人教版八年级数学下册专题10特殊的平行四边形性质与判定(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册专题10特殊的平行四边形性质与判定(原卷版+解析)，共65页。
专题10 特殊的平行四边形性质与判定【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31464" 【典型例题】  PAGEREF _Toc31464 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc31919" 【考点一 利用矩形的性质求角度】  PAGEREF _Toc31919 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc25492" 【考点二 利用矩形的性质求线段长】  PAGEREF _Toc25492 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc2341" 【考点三 矩形的性质与判定综合问题】  PAGEREF _Toc2341 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc27876" 【考点四 利用菱形的性质求角度】  PAGEREF _Toc27876 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc23231" 【考点五 利用菱形的性质求线段长】  PAGEREF _Toc23231 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc17047" 【考点六 菱形的性质与判定综合问题】  PAGEREF _Toc17047 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc16580" 【考点七 利用正方形的性质求角度】  PAGEREF _Toc16580 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc1877" 【考点八 利用正方形的性质求线段长】  PAGEREF _Toc1877 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc2506" 【考点九 正方形的性质与判定综合问题】  PAGEREF _Toc2506 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc29598" 【过关检测】  PAGEREF _Toc29598 \h 29【典型例题】【考点一 利用矩形的性质求角度】例题：（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．【变式训练】1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是____________度．2．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．(1)求证：；(2)当四边形是矩形时，若，求的度数．【考点二 利用矩形的性质求线段长】例题：（2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的值为______．【变式训练】1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为______．2．（2021春·重庆巴南·九年级校考期中）如图，在矩形中，是对角线，、分别平分、，交边、于点、．(1)若，，求的长．(2)求证：．【考点三 矩形的性质与判定综合问题】例题：（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．(1)求证：；(2)求证：四边形是矩形．【变式训练】1．（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，将的边延长到点E，使，连接交边于点F．(1)求证：；(2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论．2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期末）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，平分，则平行四边形的面积为______．【考点四 利用菱形的性质求角度】例题：（2021·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形中，已知，则的大小是____________．【变式训练】1．（2022秋·江西九江·九年级统考期末）如图，在菱形中，交对角线于点E，若，，则________．2．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为______．【考点五 利用菱形的性质求线段长】例题：（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是_____________．【变式训练】1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，是中点，交于点，连接，则的长为______．2．（2022秋·辽宁辽阳·九年级辽阳市第一中学校考阶段练习）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点O，E为中点，F为中点，连接，则的长为 _____．3．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）如图，已知四边形是菱形，且于点，于点．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积．【考点六 菱形的性质与判定综合问题】例题：（2022春·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长；【变式训练】1．（2020秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求的长．2．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，平行四边形中，，，，点是的中点，点是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)①直接写出：当______时，四边形是菱形（不需要说明理由）；②当______时，四边形是矩形，请说明理由．【考点七 利用正方形的性质求角度】例题：（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为______度．【变式训练】1．（2021秋·山西太原·九年级太原市外国语学校校考阶段练习）如图，正方形中，，则_____．2．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．【考点八 利用正方形的性质求线段长】例题：（2021春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，过点作，交于点，，，则___________．【变式训练】1．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．2．