2024年高考数学大一轮(人教A版文)第四章4.1任意角和弧度制、三角函数的概念讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高考数学大一轮(人教A版文)第四章4.1任意角和弧度制、三角函数的概念讲义(学生版+解析)，共19页。

考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为 、 、 ,按终边位置不同分为 和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于________________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．
(2)公式
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么sin α＝__________，cs α＝__________，tan α＝________(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)－eq \f(π,3)是第三象限角．( )
(2)若角α的终边过点P(－3,4)，则cs α＝－eq \f(3,5).( )
(3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．( )
(4)若圆心角为eq \f(π,3)的扇形的弧长为π，则该扇形面积为eq \f(3π,2).( )
教材改编题
1. －660°等于( )
A．－eq \f(13,3)π rad B．－eq \f(25,6)π rad
C．－eq \f(11,3)π rad D．－eq \f(23,6)π rad
2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．
3．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________.
题型一 角及其表示
例1 (1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则( )
A．－α是第一象限角
B.eq \f(α,2)是第三象限角
C.eq \f(3π,2)＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上
听课记录：___________________________________________________________________
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延伸探究 若α是第一象限角，则eq \f(α,2)是第几象限角？
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(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
思维升华 确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在位置．
跟踪训练1 (1)若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在( )
A．第二或第三象限 B．第一或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
(2)(2021·北京)若点P(cs θ，sin θ)与点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
题型二 弧度制及其应用
例2 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.
(1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长；
(2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
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思维升华 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．
跟踪训练2 已知弧长为60 cm的扇形面积是240 cm2，求：
(1)扇形的半径；
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(2)扇形圆心角的弧度数．
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题型三 三角函数的概念
例3 (1)设点P是以原点O为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置P0(0,1)出发，沿单位圆顺时针方向旋转角θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f(π,2)))后到达点P1，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角eq \f(π,3)到达点P2，若点P2的纵坐标是－eq \f(1,2)，则点P1的坐标是________．
(2)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋eq \f(3,cs α)的值为( )
A．－6eq \r(10) B．6eq \r(10)
C．0 D．－3eq \r(10)
(3)若sin αtan α<0，且eq \f(cs α,tan α)>0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
听课记录：___________________________________________________________________
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思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
跟踪训练3 (1)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cs α的值是( )
A．－eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(\r(5),5) C．－eq \f(\r(5),5) D.eq \f(3\r(5),5)或－eq \f(3\r(5),5)
(2)sin 2cs 3tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
(3)若A(1，a)是角θ终边上的一点，且sin θ＝eq \f(\r(33),6)，则实数a的值为________．角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝________ rad；
1 rad＝________________
弧长公式
l＝________
扇形面积公式
S＝________＝________
§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．
(2)公式
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)－eq \f(π,3)是第三象限角．( × )
(2)若角α的终边过点P(－3,4)，则cs α＝－eq \f(3,5).( √ )
(3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．( × )
(4)若圆心角为eq \f(π,3)的扇形的弧长为π，则该扇形面积为eq \f(3π,2).( √ )
教材改编题
1. －660°等于( )
A．－eq \f(13,3)π rad B．－eq \f(25,6)π rad
C．－eq \f(11,3)π rad D．－eq \f(23,6)π rad
答案 C
解析 －660°＝－660×eq \f(π,180) rad＝－eq \f(11,3)π rad.
2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．
答案 －4π
解析 某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了－720°，即－4π.
3．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________.
答案 －eq \f(3\r(13),13) －eq \f(3,2)
解析 因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝eq \r(22＋－32)＝eq \r(13).则sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3,\r(13))＝－eq \f(3\r(13),13)，tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,2).
题型一 角及其表示
例1 (1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则( )
A．－α是第一象限角
B.eq \f(α,2)是第三象限角
C.eq \f(3π,2)＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上
答案 D
解析 因为α是第二象限角，可得eq \f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
对于A，可得－π－2kπ<－α<－eq \f(π,2)－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，所以A错误；
对于B，可得eq \f(π,4)＋kπ当k为偶数时，eq \f(α,2)位于第一象限；当k为奇数时，eq \f(α,2)位于第三象限，所以B错误；
对于C，可得2π＋2kπ即2(k＋1)π对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，所以D正确．
延伸探究 若α是第一象限角，则eq \f(α,2)是第几象限角？
解 因为α是第一象限角，所以k·360°<α所以k·180°当k为偶数时，eq \f(α,2)是第一象限角，
当k为奇数时，eq \f(α,2)是第三象限角．
(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
答案 －675°和－315°
解析 所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
当k＝－1时，β＝45°－360°＝－315°，
当k＝－2时，β＝45°－2×360°＝－675°.
