北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试卷

这是一份北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共18分）(共8题；共16分)
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A . B . C . D .
2. 下列各组数分别是三条线段的长度，其中能围成直角三角形的是（ ）
A . 1，1，2 B . 1，2，3 C . 3，4，5 D . 2，3，4
3. 若一次函数的图象经过点和点 ， 当时， ， 则的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
4. 下列不能表示y是x的函数的是（ ）
A . B . C . D .
5. 顺次连接矩形各边的中点，所成的四边形一定是（ ）
A . 菱形 B . 矩形 C . 正方形 D . 不确定
6. 如图，在中，点分别是边的中点，点是线段上的一点．连接 ， 且 ， 则的长是（ ）
A . 2 B . 3 C . 4 D . 5
7. 如图，将长方形沿对角线折叠，使点落在点处， ， 则重叠部分（即）的面积为（ ）
A . 6 B . 10 C . 12 D . 16
8. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为 ， 斜边为 ， 给出下面三个结论：
①； ②； ③ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A . ①② B . ②③ C . ①③ D . ①②③
二、填空题（共16分，每题2分）(共8题；共16分)
9. 若式子有意义，则的取值范围是．
10. 当时，化简： ．
11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为 ， 若直线与有公共点，则的取值范围为．
13. 如图，在正方形中，点分别是边上的点，连接 ， 若 ， 则的度数为．
14. 如图，已知菱形的两条对角线分别为6和8，点是边的中点，点是边上一点，点是对角线上一点，则的最小值为．
15. 如图，在等边中， ， 射线 ， 点从点出发沿射线以速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．如果点同时出发，设运动时间为 ， 则当时，以为顶点的四边形是平行四边形．
16. 已知A、B两地是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，则下列结论正确的有．
①两人出发后相遇；②甲骑自行车的速度为；③乙比甲提前到达目的地；④乙到达目的地时两人相距 ．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
三、解答题（共68分，其中第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27—28题每题7分）(共12题；共68分)
17. 计算： ．
18. 计算： ．
19. 已知 ， 求代数式的值．
20. 分别在以下网格中画出图形．
（1） 在图1中，以格点为顶点，画一个面积为5的正方形；
（2） 在图2中，以格点为顶点，画出一个腰长为 ， 面积为3的等腰三角形．
21. 如图，中， ．
求作：矩形 ．
作法：
①作线段的垂直平分线交于点；
②连接并延长，在延长线上截取；
③连接 ．
则四边形为所求作的矩形．
（1） 使用直尺和圆规，依作法补全尺规作图（保留作图痕迹）；
（2） 完成下面的证明．
证明：是线段的垂直平分线，
，
，
四边形为平行四边形（ ）（填推理依据）．
，
平行四边形为矩形（ ）（填推理依据）．
22. 小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度.
小东经测量得知AB=AD=5m，∠A=60°，BC=12m，∠ABC=150°.
小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度.
你同意小明的说法吗?若同意，请求出CD的长度；若不同意，请说明理由.
23. 在平面直角坐标系中，某一次函数的图象是由直线平移得到的且经过点 ， 交轴于点 ．
（1） 求此一次函数的表达式；
（2） 若点为此一次函数图象上一点，且的面积为6，求点的坐标．
24. 如图，在矩形中， ， 相交于点O， ， ．
（1） 求证：四边形是菱形；
（2） 若 ， 求四边形的面积．
25. 如图，在等腰中， ． 点为的中点，动点从点出发，沿着方向运动至点处停止，过点作 ， 交于点 ． 设点运动的路程为 ， 点的距离为 ．
（1） 请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2） 在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3） 解决问题：当点的距离恰好是点运动的路程的2倍时，点的距离是．
26. 阅读：将一个量，用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第十七章勾股定理时，我们就是利用“算两次”原理，用不同的方式表示同一图形的面积，探究出了勾股定理．
（1） 【问题探究】
小明尝试用“算两次”原理解决下面的问题：
如图1，在中， ， 求斜边边上的高的值．
小明用两种方法表示出的面积：
①；
② ．
图1
由勾股定理，得斜边的长度为5，由此可以算出．
（2） 【学以致用】
如图2，在矩形中， ， 点是边上任意一点，过点作 ， 垂足分别为 ． 则可以运用“算两次”原理，用不同的方式表示的面积，求出的值为．
图2
（3） 【拓展延伸】
如图3，已知直线与直线相交于点 ， 且这两条直线分别与轴交于点 ． 在线段上有一点 ， 且点到直线的距离为4，请利用以上所学的知识求出点的坐标．
图3
27. 如图，正方形中，点是对角线上任意一点，连接 ， 以点为垂足，过点作 ， 交于点 ， 连接 ， 取的中点 ， 连接 ．
（1） 依题意补全图形；
（2） 若 ， 求的大小（用含的式子表示）；
（3） 用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，对于点和线段 ， 其中 ， 给出如下定义：若存在实数 ， 使得 ， 则称点是点关于线段的“中旋点”．
（1） 已知点 ， 点是关于线段的“中旋点”．
①若点的坐标是 ， 则点的坐标是 ；
②若点的坐标是 ， 点的坐标是 ， 点是线段上任意一点，求线段长的取值范围；
（2） 已知点 ， 以为对角线构造正方形 ， 在该正方形边上任取两点（包括顶点）构造线段 ， 若直线上至少存在一个点关于的“中旋点”，直接写出的取值范围．