还剩22页未读，
继续阅读
所属成套资源：2024年高中数学(必修第一册)精品讲义(学生版+解析)
成套系列资料，整套一键下载
2024年高中数学(必修第一册)4.1指数函数精品讲义(学生版+解析)
展开这是一份2024年高中数学(必修第一册)4.1指数函数精品讲义(学生版+解析)，共25页。
1 指数运算
(1) n次方根与分数指数幂
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N∗.
式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.
注意：(1) (na)n=a (2)当n是奇数时，nan=a，当n是偶数时，nan=a=a,a≥0−a,a<0.
(2) 正数的正分数指数幂的意义
① 正数的正分数指数幂的意义，规定：amn=nam(a>0,m,n∈N∗,且n>1)
巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)
Eg x=x12，3x5=x53.
② 正数的正分数指数幂的意义：a−mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N∗,且n>1)
③ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
(3) 实数指数幂的运算性质
① as∙ar=ar+s (a>0,r,s∈R)
② asr=ars (a>0,r,s∈R)
③ (ab)r=arbr (a>0,r∈R)
2 指数函数概念
一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
3 图像与性质
【题型一】指数幂的化简与求值
【典题1】 求值(279)12−23−π0－21027−13+0.125−23+3∙343.
【典题2】已知x12−x−12=5，则x2+1x2的值为______.
【典题3】化简11+62+11−62=________.
巩固练习
1(★) 化简3aa÷a76(a>0)= .
2(★★) 如果45x=3，45y=5，那么2x+y= ．
3(★★) 已知a+1a=7，则a12+a−12= ．
4(★★) (214)12−(−2)0−(278)−23+(32)−2= ．
5(★★) 求值7+43+7−43= ．
6(★★★) 已知实数x,y满足3x+3y=9x+9y，则27x+27y3x+3y的取值范围是 .
7(★★★) 已知2a=3b=6，则a,b不可能满足的关系是( )
A．a+b=abB．a+b>4
C．a−12+b−12<2D．a2+b2>8
【题型二】指数函数的图象及应用
【典题1】函数y=21−x的图象大致是( )
A． B． C． D．
【典题2】设函数f(x)=|2x−1|，c
巩固练习
1(★) 二次函数y=−x2−4x(x>−2)与指数函数y=(12)x的交点个数有( )
A．3个 B．2个C．1个 D．0个
2(★★) 若函数y=ax+m−1(0
3(★★) 如图所示，函数y=|2x−2|的图象是( )
A．B．C．D．
4(★★) 已知实数a,b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0
5(★★★) 若2x−5−x≤2−y−5y，则有( )
A．x+y≥0B．x+y≤0C．x−y≤0D．x−y≥0
【题型三】指数函数的性质及应用
角度1 比较指数式的大小
【典题1】 设y1=40.9,y2=80.48,y3=12−1.5，则( )
A．y3>y1>y2B．y2>y1>y3C．y1>y2>y3D．y1>y3>y2
【典题2】已知a=0.72.1，b=0.72.5．c=2.10.7，则这三个数的大小关系为( )
A．b
【典题1】方程4x+1−3×2x+2－16=0的解是 ．
【典题2】 解不等式：a2x+1
角度3 指数型函数综合问题
【典题1】已知定义在R上的函数y=f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有f(x+1)=1f(x)；
②函数y=f(x)是偶函数；③当x∈(0,1]时，fx=x+ex，则f(−32)，f(214)，f(223)从小到大的排列是 .
【典题2】若ea+πb≥e−b+π−a，则有( )
A．a+b≤0B．a−b≥0C．a−b≤0D．a+b≥0
【典题3】 已知函数f(x)=ax，g(x)=a2x+m，其中m>0，a>0且a≠1．当x∈[−1,1]时，y=f(x)的最大值与最小值之和为52．
(1)求a的值；
(2)若a>1，记函数ℎx=gx−2mf(x)，求当x∈[0,1]时，ℎ(x)的最小值H(m)．
【典题4】 已知函数fx=9x−3x+1+c(其中c是常数)．
(1)若当x∈[0,1]时，恒有f(x)<0成立，求实数c的取值范围；
(2)若存在x0∈[0,1]，使f(x0)<0成立，求实数c的取值范围；
(3)若方程f(x)=c∙3x在[0,1]上有唯一实数解，求实数c的取值范围.
