人教版八年级数学下册专题11解题技巧专题：特殊平行四边形中折叠、旋转问题(原卷版+解析)

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专题11 解题技巧专题：特殊平行四边形中折叠、旋转问题【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc22018" 【典型例题】  PAGEREF _Toc22018 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc27498" 【考点一 矩形中的折叠问题】  PAGEREF _Toc27498 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc9484" 【考点二 菱形中的折叠问题】  PAGEREF _Toc9484 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc29322" 【考点三 正方形中的折叠问题】  PAGEREF _Toc29322 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc8977" 【考点四 特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】  PAGEREF _Toc8977 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc28132" 【考点五 特殊平行四边形中旋转问题】  PAGEREF _Toc28132 \h 26【典型例题】【考点一 矩形中的折叠问题】例题：（2023秋·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，，______．【变式训练】1．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考开学考试）如图，在长方形中，点E是上一点，连接，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处．若，，则折痕的长度为（    ）A． B． C． D．2．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，长方形中，E为的中点，将沿直线折叠时点B落在点F处，连接，若，则___________度．3．（2023春·八年级课时练习）长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______．4．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，长方形纸片中，，，点、分别在边和边上，连接，将纸片沿折叠．(1)如图（1），若点落在边的延长线上的点处，求证：；(2)如图（2），若点落在边的中点处，求的长．5．（2023秋·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）综合与实践：我们已经学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究，折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线．(1)知识初探如图1，长条中，，，将长形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．①若，求的度数 ．②若，则 （用含α的式子表示）．(2)类比再探如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的C'处，点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由．【考点二 菱形中的折叠问题】例题：（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F． （1）∠DEF＝________；（2）若点E是AB的中点，则DF的长为________．【变式训练】1．（2021春·河南商丘·八年级统考期中）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB的中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的度数是（　　）A．45° B．60° C．75° D．80°2．（2022春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，将菱形沿EF折叠，点B正好落在AD边的点G处，且EG⊥AC，若CD＝8，则FG的长为__________3．（2022秋·九年级单元测试）如图，在菱形ABCD中，，．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M的位置变化时，DF长的最大值为______．4．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为______．5．（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形中，F为边上一点，将沿折叠，点C恰好落在延长线上的点E处，连接交于点G，若，，则的长为______．6．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，使点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD，交BE于点G，连接CG． (1)判断四边形CEFG的形状，并说明理由．(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．【考点三 正方形中的折叠问题】例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠， 为折痕，点 落在对角线 上的点 处，则 的度数为（   ） A． B． C． D．【变式训练】1．（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么(    )A． B． C． D．2．（2023·全国·八年级专题练习）如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则 _________．3．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E在边上，将沿对折至，延长交于点G，G恰好是边的中点，则的长是________．4．（2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中）已知：如图，在边长为的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接(1)求的度数：(2)求的长度5．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．(1)求证：．(2)如图2，E为的中点，连接．①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．