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛第七中学校考开学考试）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______．3．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，求的长．【考点九 正方形的性质与判定综合问题】例题：（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图所示，在正方形的边的延长线上取点，连接，在上取点，使得，连接，过点作，交于点．(1)若正方形的边长为，且，求的长；(2)求证：．【变式训练】1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点是正方形内部的一点，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，，的延长线相交于点E.若正方形的边长为10，．(1)求证：四边形是正方形；(2)求的长．2．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，点E是正方形的边上不同于C，D的任意一点，延长至点F，使．分别过点E，F作的垂线，相交于点G．(1)如图1，连接，、与有何关系？请说明理由．(2)如图2，连接．若．①当点E是的中点时，____________；②当点E不是的中点时，的值与①相比，有变化吗？请说明理由．【过关检测】一、选择题1．（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）下列说法正确的是（    ）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．四边都相等的四边形是菱形2．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，E、F分别是的中点，若，则菱形的周长是（    ）A．12 B．16 C．20 D．243．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，中，对角线、交于点．若，，，（　　）A．4 B． C． D．84．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形的边长为3，点M在延长线上，，作交延长线于点N，则的长为（    ）A．3 B．4 C．5 D．65．（2023秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果，且，那么四边形是正方形．其中，正确的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题6．（2022春·广西钦州·八年级阶段练习）四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是，则平行四边形的面积是______．7．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段，相交于点H，若，则＝______．8．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得，．接着，她又将这个学其活动成为图2所示正方形，此时的长为__________．9．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，在矩形中，，，P点在边上以每秒的速度从A向D运动，点Q在边上，以每秒的速度从C点出发，在C、B间往返运动，两点同时出发，P点到达D点时同时停止，在这段时间内，有如下说法：①该过程中，会出现4次的时刻；②该过程中，会出现3次四边形和四边形同时为矩形的时刻；③该过程中，当：时，四边形和四边形的面积比为6∶5；④该过程中，矩形和面积比的最大值为4∶3．上述说法正确的是______（填序号）．10．（2022秋·江西吉安·九年级统考期末）如图，在边长为12的菱形中，，连接，为图中任意线段上一点，若，则的长为______三、解答题11．（2022秋·江西吉安·九年级统考期末）如图，在矩形中，平分．(1)求的度数；(2)求证：．12．（2023秋·广西南宁·九年级南宁十四中校考开学考试）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，，且．(1)求证：平行四边形是菱形；(2)若，，求四边形的面积．13．（2022秋·四川成都·九年级校考阶段练习）如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．(1)求证：D是的中点；(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．14．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，在中，，，点G、F分别是、的中点，过点A作交的延长线于点H．(1)求证：四边形是菱形；(2)请判断四边形的形状并加以证明．15．（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）已知在矩形ABCD中，，，四边形EFGH的三个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上，．(1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，求的面积；(2)如图2，当四边形EFGH为菱形，且时，求的面积（用含a的代数式表述）；(3)在（2）的条件下，当的面积等于6时，求AH的长．16．（2022秋·广西南宁·九年级三美学校校考开学考试）如图，在矩形中，E为上一点，其中经过点A，连接．(1)如图1，若，求证：；(2)连接．①如图2，若，，求AD的长；②如图3，若，，直接写出的值为 ．专题10 特殊的平行四边形性质与判定【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31464" 【典型例题】  PAGEREF _Toc31464 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc31919" 【考点一 利用矩形的性质求角度】  PAGEREF _Toc31919 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc25492" 【考点二 利用矩形的性质求线段长】  PAGEREF _Toc25492 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc2341" 【考点三 矩形的性质与判定综合问题】  PAGEREF _Toc2341 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc27876" 【考点四 利用菱形的性质求角度】  PAGEREF _Toc27876 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc23231" 【考点五 利用菱形的性质求线段长】  PAGEREF _Toc23231 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc17047" 【考点六 菱形的性质与判定综合问题】  PAGEREF _Toc17047 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc16580" 【考点七 利用正方形的性质求角度】  PAGEREF _Toc16580 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc1877" 【考点八 利用正方形的性质求线段长】  PAGEREF _Toc1877 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc2506" 【考点九 正方形的性质与判定综合问题】  PAGEREF _Toc2506 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc29598" 【过关检测】  PAGEREF _Toc29598 \h 29【典型例题】【考点一 利用矩形的性质求角度】例题：（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．