人教版七年级数学下册专题11解题技巧专题：与二元一次方程组解法有关的问题(原卷版+解析)(五大考点)

这是一份人教版七年级数学下册专题11解题技巧专题：与二元一次方程组解法有关的问题(原卷版+解析)(五大考点)，共41页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21661" 【典型例题】 PAGEREF _Tc21661 \h 1
\l "_Tc15569" 【考点一 解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc15569 \h 1
\l "_Tc31947" 【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】 PAGEREF _Tc31947 \h 8
\l "_Tc27783" 【考点三 二元一次方程组的特殊解法】 PAGEREF _Tc27783 \h 15
\l "_Tc519" 【考点四 已知二元一次方程组的解求参数】 PAGEREF _Tc519 \h 22
\l "_Tc30811" 【考点五 新定义型二元一次方程组问题】 PAGEREF _Tc30811 \h 25
【典型例题】
【考点一 解二元一次方程组】
例题：（2023秋·广东深圳·八年级校联考期末）解方程组：
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）用适当的方法解下列方程组．
(1)； (2)．
2．（2023秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）解方程组：
(1)； (2)．
3．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）解方程组
(1) (2)
4．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）解下列方程组：
(1) (2)
5．（2023春·全国·七年级专题练习）用加减消元法解方程组：
(1)； (2)．
6．（2023春·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）解下列二元一次方程组
(1) (2)
7．（2023春·山东东营·七年级东营市东营区实验中学校考阶段练习）用适当的方法解下列方程组：
(1)； (2)．
(3)； (4)．
【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】
例题：（2023秋·山西运城·八年级统考期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2得③………………第一步
②-③得……………第二步
……………第三步
将代入①得………………第四步
所以，原方程组的解为……………第五步
填空：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______，其中第一步的依据是______．
(2)第______步开始出现错误，具体错误是__________________．
(3)求出该方程组的正确解．
【变式训练】
1．（2023秋·河南开封·八年级统考期末）阅读下列计算过程，回答问题：
解方程组：
解：①，得，③……第1步
②③，得，……第2步
把代入①，得，……第3步
∴该方程组的解是……第4步
(1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第________步（填序号），第二次出错在第________步（填序号），以上解法采用了________消元法．
(2)写出这个方程组的正确解答过程．
2．（2022·吉林长春·七年级期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
3．（2022·河北唐山·二模）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程组的解为……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
4．（2023秋·山西晋中·八年级统考期末）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：
（1）以上解题过程中，第二步通过____________的变形得到了；
A．①+③ B．①−③ C．①−② D．②+③
（2）第____________步开始出错：
（3）请直接写出原方程组的解：________________________；
任务二：
请你根据平时的学习经验，说说解二元一次方程组的基本思路：____________________________________．
5.（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【考点三 二元一次方程组的特殊解法】
例题：（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面解方程组的方法，然后解决问题：
解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的．
解：，得，
∴③
，得④
，得，将代入③，得，
所以原方程组的解是．
请用上述方法解方程组．
2．（2023春·七年级单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．
解方程：
解：①-②，即③
③×16，得④
②-④，得．
把，代入③，得．解得．
所以原方程组的解为：
(1)请仿照上面的方法解方程组：；
(2)请猜想关于x，y的方程组的解，并利用方程组的解加以验证
3．（2022·重庆璧山·七年级期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
4．（2022春·江西赣州·七年级统考期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
(2)如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
由此请你解决下列问题：
(3)若关于m，n的方程组与有相同的解，求a，b的值．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读探索：
知识累计：解方程组