【典题5】 已知定义在(−1,1)上的奇函数f(x)．在x∈(−1,0)时，fx=2x+2−x．
(1)试求f(x)的表达式；
(2)若对于x∈(0,1)上的每一个值，不等式t·2x·fx<4x−1恒成立，求实数t的取值范围．
巩固练习
1(★) 设a=0.60.4,b=0.40.6,c=0.40.4，则a,b,c的大小关系为( )
A．a
A．b<2b−a B．b>2b−a C．a
3(★★) 设a>0,b>0，下列命题中正确的是( )
A．若2a+2a=2b+3b，则a>bB．若2a+2a=2b+3b，则a
5(★★) 若方程14x+12x−1+a=0有正数解，则实数a的取值范围是 .
6(★★★) 已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[−2,1]上的值域为[m,4]，且函数g(x)=3m−1x在(0,+∞)上是减函数，则m+a= ．
7(★★★) 设不等式4x−m(4x+2x+1)≥0对于任意的x∈[0,1]恒成立，则实数m的取值范围是 ．
8(★★★)已知fx=a−23x+1(a∈R)：
(1)证明f(x)是R上的增函数；
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由．
9(★★★)设函数fx=ax−a−x(a>0且a≠1)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(1)<0，试判断函数f(x)的单调性．并求使不等式f(x2+tx)+f(4−x)<0对一切x∈R恒成立的t的取值范围；
(3)若f(1)=32，gx=a2x+a−2x−2mf(x)且g(x)在[1,+∞)上的最小值为−2，求m的值．
10 (★★★) 已知函数fx=a∙4x−2x+1+a+3.
(1)若a=0，解方程f2x=−5；
(2)若a=1，求f(x)的单调区间；
(3)若存在实数x0∈[−1,1]，使fx0=4，求实数a的取值范围.
函数名称
指数函数
定义
函数 y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数
图象
a>1
0
R
值域
(0,+∞)
过定点
图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
a变化对图
象的影响
在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．
指数函数
1 指数运算
(1) n次方根与分数指数幂
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N∗.
式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.
注意：(1) (na)n=a (2)当n是奇数时，nan=a，当n是偶数时，nan=a=a,a≥0−a,a<0.
(2) 正数的正分数指数幂的意义
① 正数的正分数指数幂的意义，规定：amn=nam(a>0,m,n∈N∗,且n>1)
巧记“子内母外”(根号内的m作分子，根号外的n作为分母)
Eg x=x12，3x5=x53.
② 正数的正分数指数幂的意义：a−mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N∗,且n>1)
③ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
(3) 实数指数幂的运算性质
① as∙ar=ar+s (a>0,r,s∈R)
② asr=ars (a>0,r,s∈R)
③ (ab)r=arbr (a>0,r∈R)
2 指数函数概念
一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
3 图像与性质
【题型一】指数幂的化简与求值
【典题1】 求值(279)12−23−π0－21027−13+0.125−23+3∙343.
【解析】原式=25912−1−(6427)−13+(18)−23+312∙3432
=53−1−(2764)13+2−3−23+32∙1432
=23−34+4+98
=12124.
【点拨】一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.
【典题2】已知x12−x−12=5，则x2+1x2的值为______.
【解析】由x12−x−12=5，两边平方得x−2+x−1=5，则x+1x=7，
所以x+1x2=49⇒x2+1x2+2=49⇒x2+1x2=47.
【点拨】注意x12−x−12，x+1x，x2+1x2之间平方的关系.
【典题3】化简11+62+11−62=________.
【解析】11+62+11−62
=3+22+3−22
=3+2+3−2
=6.
【点拨】化简形如a+bm的式子，利用完全平方数处理.
巩固练习
1(★) 化简3aa÷a76(a>0)= .