思维升华 确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在位置．
跟踪训练1 (1)若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在( )
A．第二或第三象限 B．第一或第三象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
答案 B
解析 当k为奇数时，记k＝2n＋1，n∈Z，则α＝225°＋n·360°(n∈Z)，此时α为第三象限角；当k为偶数时，记k＝2n，n∈Z，则α＝45°＋n·360°(n∈Z)，此时α为第一象限角．故α的终边在第一或第三象限．
(2)(2021·北京)若点P(cs θ，sin θ)与点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
答案 eq \f(5π,12)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(满足θ＝\f(5π,12)＋kπ，k∈Z即可))
解析 ∵P(cs θ，sin θ)与
Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))))
关于y轴对称，
即θ，θ＋eq \f(π,6)关于y轴对称，
θ＋eq \f(π,6)＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，
则θ＝kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z，
当k＝0时，可取θ的一个值为eq \f(5π,12).
题型二 弧度制及其应用
例2 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.
(1)若α＝35°，r＝8 cm，求扇形的弧长；
(2)若C＝16 cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
解 (1)α＝35°＝35×eq \f(π,180) rad＝eq \f(7,36)π rad，
扇形的弧长l＝αr＝eq \f(7,36)π×8＝eq \f(14,9)π(cm)．
(2) 方法一 由题意知2r＋l＝16，∴l＝16－2r(0则S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，
当r＝4(cm)时，Smax＝16(cm2)，l＝16－2×4＝8(cm)，α＝eq \f(l,r)＝2，
∴S的最大值是16 cm2，此时扇形的半径是4 cm，圆心角α＝2 rad.
方法二 S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,4)l·2r≤eq \f(1,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l＋2r,2)))2＝16，
当且仅当l＝2r，即r＝4(cm)时，S的最大值是16 cm2.
此时扇形的圆心角α＝2 rad.
思维升华 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题．
跟踪训练2 已知弧长为60 cm的扇形面积是240 cm2，求：
(1)扇形的半径；
(2)扇形圆心角的弧度数．
解 设扇形的弧长为l，半径为r，面积为S，圆心角为α.
(1)由题意得S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×60r＝240，
解得r＝8(cm)，即扇形的半径为8 cm.
(2)α＝eq \f(l,r)＝eq \f(60,8)＝eq \f(15,2)，
所以扇形圆心角的弧度数为eq \f(15,2).
题型三 三角函数的概念
例3 (1)设点P是以原点O为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置P0(0,1)出发，沿单位圆顺时针方向旋转角θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f(π,2)))后到达点P1，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角eq \f(π,3)到达点P2，若点P2的纵坐标是－eq \f(1,2)，则点P1的坐标是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
解析 初始位置P0(0,1)在角eq \f(π,2)的终边上，
射线OP1对应的角为eq \f(π,2)－θ，
射线OP2对应的角为eq \f(π,6)－θ，
由题意可知，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝－eq \f(1,2)，
又eq \f(π,6)－θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))，
则eq \f(π,6)－θ＝－eq \f(π,6)，
解得θ＝eq \f(π,3)，
所以射线OP1对应的角为eq \f(π,2)－θ＝eq \f(π,6)，
由任意角的三角函数的定义可知，点P1的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)，sin \f(π,6)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))).
(2)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋eq \f(3,cs α)的值为( )
A．－6eq \r(10) B．6eq \r(10)
C．0 D．－3eq \r(10)
答案 C
解析 由题意知，cs α≠0，
设角α终边上一点的坐标为(a，－3a)(a≠0)，
则r＝eq \r(a2＋9a2)＝eq \r(10)|a|.
当a>0时，r＝eq \r(10)a，sin α＝eq \f(－3a,\r(10)a)＝－eq \f(3\r(10),10)，cs α＝eq \f(a,\r(10)a)＝eq \f(\r(10),10)，
10sin α＋eq \f(3,cs α)＝－3eq \r(10)＋3eq \r(10)＝0.
当a<0时，r＝－eq \r(10)a，sin α＝eq \f(－3a,－\r(10)a)＝eq \f(3\r(10),10)，cs α＝eq \f(a,－\r(10)a)＝－eq \f(\r(10),10)，
10sin α＋eq \f(3,cs α)＝3eq \r(10)－3eq \r(10)＝0.