【考点四 特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】例题：（2022秋·江苏·八年级统考期中）把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若cm， cm．则重叠部分的面积为_____．【变式训练】1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（    ）A． B． C． D．2．（2022春·江苏徐州·八年级邳州市新城中学校考阶段练习）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（　　　　）A．1 B．2 C．2 D．43．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______．5．（2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________．6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色．(1)求的长；(2)求图中阴影部分的面积．【考点五 特殊平行四边形中旋转问题】例题：（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，四边形是矩形，以点B为旋转中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，点恰好在的延长线上．(1)求证：：(2)若，求的长．【变式训练】1．（2022秋·广东广州·九年级广州市第一一三中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_______．2．（2022秋·江西宜春·九年级校考期中）如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________．3．（2022秋·安徽铜陵·九年级铜陵市第十五中学校考期中）如图，在菱形中， ，把菱形绕点A顺时针旋转 得到菱形，则图中阴影部分的面积为_________．4．（2022秋·天津河北·九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．(1)如图1，当时，求点D的坐标；(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．5．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）综合与实践【情境呈现】如图1，将两个正方形纸片和放置在一起.若固定正方形，将正方形绕着点A旋转．(1)【数学思考】如图1，当点E在边上，点G在边上时，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ．(2)如图2，是将正方形绕着点A逆时针旋转度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)【拓展探究】如图3，若点D，E，G在同一条直线上，且，求线段的长度（直接写出答案）．6．（2021秋·陕西汉中·九年级统考阶段练习）【问题情境】已知正方形中，点O是线段的中点，将正方形绕点O顺时针旋转得到正方形（点、、、分别是点A、B、C、D的对应点）．【问题提出】(1)如图1，在正方形绕点O旋转过程中，顺次连接点B、、C、得到四边形，求证；四边形是矩形；(2)如图2，在旋转过程中，当点落在对角线BD上时，与交于点M，求证；四边形是正方形；【问题探究】(3)如图3，若点O是线段的三等分点且，在正方形绕点O旋转的过程中当线段经过点D时，请求出的值．专题11 解题技巧专题：特殊平行四边形中折叠、旋转问题【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc22018" 【典型例题】  PAGEREF _Toc22018 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc27498" 【考点一 矩形中的折叠问题】  PAGEREF _Toc27498 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc9484" 【考点二 菱形中的折叠问题】  PAGEREF _Toc9484 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc29322" 【考点三 正方形中的折叠问题】  PAGEREF _Toc29322 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc8977" 【考点四 特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】  PAGEREF _Toc8977 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc28132" 【考点五 特殊平行四边形中旋转问题】  PAGEREF _Toc28132 \h 26【典型例题】【考点一 矩形中的折叠问题】例题：（2023秋·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在处，交于，若，，______．【答案】3【分析】由折叠可知，，再由，得到，即可得到，于是得到，设，则，，在中，由勾股定理求出的值，即可求解；【详解】解：由折叠可知，，，，，，，．设，则，，在中，由勾股定理得：即，解得：，．，故答案为：．【点睛】本题主要考查翻折变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知识，此题难度不大．【变式训练】1．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市珊瑚初级中学校校考开学考试）如图，在长方形中，点E是上一点，连接，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处．若，，则折痕的长度为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先长方形的性质和已知条件得到，，根据折叠的性质得到，然后由勾股定理求出，设，根据勾股定理列方程求出，然后根据勾股定理求解即可．【详解】∵在长方形中，∴，∵∴∵沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的点F处∴，∴∴设，∴∴，即∴解得∴∴故选：A．【点睛】本题考查长方形中的折叠问题，涉及长方形性质、折叠性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质及勾股定理求线段长是解决问题的关键．2．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图，长方形中，E为的中点，将沿直线折叠时点B落在点F处，连接，若，则___________度．【答案】37【分析】由折叠的性质得：，求出，可得到，求出，求出，由等腰三角形的性质求出，即可得出的度数．【详解】解：四边形是长方形，，由折叠的性质得：，，，，，为的中点，，，，；故答案为：．