2024年高考数学第一轮复习讲义第四章4.6函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(学生版+解析)

这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第四章4.6函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(学生版+解析)，共30页。

知识梳理
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0
2.用“五点(画图)法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.( )
(2)函数f(x)＝sin 2x向右平移eq \f(π,6)个单位长度后对应的函数g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).( )
(3)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，所得函数解析式为y＝sin eq \f(1,2)x.( )
(4)如果y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为eq \f(T,2).( )
教材改编题
1．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，eq \f(1,π)，eq \f(π,4) B．2，eq \f(1,2π)，eq \f(π,4)
C．2，eq \f(1,π)，eq \f(π,8) D．2，eq \f(1,2π)，－eq \f(π,8)
2．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,5)))图象上所有的点( )
A．向左平移eq \f(π,5)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,5)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,15)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,15)个单位长度
3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)t－\f(π,6)))，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象，则f(x)等于( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(7π,12))) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,12)))
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(7π,12))) D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,12)))
听课记录：______________________________________________________________
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(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
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思维升华 (1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移eq \f(φ,ω)(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
跟踪训练1 (1)(2023·宁夏模拟)已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是( )
A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,6)个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,12)个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度
(2)(2023·宁夏模拟)将函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,2)))(ω>0)的图象分别向左、向右各平移eq \f(π,6)个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为( )
A.eq \f(3,2) B．2 C．3 D．6
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 (1)(2023·芜湖模拟)已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
跟踪训练2 (1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)x＋\f(π,6)))
B．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋\f(π,6)))
C．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)x－\f(π,6)))
D．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)x＋\f(π,6)))
(2)(2023·潍坊模拟)已知函数g(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|0)的零点构成一个公差为eq \f(π,2)的等差数列，把f(x)的图象沿x轴向右平移eq \f(π,3)个单位长度得到函数g(x)的图象，则( )
A．g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递减
B．点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))是g(x)的一个对称中心
C．g(x)是奇函数
D．g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的值域为[0,2]
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命题点2 函数零点(方程根)问题
例4 已知关于x的方程2sin2x－eq \r(3)sin 2x＋m－1＝0在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．
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延伸探究 本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是________．
命题点3 三角函数模型
例5 (2023·乐山模拟)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为( )
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cs eq \f(π,15)t＋68
C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为15
D．∃t1，t2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
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思维升华 (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
跟踪训练3 (1)(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，－π0，ω>0
2.用“五点(画图)法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.( × )
(2)函数f(x)＝sin 2x向右平移eq \f(π,6)个单位长度后对应的函数g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).( × )
(3)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，所得函数解析式为y＝sin eq \f(1,2)x.( × )
(4)如果y＝Acs(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为eq \f(T,2).( √ )
教材改编题
1．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，eq \f(1,π)，eq \f(π,4) B．2，eq \f(1,2π)，eq \f(π,4)
C．2，eq \f(1,π)，eq \f(π,8) D．2，eq \f(1,2π)，－eq \f(π,8)
答案 A
解析 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))的振幅为2，频率为eq \f(1,π)，初相为eq \f(π,4).
2．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,5)))图象上所有的点( )
A．向左平移eq \f(π,5)个单位长度
B．向右平移eq \f(π,5)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,15)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,15)个单位长度
答案 D
解析 因为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,5)))＝2sin 3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,15)))，所以要得到函数y＝sin 3x的图象，只要把函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,5)))图象上所有的点向右平移eq \f(π,15)个单位长度即可，故选D.
3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)t－\f(π,6)))，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是 m.
答案 1
解析 当t＝12时，f(12)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5π－\f(π,6)))＝2sin eq \f(5π,6)＝1，即12点时潮水的高度是1 m.
题型一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 (1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象，则f(x)等于( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(7π,12))) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,12)))
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(7π,12))) D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,12)))
答案 B
解析 依题意，将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))eq \(―――――――――――――――→,\s\up10(将其图象向左平移\f(π,3)个单位长度))y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))的图象
eq \(―――――――――――――――→,\s\up7(所有点的横坐标扩大到原来的2倍))f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,12)))的图象．
(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)的图象向左平移eq \f(π,2)个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
答案 C
解析 记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ωx＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)ω＋\f(π,3))))).因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以eq \f(π,2)ω＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得ω＝2k＋eq \f(1,3)(k∈Z)．因为ω＞0，所以ωmin＝eq \f(1,3).故选C.
思维升华 (1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移eq \f(φ,ω)(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
跟踪训练1 (1)(2023·宁夏模拟)已知曲线C1：y＝cs x，C2：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是( )
A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,6)个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,12)个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度
答案 C
解析 A项， 先把曲线C1上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cs eq \f(1,2)x的图象，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度得y＝cs eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,12)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(7π,12)))的图象，故A错误；
B项，先把曲线C1上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cs eq \f(1,2)x的图象，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,6)个单位长度得y＝cs eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,12)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(7π,12)))的图象，故B错误；
C项，先把曲线C1上点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得y＝cs 2x的图象，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,12)个单位长度得y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象，故C正确；
D项，先把曲线C1上点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得y＝cs 2x的图象，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度得y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))的图象，故D错误．
(2)(2023·宁夏模拟)将函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,2)))(ω>0)的图象分别向左、向右各平移eq \f(π,6)个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为( )
A.eq \f(3,2) B．2 C．3 D．6
答案 A
解析 将函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,2)))的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后，
可得f(x)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－\f(π,2)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)ω－\f(π,2)))，
将函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,2)))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后，
可得g(x)＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))－\f(π,2)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)ω－\f(π,2)))，
因为函数f(x)与g(x)的对称中心重合，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)ω－\f(π,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)ω－\f(π,2)))＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，
即eq \f(π,3)ω＝eq \f(kπ,2)，k∈Z，解得ω＝eq \f(3k,2)，k∈Z，
又因为ω>0，所以ω的最小值为eq \f(3,2).
题型二 由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 (1)(2023·芜湖模拟)已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
跟踪训练2 (1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)x＋\f(π,6)))
B．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋\f(π,6)))
C．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)x－\f(π,6)))
D．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)x＋\f(π,6)))
答案 B
解析 由图象知π