解：设，，原方程组可变为
解方程组得：，即，解得．所以此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：
(2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解．
【考点四 已知二元一次方程组的解求参数】
例题：（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）已知方程组的解满足x，y互为相反数，则k＝_____．
【变式训练】
1．（2022·广东韶关实验中学七年级期中）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是______．
2．（2022·山东济宁·七年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝5的解相同，则k的值是 _____．
3．（2022·山东淄博·七年级期中）关于x，y的二元一次方程组有正整数解，则正整数m的值是_______．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）如果方程组，的解满足，则a的值为____________．
5．（2023春·浙江·七年级专题练习）二元一次方程组的解互为相反数，则的值为________．
6．（2022·全国·七年级专题练习）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为___________．
【考点五 新定义型二元一次方程组问题】
例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b= ax- by．
(1)若2※2 =-3，求x- y的值；
(2)若3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，求x、y的值．
【变式训练】
1．（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）对于、我们定义一种新运算“”：，其中、类为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算已知：、，求的值．
2．（2022·全国·七年级专题练习）对x，y定义一种新运算，规定： ，（其中a，b均为非零常数），例如： ．
(1)求与的值（用含a，b的代数式表示）；
(2)若（c为非零的常数），求代数式7a+5b的值．
3．（2022春·全国·八年级专题练习）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）．
例如，当时，．
(1)当时， ；
(2)若，求a和b的值；
(3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值
解方程组：
解：②×2，得，③ 第一步
____________，得， 第二步
． 第三步
将代入②，得． 第四步
所以原方程组的解是 第五步
专题11 解题技巧专题：与二元一次方程组解法有关的问题
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc21661" 【典型例题】 PAGEREF _Tc21661 \h 1
\l "_Tc15569" 【考点一 解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc15569 \h 1
\l "_Tc31947" 【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】 PAGEREF _Tc31947 \h 8
\l "_Tc27783" 【考点三 二元一次方程组的特殊解法】 PAGEREF _Tc27783 \h 15
\l "_Tc519" 【考点四 已知二元一次方程组的解求参数】 PAGEREF _Tc519 \h 22
\l "_Tc30811" 【考点五 新定义型二元一次方程组问题】 PAGEREF _Tc30811 \h 25
【典型例题】
【考点一 解二元一次方程组】
例题：（2023秋·广东深圳·八年级校联考期末）解方程组：
【答案】
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：方程组整理得：，
，可得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）用适当的方法解下列方程组．
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）①式代入②求出，再把代入①得，从而可得出方程组的解；
（2）求出，再把代入①得，从而可得出方程组的解
【详解】（1）
将①代入②，，
解得，，
把代入①得，，
∴原方程组的解为．
（2），
，得，，
解得，．
将代入①：
解得，，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，基本思想是“消元”，基本方法是“代入消元法”和“加减消元法”
2．（2023秋·辽宁朝阳·八年级统考期末）解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解；
（2）利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】（1）解：，
整理得：
由得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
由得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法，代入消元法是解题的关键．
3．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）解方程组
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法解答即可；
（2）利用加减消元法解答即可.
【详解】（1）解： ，
把①代入②，得，
解得：，
把代入①，得；
所以方程组的解是；
（2）解：，
①×3+②，得，
解得，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，属于基本题目，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键.