【点睛】本题主要考查了折叠变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；求出的度数是解题的关键．3．（2023春·八年级课时练习）长方形纸片中，，，点E是边上一动点，连接，把∠B沿折叠，使点B落在点F处，连接，当为直角三角形时，的长为______．【答案】或3【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出 ，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，，可计算出，设，则，然后在中运用勾股定理可计算出x．②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形．【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况：当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，在中，，∴，∵∠B沿折叠，使点B落在点F处，∴，当为直角三角形时，只能得到，∴点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，∴，∴，设，则，在中，∵，∴ 解得： ；②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形，∴．故答案为：或3；【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．4．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，长方形纸片中，，，点、分别在边和边上，连接，将纸片沿折叠．(1)如图（1），若点落在边的延长线上的点处，求证：；(2)如图（2），若点落在边的中点处，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由折叠的性质及矩形的性质得出，则可得出结论；（2）设，由勾股定理得出，求出即可得出答案．【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，将纸片沿折叠，，，；（2）解：四边形是矩形， ，是的中点，，由折叠的性质可知：，设，，，解得，．【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．5．（2023秋·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）综合与实践：我们已经学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究，折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线．(1)知识初探如图1，长条中，，，将长形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．①若，求的度数 ．②若，则 （用含α的式子表示）．(2)类比再探如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的C'处，点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由．【答案】(1)①；②(2)，理由见解析【分析】（1）①由题意得，则，由平行线的性质得，最后由平角的定义即可解答；②由题意得，则，最后由平角的定义即可解答；（2）由题意得，由平行线的性质得，推出，即可得出．【详解】（1）解：①由题意得：，∴，∵，∴，∴；故答案为；②由题意得：，∴，∵，∴，∴，故答案为：．（2）解：，理由如下：由题意得：∠CGE，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识点；掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键．【考点二 菱形中的折叠问题】例题：（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F． （1）∠DEF＝________；（2）若点E是AB的中点，则DF的长为________．【答案】     90°     2.8【分析】（1）由折叠得∠，再根据平角的定义可得结论；（2）首先证明B、G、D在同一条直线上，再运用勾股定理列方程求解即可．【详解】解由折叠得，∠∴∠∵∠∴∠即∠故答案为：90°；（2）∵四边形ABCD是菱形∴ADBC，DCAB， ∴ ∵∠A=120°∴ ∵点E为AB的中点，且AB=2∴∵点A与点G重合，∴ ∵点B与点H重合∴ 又∴∴点G与点H重合∵∠∴三点在同一条直线上过点D作，交BC的延长线于点O，如图，∵DCAB∴∠∴∠ ∴在中，由折叠得，，设，则∴，在中，∴解得，∴故答案为2.8【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．【变式训练】1．（2021春·河南商丘·八年级统考期中）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，P为AB的中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的度数是（　　）A．45° B．60° C．75° D．80°【答案】C【分析】如图：连接BD，先说明三角形ABD为等边三角形，由P为AB的中点利用三线合一可得DP为角平分线，即∠ADP=30°、∠ADC=120°、∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，最后利用三角形的内角和定理即可解答．【详解】解：如图：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．故选C．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、等边三角形的性质以及内角和定理等知识点，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．2．（2022春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，将菱形沿EF折叠，点B正好落在AD边的点G处，且EG⊥AC，若CD＝8，则FG的长为__________【答案】【分析】如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于H．只要证明FG⊥AD，即可FG是菱形的高，求出FG即可解决问题．【详解】解：如图，设AC与EG交于点O，FG交AC于H．∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，易证△ABC、△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝∠B＝60°，∵EG⊥AC，∴∠GOH＝90°，∵∠EGF＝∠B＝60°，∴∠OHG＝30°，∴∠AGH＝90°，∴FG⊥AD，∴FG是菱形的高，即等边三角形△ABC的高．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换、等边三角形的判定和性质，菱形的性质、勾股定理，直角三角形中30度对应的边等于斜边的一半，解题的关键是证明线段FG是菱形的高．