抢分专练02 立体几何-备战2024年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

抢分专练02 立体几何
一、单选题
1．（2024·江西南昌·二模）校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，使得平面均与平面ABC垂直，再将球放到上面使得三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）在长方体中，，过顶点作平面，使得平面，若平面，则直线l和直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知中，C为直角，若分别以边CA，CB，AB所在的直线为轴旋转一周，得到几何体的体积为，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河北·二模）已知一个底面内口直径为的圆柱体玻璃杯中盛有高为的水，向该杯中放入一个半径为的实心冰球和一个半径为的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中（实心钢球与杯中水面、杯底均相切），若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计，则实心钢球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）随着古代瓷器工艺的高速发展，在著名的宋代五大名窑之后，又增加了三种瓷器，与五大名窑并称为中国八大名瓷，其中最受欢迎的是景德镇窑．如图，景德镇产的青花玲珑瓷(无盖)的形状可视为一个球被两个平行平面所截后剩下的部分，其中球面被平面所截的部分均可视为球冠(截得的圆面是底，垂直于圆面的直径被截得的部分是高，其面积公式为，其中为球的半径，为球冠的高)．已知瓷器的高为，在高为处有最大直径(外径)为，则该瓷器的外表面积约为(取3.14) （ ）
A．B．C．D．
6．（2024·青海·模拟预测）如图，在正方体中，，，，，，分别为棱，，，，，的中点，为的中点，连接，．对于空间任意两点，，若线段上不存在也在线段，上的点，则称，两点“可视”，则与点“可视”的点为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，P为线段的中点，Q为线段（包括端点）上一点，则的面积的最大值为（ ）

A．B．C．2D．
8．（2024·北京·模拟预测）在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值是（ ）

A．B．
C．D．
9．（2024·甘肃定西·一模）在四棱锥中，底面为矩形，底面与底面所成的角分别为，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·河南信阳·模拟预测）棱长为1的正方体中，点P为上的动点，O为底面ABCD的中心，则OP的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·北京东城·一模）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为，高为.首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·山东枣庄·一模）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
14．（2024·河北·二模）一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别为，，，直角顶点到斜面的距离为，其内切球的半径为，三个直角面的面积分别为，，，三个直角面与斜面所成的角分别为，，，斜面的面积为，则（ ）
A．直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心B．
C．D．
15．（2024·全国·模拟预测）已知正方体，则下列说法中正确的是（ ）
A．直线与所成的角为
B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成角为
D．直线与平面所成角为
16．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在点，使四点共面
B．存在点，使平面
C．三棱锥的体积为
D．经过四点的球的表面积为
17．（2024·全国·模拟预测）已知球O是正三棱锥的外接球，，点E在线段上，且．过点E作球的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）
A．πB．C．D．．
18．（2024·贵州贵阳·一模）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（ ）
A．存在点．使得
B．存在点，使得平面
C．三棱锥的体积不是定值
D．存在点．使得
三、填空题
19．（2024·辽宁·二模）如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是 ．
20．（2024·河北邢台·二模）如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为 ．
21．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 ，若为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为 ．

22．（2024·全国·模拟预测）已知A，B，C，D分别为球O的球面上的四点，记的中点为E，且，四棱锥体积的最大值为，则球O的表面积为 ，此时 ．
23．（2024·广东·二模）将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为，其中，记桌面为平面.若，且与平面所成的角为，则点到平面的距离的最大值为 .
四、解答题
24．（2024·全国·模拟预测）如图，将绕边旋转得到，其中平面，连结分别是的中点，平面．

(1)求证：；
(2)求与平面所成角的正弦值．
25．（2024·宁夏石嘴山·三模）在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，为棱上的点．

(1)证明：；
(2)是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，说明点的位置，若不存在，说明理由．
26．（2024·山东济南·二模）如图，在四棱锥中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD， ，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.
(1)证明：；
(2)当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为.
27．（2024·河北·二模）如图，在四棱锥中，底面是菱形且，是边长为的等边三角形，，，分别为，，的中点，与交于点．
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
28．（2024·山东枣庄·一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面与底面所成的角为，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若为的内心，求直线与平面所成角的正弦值．
29．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在三棱柱中，所有棱长均为1，．
(1)证明：平面．
(2)求三棱柱的体积．
30．（2024·全国·模拟预测）如图，在中，．D，E分别为边上的中点，现将以为折痕折起，使点A到达点的位置．

(1)连接，证明：;
(2)若平面与平面所成二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．