【答案】 a−23
【解析】原式=a12÷a76=a12−76=a−23．
2(★★) 如果45x=3，45y=5，那么2x+y= ．
【答案】 1
【解析】由45x=3，得45x2=9,45y=5，
则452x×45y=9×5=45=1．
∴452x+y=45． ∴2x+y=1
故答案为1．
3(★★) 已知a+1a=7，则a12+a−12= ．
【答案】 3
【解析】由a+1a=7，可得a>0，a12+a−12>0，
∴a12+a−12=(a12+a−12)2=7+2=3．
故选：A．
4(★★) (214)12−(−2)0−(278)−23+(32)−2= ．
【答案】 12
【解析】 (214)12−(−2)0−(278)−23+(32)−2=[(32)2]12−1−[(32)3]−23+(23)2
=32−1−49+49=12．
5(★★) 求值7+43+7−43= ．
【答案】4
【解析】7+43+7−43=2+32+2−32=2+3+2−3=4.
6(★★★) 已知实数x,y满足3x+3y=9x+9y，则27x+27y3x+3y的取值范围是 .
【答案】1,98
【解析】设3x+3y=t≥23x+y，∴3x+y≤t24，
又3x+3y=9x+9y=(3x+3y)2－2×3x+y，
∴3x+y=t2−t2>0，∴t>1；
∴t2−t2≤t24即t2－2t≤0，解得0≤t≤2；
∴1
27x+27y3x+3y=(3x+3y)(9x−3x+y+9y)3x+3y=9x−3x+y+9y=3x+3y－3x+y
=t−t2−t2=−12t2+32t=−12t−322+98，
∴t=32时，27x+27y3x+3y的最大值为98；t=1时27x+27y3x+3y的最小值为1；
所以27x+27y3x+3y的取值范围是(1,98]．
故答案为：(1,98]．
7(★★★) 已知2a=3b=6，则a,b不可能满足的关系是( )
A．a+b=abB．a+b>4
C．a−12+b−12<2D．a2+b2>8
【答案】C
【解析】∵2a=3b=6，∴2ab=6b,3ba=6a，
∴2ab=6b，3ba=6a，
∴2ab•3ba=6b•6a，
∴6ab=6a+b，
∴ab=a+b，则有ab=a+b≥2ab，
∵a≠b，∴ab>2ab，
∴a+b=ab>4，
∴a－12+b－12=a2+b2－2(a+b)+2>2ab－2(a+b)+2>2，
∵a2+b2>2ab>8，故C错误
故选：C．
【题型二】指数函数的图象及应用
【典题1】函数y=21−x的图象大致是( )
A． B． C． D．
【解析】
方法1 函数y=21−x=&2x−1,x>1&21−x,x≤1，
(利用x=x,x≥0−x,x<0去掉绝对值把函数变成分段函数)
∴当x>1时，y=2x−1是增函数，当x≤1时，y=21−x的减函数，
且x=1时，y=1，即图象过(1,1)点；
∴符合条件的图象是A．
故选：A．
方法2 利用函数的图象变换
去掉y轴左侧图象作关于y轴右侧对称 右移1个单位
故选：A．
【典题2】设函数f(x)=|2x−1|，c
【解析】 f(x)=|2x−1|的图象可看成fx=2x向下平移一个单位，再把x轴下方的图象做翻转得到，其图象如下图所示，
由图可知，要使c
则有c<0且a>0，
故必有2c<1且2a>1，
又fc−f(a)>0，即为1−2c−(2a−1)>0，
∴2a+2c<2．
【点拨】涉及指数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有：
① 利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；
② 利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.