3．（2022秋·九年级单元测试）如图，在菱形ABCD中，，．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M的位置变化时，DF长的最大值为______．【答案】##【分析】连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AD的中点R，连接OR．根据垂线段最短，求出AF的最小值，可得结论．【详解】解：连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AD的中点R，连接OR，如图：∵ADCG，OK⊥AD，∴OK⊥CG，∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，∴四边形AGTK是矩形，∵，在中，∴AG＝TK＝AB＝，∵折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，∴OA＝OM，∠AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，∴△AOK≌△MOT（AAS），∴OK＝OT＝，∵OK⊥AD，∴OR≥OK＝，∵∠AOF＝90°，AR＝RF，∴AF＝2OR≥，∴AF的最小值为，∴DF的最大值为6−．故答案为：．【点睛】本题考查菱形中的翻折问题，涉及矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形斜边上的中线解决问题．4．（2022·全国·八年级假期作业）如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与、重合，折痕为，若，，则的长为______．【答案】【分析】作于，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：作于，由折叠的性质可知，，由题意得，，四边形是菱形，，，为等边三角形，，设，则，在中，，，在中，，即，解得，，即，故答案为：．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．5．（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形中，F为边上一点，将沿折叠，点C恰好落在延长线上的点E处，连接交于点G，若，，则的长为______．【答案】【分析】根据折叠的性质得CF=EF，DF⊥BC，代入相关数据可得CF=5，BC=7，由菱形的性质得DC=7，最后根据勾股定理可得DF的长．【详解】解：由折叠得，CF=EF，DF⊥BC，∵BE=3，BF=2∴EF=BE+BF=3+2=5∴CF=5∴BC=BF+FC=2+5=7∵四边形ABCD是菱形∴DC=BC=7在Rt△DFC中， ∴ 故答案为：【点睛】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质以及勾股定理等知识，根据折叠的性质得到CF=EF，DF⊥BC是解答本题的关键．6．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，使点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD，交BE于点G，连接CG． (1)判断四边形CEFG的形状，并说明理由．(2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．【答案】(1)见解析(2)．【分析】（1）由翻折得∠BEC=∠BEF，FE=CE，根据FG∥CE，可得∠FGE=∠BEC，从而∠FGE=∠BEF，FG=FE，故FG=EC，四边形CEFG是平行四边形，即可得证；（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理求得AF的长，可得DF=1，设EF=x，则CE=x，DE=3-x，在Rt△DEF中，用勾股定理列方程可解得CE，在Rt△BCE中，即可求出答案．【详解】（1）证明：（1）∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，∴△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，∵FG∥CE，∴∠FGE=∠BEC，∴∠FGE=∠BEF，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE=FE，∴四边形CEFG是菱形；（2）解：∵矩形ABCD中，AD=10，∴BC=10，∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，∴BF=BC=10，在Rt△ABF中，AB=6，AF==8，∴DF=AD-AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=6-x，在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，∴22+（6-x）2=x2，解得x=，∴CE=，∴四边形CEFG的面积是：CE•DF=×2=．【点睛】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【考点三 正方形中的折叠问题】例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠， 为折痕，点 落在对角线 上的点 处，则 的度数为（   ） A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正方形的性质可得，，再由折叠可得，然后利用三角形的外角进行计算即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴，，由折叠得：，∴，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么(    )A． B． C． D．【答案】A【分析】求得在中，，即有，问题随之得解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∵、分别为、的中点，∴，∴四边形是矩形，∴，，根据折叠的性质：，在中，，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，求得在中，，进而有，是解答本题的关键．2．（2023·全国·八年级专题练习）如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则 _________．【答案】67.5【分析】根据正方形的性质求出，再根据折叠的性质得，进而根据等腰三角形的性质得出答案．【详解】∵四边形为正方形，∴，，平分，∴，根据折叠可知，，∴，∴．故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质等，判定等腰三角形是解题的关键．3．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E在边上，将沿对折至，延长交于点G，G恰好是边的中点，则的长是________．