4．（2023秋·山东枣庄·八年级统考期末）解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法求解；
（2）利用加减消元法求解．
【详解】（1）解：，
得，
解得，
将代入，得，
解得，
因此该方程组的解为．
（2）解：，
得，
解得，
将代入，得，
解得，
因此该方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）用加减消元法解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法求解，用可消去y，得到关于x的一无一次方程，求出x值，再代入①②中任一方程，求出y值即可；
（2）用加减消元法求解，先化简方程组为，再用可消去x，得到关于y的一无一次方程，求出y值，再代入①②中任一方程，求出x值即可．
【详解】（1）解：
①+②，得，解得，
将代入②中，得
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：原方程组可化为
由，得
解得
将代入①中，解得
∴原方程组的解为
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减法求解二元一次方程组是解题的关键．
6．（2023春·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）解下列二元一次方程组
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法直接求解即可．
（2）先化简该方程组，再利用加减消元法求解．
【详解】（1）解：
将得：，
∴，
将代入①得：，
故该方程组的解为．
（2）解：将变形为，
得：，
将代入①得：，
故该方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组的知识——加减消元法，解题关键是牢记解方程组的步骤．
7．（2023春·山东东营·七年级东营市东营区实验中学校考阶段练习）用适当的方法解下列方程组：
(1)； (2)．
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可；
（3）利用代入消元法求解即可；
（4）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，代入中，
解得：，
∴所以原方程组的解为；
（2），
得：，
解得：，代入中，
解得：，
∴所以原方程组的解为；
（3），
由得：，代入中，
得：，
解得：，
代入中，
解得：，
∴所以原方程组的解为；
（4）方程组整理得：，
得：，
解得：，代入中，
解得：，
∴所以原方程组的解为．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】
例题：（2023秋·山西运城·八年级统考期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2得③………………第一步
②-③得……………第二步
……………第三步
将代入①得………………第四步
所以，原方程组的解为……………第五步
填空：
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______，其中第一步的依据是______．
(2)第______步开始出现错误，具体错误是__________________．
(3)求出该方程组的正确解．
【答案】(1)加减消元法；等式的基本性质
(2)二 ；合并同类项计算错误
(3)
【分析】(1)根据加减消元法的特征判断，结合等式的性质判断即可．
(2)根据②-③得，判断即可．
(3)根据解方程组的基本步骤求解即可．
【详解】（1）根据解方程组的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式性质变形得到，
故答案为：加减消元法，等式的基本性质．
（2）∵②-③得，
∴第二步错误，原因是合并同类项时出现错误．
故答案为：二 ；合并同类项计算错误．
（3））
解：①×2，得③，
②-③得，，
将代入①得，
所以原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次解方程组的基本步骤，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·河南开封·八年级统考期末）阅读下列计算过程，回答问题：
解方程组：
解：①，得，③……第1步
②③，得，……第2步
把代入①，得，……第3步
∴该方程组的解是……第4步
(1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第________步（填序号），第二次出错在第________步（填序号），以上解法采用了________消元法．
(2)写出这个方程组的正确解答过程．
【答案】(1)，加减
(2)，过程见解析
【分析】（1）根据二元一次方程的解法可得到第两步是错误的；
（2）利用加减消元法解方程可得到方程的解．
【详解】（1）解方程组：
解：①，得，③……第1步
②③，得，……第2步
把代入①，得，……第3步
∴该方程组的解是……第4步
故第步错误，采用加减消元法．
（2）解：
①，得，③
②③，得，
把代入①，得，
∴该方程组的解是．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解法：加减消元法，掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
2．（2022·吉林长春·七年级期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
【答案】(1)加减消元法，第四步
(2)见解析
【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．
（2）按照解方程组的步骤求解即可
（1）
根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，
故答案为：加减消元法，第四步．
（2）
方程组：
解：①×2，得……③ ，
②－③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．
3．（2022·河北唐山·二模）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程组的解为……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），
正确的解答过程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
解得：，
把代入③得：，
∴此方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
4．（2023秋·山西晋中·八年级统考期末）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
任务一：
（1）以上解题过程中，第二步通过____________的变形得到了；
A．①+③ B．①−③ C．①−② D．②+③
（2）第____________步开始出错：
（3）请直接写出原方程组的解：________________________；
任务二：
请你根据平时的学习经验，说说解二元一次方程组的基本思路：____________________________________．