巩固练习
1(★) 二次函数y=−x2−4x(x>−2)与指数函数y=(12)x的交点个数有( )
A．3个 B．2个C．1个 D．0个
【答案】 C
【解析】因为二次函数y=－x2－4x=－x+22+4(x>－2)，
且x=－1时，y=－x2－4x=3，y=(12)x=2，
则在坐标系中画出y=－x2－4x(x>－2)与y=(12)x的图象：
由图可得，两个函数图象的交点个数是1个，
故选C．
2(★★) 若函数y=ax+m−1(0
【答案】D
【解析】0
∴m(m－1)≤0，0≤m≤1，
综上，实数m的取值范围是[0,1)．
故选：D．
3(★★) 如图所示，函数y=|2x−2|的图象是( )
A．B．C．D．
【答案】 B
【解析】∵y=|2x－2|=&2x−2,x≥1&2−2x,x<1，∴x=1时，y=0,x≠1时，y>0．故选B．
4(★★) 已知实数a,b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0
【答案】 B
【解析】令f(x)=2x和g(x)=3x，2a=3b即f(a)=g(b)，如图所示
由图象可知①②⑤正确，故选B．
5(★★★) 若2x−5−x≤2−y−5y，则有( )
A．x+y≥0B．x+y≤0C．x−y≤0D．x−y≥0
【答案】B
【解析】构造函数f(x)=2x－5−x，易得函数f(x)单调递增，
由2x－5−x≤2−y－5y，可得f(x)≤f(－y)
∴x≤－y⇒x+y≤0，
故选：B．
【题型三】指数函数的性质及应用
角度1 比较指数式的大小
【典题1】 设y1=40.9,y2=80.48,y3=12−1.5，则( )
A．y3>y1>y2B．y2>y1>y3C．y1>y2>y3D．y1>y3>y2
【解析】利用幂的运算性质可得，
y1=40.9=21.8，y2=80.48=21.44，y3=12﹣1.5=21.5，
再由y=2x是增函数，知y1>y3>y2．
故选：D．
【典题2】已知a=0.72.1，b=0.72.5．c=2.10.7，则这三个数的大小关系为( )
A．b
∵2.1<2.5，∴0.72.1>0.72.5，即a>b．
又∵c=2.10.7>2.10=1，a=0.72.1<0.70=1，
∴c
【点拨】比较指数式的大小，主要是利用指数函数的单调性，具体方法有
① 把指数幂化为同底，再利用指数函数的单调性比较大小；
② 若不能化为同底，可对指数幂进行估值，一般可以与0，1比较大小；
③ 利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.
角度2 求解指数型不等式和方程
【典题1】方程4x+1−3×2x+2－16=0的解是 ．
【解析】 4x+1−3×2x+2−16=0，即为4×2x2−12×2x−16=0
令t=2x>0
则有4t2−12t−16=0，解得t=4,t=−1(舍)
所以2x=4，x=2
故答案为x=2．
【点拨】利用换元法，要注意幂的底数之间的关系，同时换元后t=2x>0是容易忽略的.
【典题2】 解不等式：a2x+1
【解析】 ∵ax+2+ax−2=a2+1a2ax,
令t=ax
原不等式变形得t2−a2+1a2t+1<0，
即(t−a2)(t−1a2)<0，(注意因式分解)
(1)当a2<1a2，即0
综上，当a≠1时，−2
① 求解指数型不等式，特别要注意底数大于1还是小于1再利用对应指数函数的单调性求解；本题还要注意a=1；
② 本题利用了换元法，题目不等式为含涉及含参的一元二次不等式的求解，对a2，1a2的大小比较是关键.
角度3 指数型函数综合问题
【典题1】已知定义在R上的函数y=f(x)满足：①对于任意的x∈R，都有f(x+1)=1f(x)；
②函数y=f(x)是偶函数；③当x∈(0,1]时，fx=x+ex，则f(−32)，f(214)，f(223)从小到大的排列是 .
