、中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围．
【答案】（1）①；②或；
（2）可取，或．
【分析】（1）①先求得对称轴为，再根据待定系数法即可求得抛物线的表达式；②根据平移得，又由抛物线过点，即可得解；
（2）由得抛物线，又由点， ，在抛物线上，且使得、、中有且仅有一个值大于0，从而可取，此时，，，分抛物线的对称轴在y轴的左侧时和抛物线的对称轴在y轴的右侧两种情况讨论求解b的取值范围．
【小问1详解】
解：①∵抛物线过点，， ，
∴点B、C为对称点，其对称轴为，
∴，
∴，
∴，
∵过点，，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为，
②抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后得，
∵过点，
∴ ，
解得或；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线过点，
∴抛物线
∵点， ，在抛物线上，且使得、、中有且仅有一个值大于0，
∴可取，此时，，，
当抛物线的对称轴在y轴的左侧时，
∵抛物线开口向下，
∴，，，
∴，，，
∴，
当抛物线的对称轴在y轴的右侧时，
∵抛物线开口向下，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
综上得，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求解二次函数的解析式以及二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像及性质式解题的关键．
25. 已知，如图1，在四边形中，，，．

（1）当时（如图2），求的长；
（2）连接，交边于点，
①设，，求关于的函数解析式并写出定义域；
②当是等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）；
（2）的长为或．
【分析】（1）在中，解直角三角形得，，再证即可得解；
（2）①先求得，，根据， 可得定义域，证明可得关于的函数解析式；②分两类讨论求解，当时，作于点Q，作于点P，证得解，当时，作垂直直线于点N， 证得解．
【小问1详解】
解：∵在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴；
【小问2详解】
解：①如图2，作于点N，
∵，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
②∵，
∴，
∴，
当时，作于点Q，作于点P，如下图，易知四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴；
当时，作垂直直线于点N，如下图，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∵⊥，
∴，，
∴，
解得或（舍去），
综上的长为或．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、求函数解析式、矩形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．