【答案】任务一：（1）B（2）三（3），任务二：解二元一次方程组的基本思路是“消元”（或转化）（合理即可）
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，进行计算即可求解．
【详解】解：解方程组：
解：②×2，得，③ 第一步
①−③，得， 第二步
． 第三步
将代入②，得． 第四步
所以原方程组的解是
任务一：
（1）以上解题过程中，第二步通过①−③的变形得到了；
故答案为：①−③．
（2）第三步开始出错，应为；
故答案为：二．
（3）原方程组的解是
故答案为：．
任务二：解二元一次方程组的基本思路是“消元”（或转化）（合理即可）
【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
5.（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6
(2)
【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么；
（2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解．
（1）
解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；
（2）
解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
把，代入原方程组，
可得：，
由②得：③，
由①+③，可得：，
∴，
把代入①，可得：，
解得：，
∴原方程组的解．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键．
【考点三 二元一次方程组的特殊解法】
例题：（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
【答案】
【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程将①代入方程②，得到1+2y＝9，解得y＝4，再将y＝4代入①得：x＝7，得到原方程组的解为：．
【详解】解：，
将①代入②得：1+2y＝9，即y＝4，
将y＝4代入①得：x＝7，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面解方程组的方法，然后解决问题：
解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的．
解：，得，
∴③
，得④
，得，将代入③，得，
所以原方程组的解是．
请用上述方法解方程组．
【答案】
【分析】先得出，即③，根据消去y，得出，最后将代入③求出y即可．
【详解】解：
，得，
∴③，
，得，
即，
将代入③得，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法，准确计算．
2．（2023春·七年级单元测试）阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．
解方程：
解：①-②，即③
③×16，得④
②-④，得．
把，代入③，得．解得．
所以原方程组的解为：
(1)请仿照上面的方法解方程组：；
(2)请猜想关于x，y的方程组的解，并利用方程组的解加以验证
【答案】(1)
(2)，验证见解析
【分析】（1）仿照题干的方法求解即可；
（2）根据题干和（1）中的结果直接猜测即可．
【详解】（1），
由①②，得，即③，
③，得④，
②④得，
把代入③，得
，
∴，
原方程组的解是．
（2）根据题干和（1）的结果，
猜测方程组的解是．
验证：将代入方程，
左边，
所以左边=右边．
将代入方程，
同理可得左边=右边，
∴此方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组：利用代入法或加减消元法把二元一次方程转化为一元一次方程求解，理解题干的方法是解题的关键．
3．（2022·重庆璧山·七年级期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可．
解得：，∴，解这个二元一次方程组即可．
（1）
∵方程组的解是，
∴，
解得： ；
（2）
对于，令，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．
4．（2022春·江西赣州·七年级统考期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为 ；
(2)如何解方程组呢，我们可以把m+5，n+3分别看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程组的解为 ；
由此请你解决下列问题：
(3)若关于m，n的方程组与有相同的解，求a，b的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得；
（2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；
（3）根据两个方程组有相同的解求出的值，继而求出的值即可得．
（1）
解：，
由①②得：，
解得，
由②①得：，
解得，
则方程组的解为，
故答案为：．
（2）
解：由（1）得：，
解得，
即原方程组的解为，
故答案为：．
（3）
解：关于的方程组与有相同的解，
，
解得，
将代入方程得：，解得，
将代入方程得：，解得，
则，
解得．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读探索：
知识累计：解方程组
解：设，，原方程组可变为
解方程组得：，即，解得．所以此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：
(2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据换元法设，，进行求解计算即可；
（2）根据换元法设进行求解计算即可．
【详解】（1）解：设，，原方程组可变为：
解得：
即
解得：
（2）解：设可得解得：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
【考点四 已知二元一次方程组的解求参数】
例题：（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）已知方程组的解满足x，y互为相反数，则k＝_____．
【答案】2
【分析】根据题意，先解关于的二元一次方程组，再根据x，y互为相反数，列式求解即可得到值．
【详解】解：，
由②①得，
由①②得，
x，y互为相反数，
，解得．
故答案为：2
【点睛】本题考查解二元一次方程组及相反数的性质，熟练掌握解方程组的步骤是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广东韶关实验中学七年级期中）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是______．
【答案】1
【分析】根据题意，得出，即可求解．
【详解】解： ，
得，
∵的解满足，
∴，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
2．（2022·山东济宁·七年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝5的解相同，则k的值是 _____．
【答案】##
【分析】先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k.