【解析】由题意f(x+1)=1fx=f(x−1)，故函数y=f(x)为周期为2的函数；
f(−32)=f(12)；f(223)=f(8−23)=f(−23)=f(23)；f(214)=f(6−34)=f(34)；
(把自变量数值向(0,1]靠拢)
∵当x∈(0,1]时，fx=x+ex是增函数，
故f(12)
【典题2】若ea+πb≥e−b+π−a，则有( )
A．a+b≤0B．a−b≥0C．a−b≤0D．a+b≥0
【解析】解法一：取特殊值排除法
取a=0，b=1得1+π≥1e+1，满足题意，排除A,B；
取a=1，b=0得e+1≥1+1π，满足题意，排除C；
故选：D．
法二：构造函数利用单调性
令f(x)=ex−π−x，则f(x)是增函数，
∵ea+πb≥e−b+π−a⇒ea−π−a≥e−b−πb，
∴f(a)≥f(−b)，即a+b≥0．
故选：D．
【点拨】
① 做选择题，利用“取特殊值排除法”是较快的一种方法，一般取数都是利于计算的；
② 遇到类似这样的题目，不等式ea+πb≥e−b+π−a的两边形式较为“一致”，一般都采取构造函数的方法处理，把不等式ea+πb≥e−b+π−a变形成ea−π−a≥e−b−πb，就较容易联想到构造函数f(x)=ex−π−x；
③ 判断函数的单调性，可以采取“性质法”：增+增=增，减+减=减.
【典题3】 已知函数f(x)=ax，g(x)=a2x+m，其中m>0，a>0且a≠1．当x∈[−1,1]时，y=f(x)的最大值与最小值之和为52．
(1)求a的值；
(2)若a>1，记函数ℎx=gx−2mf(x)，求当x∈[0,1]时，ℎ(x)的最小值H(m)．
【解析】(1)∵f(x)在[－1,1]上为单调函数，
f(x)的最大值与最小值之和为a+a−1=52，
∴a=2或12．
(2) ∵a>1 ∴a=2
则ℎx=22x+m−2m×2x，
令t=2x，
∵x∈[0,1]时，∴t∈[1,2]，
ℎx=t2−2mt+m，对称轴为t=m (二次函数动轴定区间最值问题)
当0
当m>2时，Hm=ℎ2=−3m+4．
综上所述，H(m)=−m+1,(0
【点拨】本题第二问最后把问题转化为“二次函数在闭区间上的最值问题”中的“动轴定区间”，对对称轴t=m在区间[1,2] “左、中、右”进行分类讨论.
【典题4】 已知函数fx=9x−3x+1+c(其中c是常数)．
(1)若当x∈[0,1]时，恒有f(x)<0成立，求实数c的取值范围；
(2)若存在x0∈[0,1]，使f(x0)<0成立，求实数c的取值范围；
(3)若方程f(x)=c∙3x在[0,1]上有唯一实数解，求实数c的取值范围.
思路痕迹
(1) 恒成立问题可转化为求函数y=f(x)的最大值，见到9x，3x+1可以考虑换元法，则函数可变成二次函数的最值问题：
(2) 该问是存在性问题，可转化为求函数y=f(x)的最小值.
(3) 该问转化为方程t2－(3+c)t+c=0在[1,3]上有唯一实数解，属于二次方程根的分布问题.
【解析】(1)fx=9x−3x+1+c=3x2−3×3x+c，
令3x=t，当x∈[0,1]时，t∈1,3， (利用换元法要注意新变量的求值范围)
问题转化为当t∈[1,3]时，gt=t2−3t+c<0恒成立，
于是只需g(t)在[1,3]上的最大值g(3)<0，
即9−9+c<0，解得c<0．
∴实数c的取值范围是(−∞,0)；
(2)若存在x0∈[0,1]，使f(x0)<0，
则存在t∈[1,3]，使gt=t2−3t+c<0．
于是只需g(t)在[1,3]上的最小值g32=322−3∙32+c<0，解得c<94；
∴实数c的取值范围是(−∞，94)；
(3)若方程f(x)=c∙3x在[0,1]上有唯一实数解，
则方程t2−(3+c)t+c=0在[1,3]上有唯一实数解，(一元二次方程根的分布问题)
因△=3+c2−4c=c2+2c+9=c+12+8>0，
故t2−(3+c)t+c=0在[1,3]上不可能有两个相等的实数解，
令ℎt=t2−(3+c)t+c．
则ℎ1ℎ3≤0，所以−2∙−2c≤0，解得c≤0．
∴实数c的取值范围是(−∞,0]．
【点拨】 利用换元法把问题转化为二次函数问题；恒成立、能成立问题最终转化为最值问题，注意函数单调性.