(3)若sin αtan α<0，且eq \f(cs α,tan α)>0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 B
解析 由sin αtan α<0，知α是第二象限或第三象限角，
由eq \f(cs α,tan α)>0，知α是第一象限或第二象限角，
所以角α是第二象限角．
思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
跟踪训练3 (1)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cs α的值是( )
A．－eq \f(3\r(5),5) B.eq \f(\r(5),5)
C．－eq \f(\r(5),5) D.eq \f(3\r(5),5)或－eq \f(3\r(5),5)
答案 D
解析 由题意得，r＝eq \r(a2＋2a2)＝eq \r(5)|a|，
当a>0时，r＝eq \r(5)a，
cs α＝eq \f(a,r)＝eq \f(\r(5),5)，sin α＝eq \f(2a,r)＝eq \f(2\r(5),5)，
∴2sin α－cs α＝eq \f(3\r(5),5)；
当a<0时，r＝－eq \r(5)a，
∴cs α＝－eq \f(\r(5),5)，sin α＝－eq \f(2\r(5),5)，
∴2sin α－cs α＝－eq \f(3\r(5),5)，
综上，2sin α－cs α＝±eq \f(3\r(5),5).
(2)sin 2cs 3tan 4的值( )
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
答案 A
解析 ∵eq \f(π,2)<2<3<π<40，cs 3<0，tan 4>0.∴sin 2cs 3tan 4<0.
(3)若A(1，a)是角θ终边上的一点，且sin θ＝eq \f(\r(33),6)，则实数a的值为________．
答案 eq \r(11)
解析 根据三角函数的终边上点的定义可得，r＝eq \r(1＋a2)，
所以sin θ＝eq \f(a,\r(a2＋1))＝eq \f(\r(33),6)>0，即a>0且a2＝11，所以a＝eq \r(11).
课时精练
1．与－2 023°终边相同的最小正角是( )
A．137° B．133° C．57° D．43°
答案 A
解析 因为－2 023°＝－360°×6＋137°，
所以与－2 023°终边相同的最小正角是137°.
2．(2023·西安模拟)在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－sin \f(π,6)，cs \f(π,3)))，则cs θ等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(2),2) D．－eq \f(\r(2),2)
答案 D
解析 由角θ的终边经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－sin \f(π,6)，cs \f(π,3)))，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，
所以cs θ＝eq \f(－\f(1,2),\r(\f(1,4)＋\f(1,4)))＝－eq \f(\r(2),2).
3．已知扇形的周长为10，面积为6，则扇形的圆心角的弧度数为( )
A.eq \f(4,3)或3 B．2或3
C.eq \f(2,3)或eq \f(4,3) D.eq \f(2,3)或3
答案 A
解析 设扇形的半径为R，弧长为l，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2R＋l＝10，,\f(1,2)Rl＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＝6，,R＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＝4，,R＝3，))
故扇形的圆心角的弧度数α＝eq \f(l,R)＝eq \f(4,3)或3.
4．设α是第一象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))＝cs eq \f(α,2)，则eq \f(α,2)所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析 因为α是第一象限角，
所以2kπ<α所以kπ即eq \f(α,2)为第一象限角或第三象限角，
又因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(α,2)))＝cs eq \f(α,2)，
即cs eq \f(α,2)≥0，
所以eq \f(α,2)所在的象限是第一象限．
5．(2023·南昌模拟)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400 千米，已知月球半径约为1 738 千米，则嫦娥五号绕月每旋转eq \f(π,3)弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)( )
A．1 069千米 B．1 119千米
C．2 138千米 D．2 238千米
答案 D
解析 嫦娥五号绕月飞行半径为400＋1 738＝2 138(千米)，
所以嫦娥五号绕月每旋转eq \f(π,3)弧度，飞过的路程约为l＝αr＝eq \f(π,3)×2 138≈eq \f(3.14,3)×2 138≈2 238(千米)．
6.(2023·成都模拟)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇所在扇形的圆心角为eq \f(2π,3)时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长AB与弧长之比为( )
A.eq \f(2\r(3)π,3) B.eq \f(2\r(3),3π) C.eq \f(3\r(3),2π) D.eq \f(\r(3)π,3)
答案 C
解析 设扇形的弧长为l，半径为r，如图，取AB的中点D，
连接OD，
圆心角α为eq \f(2π,3)，则∠BOD＝eq \f(π,3)，
所以弦长AB＝2AD＝2rsin eq \f(π,3)＝eq \r(3)r.
又弧长＝eq \f(2π,3)r，
所以弦长AB与弧长之比为eq \f(\r(3)r,\f(2π,3)r)＝eq \f(3\r(3),2π) .
7．(2023·宁夏模拟)已知角α的终边上一点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(5π,6)，cs \f(5π,6)))，则角α的最小正值为________．
答案 eq \f(5π,3)
解析 因为sin eq \f(5π,6)>0，cs eq \f(5π,6)<0，
所以角α的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知sin α＝cs eq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，
故角α的最小正值为α＝2π－eq \f(π,3)＝eq \f(5π,3).