【答案】##50度【分析】根据矩形的性质，得到，利用三角形外角求出，利用垂直可求出结果．【详解】∵四边形是矩形，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质；灵活运用矩形的性质求解是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是____________度．【答案】45或135【分析】根据题意分当的平分线交线段于点E和当的平分线交线段外于点E，然后根据矩形的性质及角平分线的定义可进行求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵平分，∴，由题意可分：①当的平分线交线段于点E，如图所示：∴；②当的平分线交线段外于点E，如图所示：∴；综上所述：或；故答案为45或135．【点睛】本题主要考查矩形的性质及角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．2．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．(1)求证：；(2)当四边形是矩形时，若，求的度数．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）根据平行四边形性质得出，推出，再由即可得出结论；（2）根据矩形的性质和等腰三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，即，∴，∵点是的中点，∴，在和中，，∴；（2）解：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∴，∵，∴，∵四边形为平行四边形，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质、证明是解题的关键．【考点二 利用矩形的性质求线段长】例题：（2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的值为______．【答案】6【分析】利用矩形的对角线平分且相等来进行计算即可．【详解】解：四边形是矩形，，，在中，，，，，．故答案为：6．【点睛】本题考查的是矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质．【变式训练】1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为______．【答案】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边对等角的性质可得，再结合两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得到，再利用等角对等边的性质得到，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：四边形是矩形，，，点是的中点，，，∵，，，，，，在中，，．．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出是解题的关键．2．（2021春·重庆巴南·九年级校考期中）如图，在矩形中，是对角线，、分别平分、，交边、于点、．(1)若，，求的长．(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）由已知可求得的长及，由勾股定理求得的长，再由含30度角直角三角形的性质即可求得结果；（2）由矩形的性质及角平分线的意义易得，从而问题解决．【详解】（1）解：四边形是矩形，，，，；平分，，，∴；由勾股定理得，；（2）证明：四边形是矩形，，，，，、分别平分、，，，，，．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是关键．【考点三 矩形的性质与判定综合问题】例题：（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．(1)求证：；(2)求证：四边形是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据、证明四边形为平行四边形，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出，，得出，，先证出四边形是平行四边形．再证明四边形是矩形即可．【详解】（1）证明：∵、，∴四边形是平行四边形，∴；（2）证明：∵，平分，∴，，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴∴四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出，，是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，将的边延长到点E，使，连接交边于点F．(1)求证：；(2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)矩形，见解析【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出，，再由得出，根据平行线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质定理进而可得出结论；（2）根据平行四边形的性质可得，，，再由，可得，进而可判定四边形是平行四边形，然后再证明即可得到四边形是矩形．【详解】（1）∵四边形是平行四边形，∵，．∵，∴．∵，∴，，在与中，，∴（ASA）；∴，，在与中，∴（SAS）；（2）四边形是矩形，理由：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形是矩形．【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期末）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，平分，则平行四边形的面积为______．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据已知条件先证明四边形 为平行四边形，再根据即可得证；（2）由平分，可求得，在中，，则，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，再求出，由已知进而即可求得即可得到答案．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，又∵，∴，即，∵，， 四边形为平行四边形，又 ∵，∴平行四边形是矩形． （2）∵平分， ∴，∵， ∴， ∴， ∴，在中，，，，∴∴，∴，∴，∴，故答案为；．