【答案】##【分析】根据正方形的性质和折叠的性质证明，进而得到，由G是的中点，得到，设，则，，在中由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：连接，由折叠得：，，∵在正方形中，，，∴，，∵，∴，∴，∵，G是的中点，∴，设，则，，在中，由勾股定理得：，解得，即，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，理解折叠的性质、合理的进行转化到一个直角三角形中是解决此类问题常用的方法．4．（2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中）已知：如图，在边长为的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接(1)求的度数：(2)求的长度【答案】(1)(2)【分析】（1）根据沿折叠至，可得,，证明可得，根据对折可得，即可得出的度数；（2）令，则，，在中，勾股定理即可求解．【详解】（1）∵将沿折叠至，∴,，∵四边形是正方形，∴，在与中，，∴，∴，  由对折得，∴；（2）令，则，，∵，∴，，在中，   ，   解得：．∴．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．5．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．(1)求证：．(2)如图2，E为的中点，连接．①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析，②线段的长为2【分析】（1）由正方形的性质可得．，由折叠的性质得出，，，再求出，，然后由“”证明，由全等三角形对应角相等得出，得出即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得，，再由三角形的外角性质得出，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设，表示出、，根据点是的中点求出、，从而得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【详解】（1）证明：如图1：∵四边形是正方形，．，沿折叠得到，，，，，，在和中，，，，，，，；（2）证明：如图2所示：沿折叠得到，为的中点，，，，，，，即，；②解：设，则，，正方形边长为6，为的中点，，，在中，根据勾股定理得：，解得：，即线段的长为2．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．【考点四 特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】例题：（2022秋·江苏·八年级统考期中）把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若cm， cm．则重叠部分的面积为_____．【答案】##2.5【分析】根据折叠的性质，和勾股定理求出，进而求出的面积即可．【详解】解：∵四边形为矩形，∴，∵折叠，∴，设：，则：，在中：，即：，解得：，即：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查矩形的折叠问题．熟练掌握折叠的性质和勾股定理解三角形是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由正方形面积为2 ，即可求得其边长为，然后由折叠的性质，可得，则可得图中阴影部分的周长为：，继而求得答案．【详解】解：设折叠后的点分别为，与分别交于点，如图所示，∵正方形面积为2，∴，由折叠的性质：，∴图中阴影部分的周长为：．故选:D．【点睛】此题考查了折叠的性质与正方形的性质，掌握折叠的性质与正方形的性质是解题的关键．2．（2022春·江苏徐州·八年级邳州市新城中学校考阶段练习）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（　　　　）A．1 B．2 C．2 D．4【答案】C【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．【详解】解：∵四边形AECF是菱形，AB=3，∴假设BE=x，则AE=3﹣x，CE=3﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=3﹣x，解得：x=1，∴CE=2，利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2，BC===，又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2，则菱形的面积=2．故选C．【点睛】本题考查折叠问题以及勾股定理．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．3．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______．【答案】10【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证得，则，设，则在中，根据勾股定理求x，再根据三角形面积公式计算即可得到结果．【详解】解：根据折叠的性质得.∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴.设，则，在中，，解之得：，∴，∴．故答案为:10．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、折叠的性质等知识，求出阴影三角形的底是关键，同时注意以为底，对应的高为．5．（2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________．【答案】30【分析】根据折叠的性质求出EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，再根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：由折叠的性质知，EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，由勾股定理得，CF=4，，即，解得，AD=10，∴BF=6，CF=4，图中阴影部分面积=．故答案为：30【点睛】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，三角形的面积公式求解．6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色．(1)求的长；(2)求图中阴影部分的面积．【答案】(1)(2)22【分析】（1）利用翻折变换的性质可得：，，设，在中利用勾股定理列出方程，解方程即可求解；（2）利用（1）中的结论用矩形的面积减去的面积即可得出结论．【详解】（1）解：由翻折变换的性质可得：，，设，则，，在中，∵，∴，解得：，∴；（2）解：由（1）知：，∴，∴，由翻折变换的性质可得：，∴图中阴影部分的面积．【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．【考点五 特殊平行四边形中旋转问题】例题：（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，四边形是矩形，以点B为旋转中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，点恰好在的延长线上．