【详解】解：，
①+②，得4（x+y）=3k+3，
把x+y=5代入，得20=3k+3，
解得k=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，理清方程组中未知数的系数特点是解决本题的关键．
3．（2022·山东淄博·七年级期中）关于x，y的二元一次方程组有正整数解，则正整数m的值是_______．
【答案】4
【分析】首先把m看作常数，解方程组分别表示x，y， 再根据y的值，可知2m+9是34的约数，列式可得m=4，代入x的值后符合题意，从而得出结论．
【详解】解：原方程为 ，
②×2－①×3得：，
∴，
把代入①得： ，
∵x，y是正整数，
∴2m+9=1，2，17，34，
∴m= -4，-3.5，4，12.5
∵m为正整数，
∴m=4，
当m= 4时，x=3，符合题意，
则正整数m的值是4；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解， 二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）如果方程组，的解满足，则a的值为____________．
【答案】
【分析】按照二元一次方程组的解法求出项，即可解得．
【详解】解：
由得，
，
由得
，
把，代入①得，
，
故答案为∶ ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组，解题的关键是熟悉二元一次方程组的解法．
5．（2023春·浙江·七年级专题练习）二元一次方程组的解互为相反数，则的值为________．
【答案】
【分析】由题意可得，它与方程组中的第二个方程组成一个新的方程组，先求出的值，再代入方程组中第一个方程，即可求出．
【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解互为相反数
解方程组
解得
把代入方程得
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．
6．（2022·全国·七年级专题练习）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为___________．
【答案】2
【分析】先求出方程组的解，由方程组的解为正整数分析得出a值．
【详解】解：解方程组，得，
∵方程组的解为正整数，
∴时，，
时，，
∴满足条件的所有整数a的和为．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了已知二元一次方程组的解求参数，解题的关键是求出方程组的解，由方程组解的情况分析得到a的值．
【考点五 新定义型二元一次方程组问题】
例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b= ax- by．
(1)若2※2 =-3，求x- y的值；
(2)若3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，求x、y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新定义的含义可得从而可得答案；
（2）根据新定义的含义构建方程组再解方程组即可．
（1）
解：∵a※b= ax- by，2※2 =-3，
∴
∴
（2）
∵3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，
∴
整理得：，
①+②得： ③
把③代入①得：
把x=5代入②得：
∴
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，代数式的求值，二元一次方程组的解法，理解新定义的含义，构建二元一次方程组是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）对于、我们定义一种新运算“”：，其中、类为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算已知：、，求的值．
【答案】3.5
【分析】根据已知条件得出方程组，求出、的值，根据题意得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵、，
∴，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）对x，y定义一种新运算，规定： ，（其中a，b均为非零常数），例如： ．
(1)求与的值（用含a，b的代数式表示）；
(2)若（c为非零的常数），求代数式7a+5b的值．
【答案】(1)，；
(2)5
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）结合（1）得到a，b的方程组，用含c的式子表示a，b，再代入计算即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2）∵，
∴，
得：
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查新定下的列代数式，加减消元法，掌握加减消元法是解题的关键．
3．（2022春·全国·八年级专题练习）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）．
例如，当时，．
(1)当时， ；
(2)若，求a和b的值；
(3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】（1） 由题意可得 ：，再将代入即可求解；
（2）由题意可得 ：，求出方程组的解即可；
（3）由题意可得 ：，求解方程组即可．
【详解】（1）当时，，
（2），
，
解得：，
∴a和b的值分别为，；
（3），
，
，
化简得：，
解得：，
∴a和b的值分别为，．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键．
解方程组：
解：②×2，得，③ 第一步
____________，得， 第二步
． 第三步
将代入②，得． 第四步
所以原方程组的解是 第五步