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，熟练以上知识点是解题的关键．【考点四 利用菱形的性质求角度】例题：（2021·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形中，已知，则的大小是____________．【答案】##140度【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解．【详解】解：∵菱形中，，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·江西九江·九年级统考期末）如图，在菱形中，交对角线于点E，若，，则________．【答案】3【分析】利用含30角的直角三角形的性质求出，利用等角对等边求出，即可解决问题．【详解】解：四边形是菱形，， ，，，，，，，， ，在中，， ， ，故答案为：3．【点睛】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等，解题的关键是综合运用上述知识解决问题．2．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为______．【答案】【分析】根据菱形的性质，得到，，再根据垂直平分线性质，得到，从而得到，最后利用三角形外角性质即可求出的度数．【详解】解：连接，四边形是菱形，，，，，，垂直平分，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握菱形的基本性质是解题关键．【考点五 利用菱形的性质求线段长】例题：（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是_____________．【答案】4【分析】由于四边形是菱形，是对角线，根据，而，易证是等边三角形，从而可求的长．【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵菱形的周长是16，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明是等边三角形．【变式训练】1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，是中点，交于点，连接，则的长为______．【答案】【分析】连接，则为等边三角形，利用等边三角形的性质，可得出的长，由，可得出，进而可求出的长．【详解】解：连接，则为等边三角形，如图所示．是中点，，，，．又，，，即：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质，找出为等边三角形是解题的关键．2．（2022秋·辽宁辽阳·九年级辽阳市第一中学校考阶段练习）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点O，E为中点，F为中点，连接，则的长为 _____．【答案】【分析】取的中点H，连接，根据菱形的性质可得，从而得到，进而得到，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，取的中点H，连接，∵四边形是菱形，，∴，∴，∵点H是的中点，点F是的中点，∴，∴，∵点E是的中点，点H是的中点，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．3．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）如图，已知四边形是菱形，且于点，于点．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据菱形的性质，得，；根据于点，于点，则，即可；（2）根据菱形的性质，得，根据，，勾股定理，求出，即可求出菱形的面积．【详解】（1）证明，如下：∵四边形是菱形，∴，，∵于点，于点，∴，∴，∴．（2）∵四边形是菱形，∴，∵，，∴，∴，∴菱形的面积为：．【点睛】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的知识．【考点六 菱形的性质与判定综合问题】例题：（2022春·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长；【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）先证明得到进而证明四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论；（2）先根据菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；（2）解：∵四边形是菱形，∴，∴在中，由勾股定理得，∴，∵，点O为的中点，∴．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．【变式训练】1．（2020秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；（2）由菱形的性质可得，，，可求，，即可得出答案．【详解】（1）解：证明：，，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，．，平行四边形是矩形，．．平行四边形是菱形（2）由（1）得：四边形是矩形，四边形是菱形，，，，，，．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识；灵活运用有关性质是解题的关键．2．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，平行四边形中，，，，点是的中点，点是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)①直接写出：当______时，四边形是菱形（不需要说明理由）；②当______时，四边形是矩形，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)①4；②7，理由见解析．【分析】（1）证明，推出，根据平行四边形的判定即可得出结论；（2）①当四边形是菱形时，证明是等边三角形，可得，进而可得的长度；②过A作于M，求出，可得，然后证明四边形是矩形，即可得到的长度．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵G是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：①当时，四边形是菱形，理由：∵，，，∴，，，当四边形是菱形时，有，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：4；②当时，四边形是矩形，理由：过A作于M，∵，，∴，∴，当四边形是矩形时，有，∴，又∵，∴四边形是矩形，∴，故答案为：7．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识，注意：菱形的四条边都相等，矩形的四个角都是直角．【考点七 利用正方形的性质求角度】例题：（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为______度．【答案】65【分析】由三角形的外角性质可知：要求，只要求，由正方形的轴对称性质可知：，即可求出．【详解】解：四边形是正方形，具有关于对角线所在直线对称的对称性， ，，，又是的外角，，故答案为：65．【点睛】本题综合考查正方形的对称性质和三角形外角性质，解题关键是利用正方形的对称性快速得出结论．