数学：湖南省长沙市部分学校2024年中考一模试题（解析版）

这是一份数学：湖南省长沙市部分学校2024年中考一模试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】的倒数是，
故选：．
2. 中国航天取得了举世瞩目成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知为米（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】．
故选：B．
4. 值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（ ）
A. 两点之间，线段最短B. 两点确定一条直线
C. 两点的距离最短D. 以上说法都不对
【答案】B
【解析】把每一列最前和最后的课桌看作两个点，
∴这样做的道理是：两点确定一条直线．
故选：B
5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在中，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为．
故选：A．
6. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为；把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ）
A. 快马的速度B. 慢马的速度
C. 规定的时间D. 以上都不对
【答案】C
【解析】设规定时间为x天，则快马所需的时间为天，慢马所需的时间为天，由题意得：，
∴x表示规定的时间．
故选：C．
7. 如图，是半圆O直径，C，D是圆上的两点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵是半圆O的直径，
，
，
，
∵四边形是的内接四边形，
，
故选：B．
8. 若三角形的三边长分别为，且满足，则这个三角形的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 无法判断
【答案】B
【解析】∵，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：B．
9. 如表表格是校女子排球队12名队员的年龄分布：
则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（ ）
A. 极差是4B. 中位数是
C. 众数是15D. 平均数是15
【答案】C
【解析】观察图表可知：
这12名队员的年龄的极差为．故A不符合题意；
共12人，中位数是第6，第7个数的平均数，因而中位数是15．故B不符合题意；
年龄是15岁的人数最多的是5人，众数是15．故C符合题意；
平均数为．故D不符合题意；
故选：C．
10. 伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】阻力和阻力臂的函数关系式为，
点在该函数图象上，
，
解得，
阻力和阻力臂的函数关系式为，
，
，
当时，，
小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足，
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：3x—12xy2 =__________．
【答案】
【解析】==，
故答案为：．
12. “八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是______（填写“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”）．
【答案】随机事件
【解析】 “八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，
意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，说的是随机事件．
故答案为：随机事件．
13. 一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______．
【答案】
【解析】该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．
故答案为6π．
14. 如图，在矩形中，将四边形沿折叠得到四边形．已知，则_________．
【答案】
【解析】四边形由四边形翻折而成，
，
，
，
．
四边形是矩形，
，
．
故答案为：．
15. 一次函数与的图像如图所示，则的解集是_____．
【答案】
【解析】观察函数图象得时，，
所以的解集是．
故答案为：．
16. 如图，是操场上直立的一根旗杆，旗杆上有一点B，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D点到B点的仰角，到A点的仰角，若米，则旗杆的高度________________米．
【答案】
【解析】在中，
∵°，
∴米，
在中，
∵，
∴米．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
解：原式．
18. 先化简，再求值：，其中，．
解：原式．
当，时，
原式．
19. 阅读材料，完成下面问题：
如图，点A是直线外一点，利用直尺和圆规按如下步骤作图．

（1）利用，可得到平分，请根据作图过程，直接写出这两个三角形全等的判定依据 ；
（2）若，，求线段的长．
解：（1）由作图可知：，，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
综上所述：这两个三角形全等的判定依据；
故答案为：；
（2）过点A作，由作图得，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴．
20. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 ，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中a的值为 ，圆心角β的度数为 ；