(1)求证：：(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）由旋转矩形可得，，再根据斜边为公共边，利用“”可证得结论；（2）由可知，由旋转矩形可知，即可求得的长度．【详解】（1）证明：∵旋转矩形得到矩形，∴，，    在和中，，．∴．（2）解：由可得，∵旋转矩形得到矩形，∴，    ∴．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、解题关键是证明，利用矩形和旋转性质求解．【变式训练】1．（2022秋·广东广州·九年级广州市第一一三中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_______．【答案】【分析】连接，先根据矩形的性质和勾股定理求出，然后根据旋转的性质和勾股定理求出即可．【详解】解：连接，，∵矩形，，∴，，∴，∵将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，掌握矩形的性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键．2．（2022秋·江西宜春·九年级校考期中）如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________．【答案】【分析】交于点，连接；根据全等三角形性质，通过证明，得；结合旋转的性质，得；根据三角函数的性质计算，得，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案．【详解】如图，交于点，连接 根据题意得：， ∵ ∴ ∴ ∵正方形绕点顺时针旋转到∴， ∴ ∴∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积故答案为：．【点睛】本题是面积问题(旋转综合题)，考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质．3．（2022秋·安徽铜陵·九年级铜陵市第十五中学校考期中）如图，在菱形中， ，把菱形绕点A顺时针旋转 得到菱形，则图中阴影部分的面积为_________．【答案】##【分析】连接相交于O，与相交于E，根据菱形的性质先求出，根据菱形的性质和旋转可得，三点共线，再求出，最后根据，即可得答案．【详解】解：如下图，连接相交于O，与相交于E，四边形是菱形，，，，，，菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，，三点共线，，，，， ，，，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．4．（2022秋·天津河北·九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．(1)如图1，当时，求点D的坐标；(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为；（2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为；（3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案．【详解】（1）解：过点作轴于，如图所示：∵点，点，∴，，∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，∴，，，在Rt中，，，∴，∴点的坐标为；（2）过点作轴于，，于，如图所示：则，，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴点的坐标为；（3）连接，作轴于，如图所示：由旋转的性质得：，，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∴点的坐标为．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．5．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）综合与实践【情境呈现】如图1，将两个正方形纸片和放置在一起.若固定正方形，将正方形绕着点A旋转．(1)【数学思考】如图1，当点E在边上，点G在边上时，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ．(2)如图2，是将正方形绕着点A逆时针旋转度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)【拓展探究】如图3，若点D，E，G在同一条直线上，且，求线段的长度（直接写出答案）．【答案】(1)，(2)（1）中的结论成立，证明见解析；(3)【分析】（1）由正方形性质可以得到与相等且垂直；（2）由可证，可得，，由余角的性质可证；（3）由（2）问结论连接，表示出三边即可利用勾股定理列方程解题．【详解】（1）∵四边形和均为正方形，∴，∴，即，∴与的数量关系是相等；位置关系是垂直故答案为：相等；垂直（2）（1）中结论成立，理由如下：设交于O，于N，∵四边形和均为正方形，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；（3）连接，∵，∴，∴,，由（2）可得：，∴在中，，则，∴解方程得：，∴，即线段的长度为．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．6．（2021秋·陕西汉中·九年级统考阶段练习）【问题情境】已知正方形中，点O是线段的中点，将正方形绕点O顺时针旋转得到正方形（点、、、分别是点A、B、C、D的对应点）．【问题提出】(1)如图1，在正方形绕点O旋转过程中，顺次连接点B、、C、得到四边形，求证；四边形是矩形；(2)如图2，在旋转过程中，当点落在对角线BD上时，与交于点M，求证；四边形是正方形；【问题探究】(3)如图3，若点O是线段的三等分点且，在正方形绕点O旋转的过程中当线段经过点D时，请求出的值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)2【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用中点性质可得，等量代换和利用矩形的判定方法即可求证结论；（2）由旋转性质可得，，可得，，即可证明四边形是矩形，再由，即可求证结论；（3）连接，，过点O作于点E，则，由旋转的性质可知，继而根据等腰三角形的性质可得，继而证得四边形是矩形，即，等量代换即可求解．【详解】（1）证明：由旋转性质可得，，∵点O是线段的中点，∴，∴=，∴四边形是矩形；（2）证明：∵四边形是正方形，∴，，∴， 由旋转可知，，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，∴四边形是矩形，∵，∴，∴矩形是正方形；（3）解：如图，连接，，过点O作于点E，则，由旋转可知，则，∵四边形是正方形，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，．【点睛】本题考查四边形的综合应用，解题的关键是熟练掌握正方形的判定和性质，旋转的性质、等腰三角形的性质，矩形的判定及其性质．