【典题5】 已知定义在(−1,1)上的奇函数f(x)．在x∈(−1,0)时，fx=2x+2−x．
(1)试求f(x)的表达式；
(2)若对于x∈(0,1)上的每一个值，不等式t·2x·fx<4x−1恒成立，求实数t的取值范围．
【解析】(1)∵f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，∴f0=0，
设x∈(0,1)，则−x∈(−1,0)，
则fx=−f−x=−(2x+2−x)，
故fx=2x+2−x0−2x−2−x x∈(−1,0)x=0x∈(0,1)
(2)由题意，t·2x·fx<4x−1可化为t·2x·(−2x−2−x)<4x−1
化简可得t>−4x+14x+1，
(此处恒成立问题用到“分离参数法”转化为最值问题)
令gx=−4x+14x+1=−1+24x+1， (分离常数法)
易得gx在(0,1)上递减，
∴gx
【点拨】
① 恒成立问题可转化为最值问题，其中手段常见分离参数法、直接构造函数法、数形结合法、变换主元法等；
② 判断形如y=a∙fx+bm∙fx+n函数的单调性，可用分离常数法；比如y=−x+12x+1，y=2x2−3x2+1，y=2x−1+12x+1等.
巩固练习
1(★) 设a=0.60.4,b=0.40.6,c=0.40.4，则a,b,c的大小关系为( )
A．a
【解析】∵a=0.60.4，c=0.40.4，由幂函数y=x0.4的性质可得a>c，
b=0.40.6，c=0.40.4，由指数函数y=0.4x的性质可得b
2(★★) 已知实数a，b满足12>12a>22b>14，则( )
A．b<2b−a B．b>2b−a C．a
【答案】B
【解析】由12>12a，得a>1，
由12a >22b，得(22)2a>(22)b，得2a
由2a
b>2b−a，排除A；
取a=1110,b=3910得，b−a=3910−1110=145，有a
3(★★) 设a>0,b>0，下列命题中正确的是( )
A．若2a+2a=2b+3b，则a>bB．若2a+2a=2b+3b，则a
【解析】∵a≤b时，2a+2a≤2b+2b<2b+3b，
∴若2a+2a=2b+3b，则a>b，故A正确，B错误；
对于2a﹣2a=2b﹣3b，若a≥b成立，则必有2a≥2b，故必有2a≥3b，即有a≥32b，而不是a>b排除C，也不是a
4(★★) 方程4x+1−3×2x+2−16=0的解是 .
【答案】 x=2
【解析】4x+1－3•2x+2－16=0即为4•2x2－12•2x－16=0
令2x=t 则有4t2－12t－16=0，解得t=4,t=－1(舍)
所以2x=4,x=2
故答案为x=2．
5(★★) 若方程14x+12x−1+a=0有正数解，则实数a的取值范围是 .