8．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的eq \f(2,3)，面积等于圆面积的eq \f(5,27)，则扇形的弧长与圆的周长之比为________．
答案 eq \f(5,18)
解析 设圆的半径为r，则扇形的半径为eq \f(2r,3)，记扇形的圆心角为α，则eq \f(\f(1,2)α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2r,3)))2,πr2)＝eq \f(5,27)，所以α＝eq \f(5π,6).所以扇形的弧长与圆的周长之比为eq \f(l,C)＝eq \f(\f(5π,6)·\f(2r,3),2πr)＝eq \f(5,18).
9．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cs α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解 (1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，得sin α<0，
由lg(cs α)有意义，可知cs α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＋m2＝1，解得m＝±eq \f(4,5).
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－eq \f(4,5)，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1,0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－eq \f(1,2)，求sin α的值和与角α终边相同的角β的集合；
(2)若α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．(注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形)
解 (1)由题意知，若点B的横坐标为－eq \f(1,2)，可得B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴sin α＝eq \f(\r(3),2)，
于是α＝eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，
与角α终边相同的角β的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z)))).
(2)△AOB的高为1×cs eq \f(α,2) ，AB＝2sin eq \f(α,2)，
故S△AOB＝eq \f(1,2)×2sin eq \f(α,2)×cs eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)sin α，
故弓形AB的面积S＝eq \f(1,2)·α·12－eq \f(1,2)sin α＝eq \f(1,2)(α－sin α)，α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
11．在平面直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为( )
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)
D．β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)
答案 D
解析 ∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)．
12．如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，以AB为边作一个等边△ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为( )
A.eq \f(56π,3) B．14π
C．24π D．10π
答案 B
解析 由题意得，扇形ABD的半径为1，圆心角为eq \f(2π,3)，
所以弧AD的长l1＝eq \f(2π,3)×1，
同理可得之后的各段弧长分别为
l2＝eq \f(2π,3)×2，l3＝eq \f(2π,3)×3，l4＝eq \f(2π,3)×4，
l5＝eq \f(2π,3)×5，l6＝eq \f(2π,3)×6，
所以“螺旋蚊香”图案的总长度l＝eq \f(2π,3)×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝14π.
13．已知△ABC为锐角三角形，若角θ的终边过点P(sin A－cs B，cs A－sin C)，则eq \f(sin θ,|sin θ|)＋eq \f(cs θ,|cs θ|)＋eq \f(tan θ,|tan θ|)的值为( )
A．1 B．－1 C．3 D．－3
答案 B
解析 因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B>eq \f(π,2)，A＋C>eq \f(π,2)，即A>eq \f(π,2)－B，C>eq \f(π,2)－A，
所以sin A>cs B，sin C>cs A，
所以θ是第四象限角，
所以eq \f(sin θ,|sin θ|)＋eq \f(cs θ,|cs θ|)＋eq \f(tan θ,|tan θ|)＝－1＋1－1＝－1.
14．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cs α＝－eq \f(5,13)，则eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,tan α)等于________．
答案 －eq \f(2,3)
解析 因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cs α＝－eq \f(5,13)，所以角α的终边在第三象限，x>0，
所以cs α＝eq \f(－x,\r(－x2＋－62))＝－eq \f(5,13)，
解得x＝eq \f(5,2)(舍负)，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－6))，
所以sin α＝－eq \f(12,13)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(12,5)，
所以eq \f(1,sin α)＋eq \f(1,tan α)＝－eq \f(13,12)＋eq \f(5,12)＝－eq \f(2,3).
15.(2023·常州模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sin αcs α的值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5)
答案 B
解析 设直角三角形的短直角边为x，一个直角三角形的面积为eq \f(100－20,4)＝20，
小正方形的面积为20，则边长为2eq \r(5).大正方形的面积为100，则边长为10.
直角三角形的面积为eq \f(1,2)·x(x＋2eq \r(5))＝20⇒x＝2eq \r(5).
则直角三角形的长直角边为4eq \r(5).故sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs α＝eq \f(2\r(5),5)，即sin αcs α＝eq \f(2,5).
16．如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD(顶点A与P重合)沿圆周逆时针滚动．若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了________轮，此时点A走过的路径的长度为________．
答案 3 (eq \r(2)＋2)π
解析 正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B→C→D→A，
顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等份，
又4和6的最小公倍数为3×4＝2×6＝12，
所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮．
这一轮中，点A路径A→A′→A″→A是圆心角为eq \f(π,6)，半径分别为2,2eq \r(2)，2的三段弧，故路径长l＝eq \f(π,6)·(2＋2eq \r(2)＋2)＝eq \f(\r(2)＋2π,3)，
所以点A与P重合时总路径长为(eq \r(2)＋2)π.角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2