【变式训练】1．（2021秋·山西太原·九年级太原市外国语学校校考阶段练习）如图，正方形中，，则_____．【答案】##度【分析】根据正方形的性质得出，根据已知条件可得，进而根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是解题的关键．2．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．【答案】【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出是等腰三角形，从而求出的度数，进而求出的度数即可．【详解】解： ∵四边形ABCD是正方形，是等边三角形，∴，，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，利用等边对等角求角的度数，是解题的关键．【考点八 利用正方形的性质求线段长】例题：（2021春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，过点作，交于点，，，则___________．【答案】【分析】作出如图的辅助线，证明，推出，，再证明，可推出为等腰直角三角形，求得长，设，由勾股定理建立方程即可求的长．【详解】解：连接、，过点E作于点M，如图所示，∵四边形为正方形，∴，，，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∵，，∴，∵，即，∴，设，在中，，∴，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．【答案】【分析】延长、交、于、，由正方形的性质，得到，再由等腰三角形的性质及正方形的性质得到，，由勾股定理即可得出结论．【详解】解：如图，延长、交、于、．四边形为正方形，，，，则 ．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理．求出，的长是解答本题的关键．2．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛第七中学校考开学考试）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______．【答案】【分析】连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长．【详解】解：如图所示，连接，由旋转可得，，∴，，又∵，∴H为的中点，∴垂直平分，∴，设，则，，∴，∵，∴中，，即，解得，∴的长为，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．3．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，求的长．【答案】的长为．【分析】利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，，于是可判断点G在的延长线上，接着证明平分得到，然后计算就可得到的长．【详解】解：∵正方形的边长为4，点E是的中点，∴，∴，∵将绕点A顺时针旋转得，∴，，，，而，∴点G在的延长线上，∵平分交于点F，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理．【考点九 正方形的性质与判定综合问题】例题：（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图所示，在正方形的边的延长线上取点，连接，在上取点，使得，连接，过点作，交于点．(1)若正方形的边长为，且，求的长；(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】由正方形的边长为，在中，由，即可求得的长，然后由勾股定理求得的长，又由，即可求得的长；先在上截取，然后证得≌，由全等三角形的对应角相等、同角的余角相等，即可求得，进而得出．（1）解：四边形是正方形，且边长为，，，在中，，，，，；（2）证明：在上截取，连接，，， ，，，在和中，，≌，，，  ，，，，，，，，．【点睛】此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解题时注意掌握辅助线的作法，构造全等三角形是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点是正方形内部的一点，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，，的延长线相交于点E.若正方形的边长为10，．(1)求证：四边形是正方形；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)的长是14．【分析】（1）由，得，由旋转得，，即可证明四边形是正方形；（2）根据勾股定理列方程，求得符合题意的的值，即可求得的长为14．【详解】（1）证明：∵，∴由旋转得，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形；（2）解：∵正方形的边长为10，，∴，∵，∴，∵，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴，，∴，∴BE的长是14．【点睛】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用等知识与方法，正确理解和运用旋转的性质是解题的关键．2．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，点E是正方形的边上不同于C，D的任意一点，延长至点F，使．分别过点E，F作的垂线，相交于点G．(1)如图1，连接，、与有何关系？请说明理由．(2)如图2，连接．若．①当点E是的中点时，____________；②当点E不是的中点时，的值与①相比，有变化吗？请说明理由．【答案】(1)，理由见解析(2)①；②不变化，理由见解析【分析】（1）证明即可得到；（2）先证明四边形是正方形，延长，相交于点H．①当点E是的中点时，四边形的边长等于，然后根据求解即可；②设四边形的边长为b，根据求解即可．【详解】（1）∵四边形是正方形，∴．在和中，∴，∴；（2）∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形．①∵E是的中点，∴，∴．故答案为：．②不变化，设四边形的边长为b，．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，整式的加减，数形结合是解答本题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）下列说法正确的是（    ）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是矩形 D．四边都相等的四边形是菱形【答案】D【分析】利用矩形，正方形和菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；D、四边都相等的四边形是菱形，故原命题正确，符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形，正方形及矩形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形，正方形及矩形的判定方法．2．（2022秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，E、F分别是的中点，若，则菱形的周长是（    ）A．12 B．16 C．20 D．