（3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？
（4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率．
解：（1）样本容量为，
C组的人数为，
故答案为：60，
统计图如图所示；
（2），即a=20；，
故答案为：20，144°；
（3）（名），
答：全校寒假阅读的总时间少于24小时的学生估计有1000名；
（4）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴P（恰好选中甲和乙）．
21. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若正方形的面积为72，，求菱形的面积．
解：（1）菱形的对角线和交于点，
，，，
∵，
∴，
即，
又，
四边形是菱形，
，
，
，
，
菱形是正方形；
（2）正方形的面积为72，
，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
菱形的面积．
22. 【发现问题】
掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．
【提出问题】
实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
【解决问题】
（1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是______米，实心球在空中的最大高度是______米；
（2）求满足条件的抛物线的解析式；
（3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
解：（1）根据表格数据可得时，对称轴为直线，
当时，
即在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米，实心球在空中的最大高度是米；
故答案为：，．
（2）设抛物线的解析式为，
由表格可知：抛物线的顶点坐标是，
∴设抛物线的解析式为：
∵图象经过点，
∴，
∴，
∴；
（3）当时，，
解得：；（不合题意，舍去），
．
答：明明在此次考试中能得到满分．
23. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，水斗舀满河水，将水提升，水流源源不断，流入田地（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，接水槽所在的直线是圆O的切线，且与直线交于点M，P、O、C三点共线，是圆O的直径时；
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，，求的长
解：（1）是圆的直径，
，
，
是圆的切线，
，
，
，
∵，
，
；
（2），，
，
，
；
（3），，，
，
，
，
，
过点作交于点，
在中，，
在中，，
，
解得，
，
．
24. 定义：在平面直角坐标系中，若在函数图象W上存在一点M，绕原点顺时针旋转后的对应点N（点N与M不重合）仍在此函数图象W上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点M称为这个函数的“凡尔赛点”
（1）函数①，②，③，其中是“凡尔赛函数”的是 ；（填序号）
（2）若一次函数是“凡尔赛函数”，点（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求k的值；
（3）若点是二次函数（其中a，b，c为常数，）的“凡尔赛点”，点B为A的“后凡尔赛点”，由点A、B、C、D四点构成的四边形面积记为S，求S的取值范围．
解：（1）①设点在函数的图像上，点绕原点顺时针旋转后的对应点为，则，即，解得：，
，
点与点同一个点，
故不是凡尔赛函数，
②设点在函数的图像上，点绕原点顺时针旋转后的对应点为，则，
即，
解得：，
时，函数无意义，
故不是凡尔赛函数，
③设点在函数的图像上，点绕原点顺时针旋转后的对应点为，则，
即，
解得：或，
当时，点为，点为，时同一个点，不符合，
当时，点为，点为，
绕原点顺时针旋转后的对应点为，在函数上，
是凡尔赛函数，
故答案为：③；
（2）∵点是一次函数的“凡尔赛点”，的“后凡尔赛点”为，
∴，得；
当时，；
当时，
∵关于k的一元二次方程 有实数根，
，
解得 ，
又m为整数，
∴或，
当时，，解得 或；
当时，解得（舍去），．
综上：k值为或1或或．
（3）∵点是二次函数（ 其中a，b，c为常数，
∴“后凡尔赛点”B的坐标为，
∴，
解得，
∴，令得，
∵．
令，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
．
∴．
25. 如图1，在中，，，，是的中点．经过，，三点的交于点，连接．
（1）求和的长；
（2）如图2，两动点P、Q分别同时从点A和点C出发匀速运动，当点P运动到点E时，点Q恰好运动到点B，P、Q停止运动，连接．
①记，当的面积最大时，求x的值；
②如图3，连接并延长交于点，连接、．当平分时，求的值．
解：（1）在中，
，，，
，，
连接，如图，
，
是的直径，
，
又是的中点，
，
在中，
，，
，，
；
过点作于点，
在和中，
，，
，，
在中，
，
；
（2）①当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点，
，
，，，
，
，
过点作于点，如图，
，
，
的面积．
，，
当时，的面积最大．
当的面积最大时，的值为4；
②由（1）知：，
过点作，过点作，如图，
平分，，，
，
平分，
∴，
，
又，
，
，，
，
．
，，
，
，
，
解得：，，
在中，
，，
．
．
年龄（岁）
13
14
15
16
人数（名）
1
4
5
2
（1）在直线上任取一点，画线段．
（2）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交直线于点．
（3）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，画射线
（4）以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点，画直线．
水平距离
竖直高度