【答案】(−3,0)
【解析】设t=12x ，则有：a=－[122x+212x]=－t2－2t=－t+12+1．
原方程有正数解x>0，则0
又因为a=－t+12+1．
所以当0
即－3<－t+12+1<0，
即得：－3
6(★★★) 已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[−2,1]上的值域为[m,4]，且函数g(x)=3m−1x在(0,+∞)上是减函数，则m+a= ．
【答案】 1
【解析】当a>1时，函数f(x)=ax在[－2,1]上的值域为[m,4]，
∴a=4，m=116，
函数g(x)=3m−1x=−1316x在(0,+∞)上是增函数，不满足题意；
当0
函数g(x)=3m−1x=12x在(0,+∞)上是减函数，满足题意；
综上知m+a=1．
故答案为：1．
7(★★★) 设不等式4x−m(4x+2x+1)≥0对于任意的x∈[0,1]恒成立，则实数m的取值范围是 ．
【答案】(−∞,13]
【解析】由4x－m(4x+2x+1)≥0，得m(4x+2x+1)≤4x，
即m≤4x4x+2x+1=11+12x+14x，
∵x∈[0,1]，∴12x∈[12,1]，
则(12x)2+12x+1=(12x+12)2+34∈[74,3]，
∴11+12x+14x∈[13,47]，则m≤13．
8(★★★)已知fx=a−23x+1(a∈R)：
(1)证明f(x)是R上的增函数；
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由．
【答案】 (1) 略，提示：定义法 (2) a=1
【解析】(1)证明：对任意x∈R都有3x+1≠0,∴f(x)的定义域是R，
设x1，x2∈R且x1
(2)解：若存在实数a使函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0⇒a=1
下面证明a=1时f(x)=1−23x+1是奇函数
∵f(−x)=1−23−x+1=1−2⋅3x1+3x=1−2(3x+1)−21+3x=−1+21+3x=−f(x)
∴f(x)为R上的奇函数
∴存在实数a=1，使函数f(x)为R上的奇函数．
9(★★★)设函数fx=ax−a−x(a>0且a≠1)．
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(1)<0，试判断函数f(x)的单调性．并求使不等式f(x2+tx)+f(4−x)<0对一切x∈R恒成立的t的取值范围；
(3)若f(1)=32，gx=a2x+a−2x−2mf(x)且g(x)在[1,+∞)上的最小值为−2，求m的值．
【答案】 (1) 奇函数 2−3
∴f(x)为奇函数．
(2) f(x)=ax－a－x (a>0且a≠1)．
∵f(1)<0，∴a－1a<0，
又a>0，且a≠1，
∴0
不等式化为f(x2+tx)
∴△=t－12－16<0，
解得－3
解得a=2或a=－12(舍去)，
∴g(x)=a2x+a−2x－2mf(x)=2x－2−x2－2m(2x－2−x)+2，
令t=f(x)=2x－2−x，由(1)可知f(x)=2x－2−x为增函数，
∵x≥1，∴t≥f(1)=32，
令ℎt=t2−2mt+2=t−m2+2−m2 (t≥32)，
若m≥32，当t=m时，ℎtmin=2−m2=−2，∴m=2；
若m<32时，当t=32时，ℎtmin=－2，解得m=2512>32，无解；
综上，m=2
10 (★★★) 已知函数fx=a∙4x−2x+1+a+3.
(1)若a=0，解方程f2x=−5；
(2)若a=1，求f(x)的单调区间；
(3)若存在实数x0∈[−1,1]，使fx0=4，求实数a的取值范围.
【答案】 1 x=1 (2) 单调增区间是[0,+∞)，单调减区间是(−∞,0]
(3){a|1≤a≤1+52}
【解析】⑴若, 由，即，解得x=1
⑵若,则，设，且，
当时,有，，
,在上是增函数;
当时,有，，
,在上是减函数
的单调增区间是[0,+∞)，单调减区间是(−∞,0]
= 3 \* GB2 ⑶设,由,得,且
存在,使得,即
令,若,则函数的对称轴是
由已知得:方程在上有实数解,
,或
由不等式得:
由不等式组得:
所以,实数的取值范围是{a|1≤a≤1+52} 函数名称
指数函数
定义
函数 y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数
图象
a>1
0
R
值域
(0,+∞)
过定点
图象过定点(0,1)，即当x=0时，y=1．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
a变化对图
象的影响
在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．
相关学案
2024年高中数学(必修第一册)3.3函数的奇偶性精品讲义(学生版+解析)：
这是一份2024年高中数学(必修第一册)3.3函数的奇偶性精品讲义(学生版+解析)，共16页。
2024年高中数学(必修第一册)3.2函数的单调性精品讲义(学生版+解析)：
这是一份2024年高中数学(必修第一册)3.2函数的单调性精品讲义(学生版+解析)，共22页。
2024年高中数学(必修第一册)1.2集合间的关系精品讲义(学生版+解析)：
这是一份2024年高中数学(必修第一册)1.2集合间的关系精品讲义(学生版+解析)，共10页。