24【答案】B【分析】利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可．【详解】解：∵E、F分别是的中点∴是的中位线，∴，∴菱形的周长为：；故选：B．【点睛】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．3．（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，中，对角线、交于点．若，，，（　　）A．4 B． C． D．8【答案】C【分析】根据四边形是矩形，，可得是等边三角形，再根据勾股定理即可求出的长．【详解】解：四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，，，是等边三角形，，，．故选：C．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等且互相平分．4．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，正方形的边长为3，点M在延长线上，，作交延长线于点N，则的长为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】如图所示，在上取一点F，使得，连接，先证明得到，进而可以证明得到，设，则，，在中利用勾股定理求解即可．【详解】解：如下图所示，在上取一点F，使得，连接，四边形是正方形，，，，，又，，又，，，设，，，，在中，，，解得，，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．（2023秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，在中，点D，E，F分别在边上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果，且，那么四边形是正方形．其中，正确的有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据，，得出为平行四边形，得出①正确；当，根据推出的平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若平分，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由，，根据等腰三角形的三线合一可得平分，同理可得四边形是菱形，不能证明是正方形，④错误，进而得到正确说法的个数．【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形，选项①正确；若，∴平行四边形为矩形，选项②正确；若平分，∴，又，∴，∴，∴，∴平行四边形为菱形，选项③正确；若，，∴平分，同理可得平行四边形为菱形，不是正方形，选项④错误，则其中正确的个数有3个．故选：C．【点睛】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形和正方形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的定义，以及等腰三角形的判定与性质．二、填空题6．（2022春·广西钦州·八年级阶段练习）四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是，则平行四边形的面积是______．【答案】6【分析】根据角所对的直角边等于斜边的一半，可知平行四边形的高等于矩形的宽的一半，由于底不变，所以平行四边形的面积是矩形面积的一半．【详解】解：作于E，∵，∴，∵平行四边形的底边与矩形的长相等，∴平行四边形的高变为矩形的宽的一半，∴平行四边形的面积是矩形的面积的一半．∵矩形的面积是，∴平行四边形的面积是．故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，正确的理解题意是解题的关键．7．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段，相交于点H，若，则＝______．【答案】【分析】如图，连接，与交于点O，证明，，可得，再求解，可得，，再利用勾股定理可得．【详解】解：如图，连接，与交于点O，在和中，，，∴，∵四边形和四边形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴，在中，，∴，∴，  ∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，熟练的证明是解本题的关键．8．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）小颖将能够活动的菱形学具活动成为图1所示形状，并测得，．接着，她又将这个学其活动成为图2所示正方形，此时的长为__________．【答案】【分析】根据菱形的性质和，求出的长度，然后再运用勾股定理求解即可．【详解】由题意可知是菱形，，是等边三角形，,是正方形，，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形、正方形的、等边三角形的性质以及勾股定理；灵活运用性质正确计算是解题的关键．9．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，在矩形中，，，P点在边上以每秒的速度从A向D运动，点Q在边上，以每秒的速度从C点出发，在C、B间往返运动，两点同时出发，P点到达D点时同时停止，在这段时间内，有如下说法：①该过程中，会出现4次的时刻；②该过程中，会出现3次四边形和四边形同时为矩形的时刻；③该过程中，当：时，四边形和四边形的面积比为6∶5；④该过程中，矩形和面积比的最大值为4∶3．上述说法正确的是______（填序号）．【答案】①②##②①【分析】①易得两点运动的时间为，，那么四边形是平行四边形，则，计算出Q在B、C上往返运动的次数可得平行的次数；②根据时，四边形和四边形同时为矩形，列出t的方程，t的值存在的个数便可判断选项正误；③根据梯形的面积公式进行计算便可判断正误；④由②知，当时，矩形和面积比取最大值，求出此时的值便可．【详解】解：①∵矩形中，，∴，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴Q从C到B往返一次就可以得到一次平行，∵P的速度是/秒，∴两点运动的时间为，∴Q运动的路程为，∴Q从C到B往返一次得到一次平行的次数为次，∴会出现4次的时刻，故①正确；②∵在矩形中，，∴．当四边形为矩形时，．当时，，解得，，∴当时，四边形和四边形同时为矩形；当时，，解得 t=4，∴当时，四边形和四边形同时为矩形；当时，，解得 ，∴当时，四边形和四边形同时为矩形；当时，，解得，，此时，四边形不为矩形；综上所述，当t为或4或时，四边形和四边形同时为矩形，即该过程中，会出现3次四边形和四边形同时为矩形的时刻，故②正确；③当时，，∴，，∴四边形和四边形的面积比为，故③错误；④当时，矩形和面积比取最大值为：，故④错误；故答案为：①②．【点睛】本题矩形的性质与判定，一元一次方程的应用，梯形的面积公式，关键是分类思想解决问题．10．（2022秋·江西吉安·九年级统考期末）如图，在边长为12的菱形中，，连接，为图中任意线段上一点，若，则的长为______【答案】6或或【分析】根据题意分点P在上，点P在上和点P在上三种情况讨论，分别利用菱形的性质，等边三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】如图所示，当点P在上时，∵，∴；如图所示，当点P在上时，∵四边形是菱形，∴∵∴时等边三角形∴∵∴∴点P是的中点∴，∴；如图所示，当点P在上时，作交的延长线于点E∵四边形是菱形，∴∵∴∴∵∴∴∴∵四边形是菱形，∴∵∴∴∴∴；综上所述，的长为6或或．故答案为：6或或．【点睛】此题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．三、解答题11．（2022秋·江西吉安·九年级统考期末）如图，在矩形中，平分．(1)求的度数；(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质，结合题意，得出，，，再根据勾股定理，得出，进而得出，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案；（2）根据矩形的性质，得出，再根据（1）的结论，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据等量代换，得出，再根据等角对等边，得出，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答案．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，，∴，，，∴，∴，∴．（2）证明：∵四边形是矩形，∴，又∵，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴在中，．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、含角的直角三角形、等角对等边，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．12．（2023秋·广西南宁·九年级南宁十四中校考开学考试）如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，，且．(1)求证：平行四边形是菱形；(2)若，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)24【分析】（1）利用全等三角形的性质证明即可解决问题；（2）连接交于，利用勾股定理求出对角线的长，即可解决问题．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，在和中，，，，平行四边形是菱形．（2）解：如图，连接交于，四边形是菱形，，，，，，，，则四边形的面积为．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．13．（2022秋·四川成都·九年级校考阶段练习）如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．(1)求证：D是的中点；(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)是矩形，证明见解析【分析】（1）首先推知，则其对应边相等，结合已知条件得到：，即可证明；（2）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出，结合矩形的判定即可证明【详解】（1）证明：∵，∴．∵E为的中点，∴．∴．∴．∵，∴，即D是的中点；（2）四边形是矩形．理由如下：∵且，∴四边形是平行四边形．∵，由（1）得D是的中点∴．∴，∴四边形是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，是基础题，熟练掌握平行四边形及矩形的判定和性质是解本题的关键．14．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，在中，，，点G、F分别是、的中点，过点A作交的延长线于点H．(1)求证：四边形是菱形；(2)请判断四边形的形状并加以证明．【答案】(1)见解析(2)四边形是矩形，证明见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质，以及线段的中点，得到四边形是平行四边形，再根据，推出是等边三角形，进而得到，即可得证；（2）易证：四边形是平行四边形，根据三角形外角的性质和菱形的性质，推出，进而得到，即可得到四边形是矩形．【详解】（1）证明：∵在中，，∴，，∵点G、F分别是、的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，，∴是等边三角形，∴，∴四边形是菱形；（2）解：四边形是矩形，证明如下：∵过点A作交的延长线于点H，，∴，∴四边形是平行四边形，由（1）知： 是等边三角形，，∴，，∵，∴，∴，∴四边形是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，以及菱形和矩形的判定方法，是解题的关键．15．（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）已知在矩形ABCD中，，，四边形EFGH的三个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、DA上，．(1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，求的面积；(2)如图2，当四边形EFGH为菱形，且时，求的面积（用含a的代数式表述）；(3)在（2）的条件下，当的面积等于6时，求AH的长．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）过点G作于M，，可以证明，就可以求出的长，进而就可以求出，求出面积．（2）证明．得到的长，根据三角形的面积公式就可以求出面积．（3）△GFC的面积等于6，根据面积就可以求出a的值，在△BEF中根据勾股定理就可以得到，进而在直角中求出．【详解】（1）解：如图1，过点G作于M， 在正方形中，，，∴，∵，∴，又∵，∴，同理可证．∴，∴，∴；（2）如图2，过点G作交的延长线于M，连接，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴；（3）∵当，则，∴．在中，．在中，，【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是证明三角形全等．16．（2022秋·广西南宁·九年级三美学校校考开学考试）如图，在矩形中，E为上一点，其中经过点A，连接．(1)如图1，若，求证：；(2)连接．①如图2，若，，求AD的长；②如图3，若，，直接写出的值为 ．【答案】(1)见解析(2)①8；②【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，，然后证明可得结论．（2）①如图2中，延长交的延长线于T．证明垂直平分线段，推出，设，构建方程求出x即可解决问题．②如图3中，延长交的延长线于T．证明，设，易知，设，则，根据，构建方程求出x（用x表示）即可解决问题．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴．（2）解：①如图2中，延长交的延长线于T．∵，∴，∵，，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，设，在Rt△ABE中，则有，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴．②如图7中，延长交的延长线于T．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，设，∵四边形ABCD是矩形，，∴四边形是正方形，∴，，∴，设，∵EG2＝AE2﹣AG7＝ET2﹣TG2，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．