2024年高中数学(必修第一册)3.5.3函数的周期性和对称性精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)3.5.3函数的周期性和对称性精品讲义(学生版+解析)，共14页。学案主要包含了函数的周期性，函数的对称性，取特殊值排除法等内容，欢迎下载使用。

一 函数的周期性
1 概念
对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.
Eg：
上图是三角函数fx=sinx的图像
① 函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；
② 红色图像的水平长度为AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即T=2π；
(思考：4π是周期么)
③ 整个函数，对于任何x，都有f(x+2π)=f(x).
(简单说来，两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等)
下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？

2 常见的结论
① 若f(x+a)=f(x+b) ，则y=f(x)的周期是T=a−b.
② 若f(x+a)=−f(x) ，则y=f(x)的周期是T=2a；(你可证明试试)
③ 若fx+a=1fx，则y=f(x)的周期是T=2a.
二 函数的对称性
1 函数图象自身的对称关系
① 轴对称：若f(x+a)=f(b−x) , 则y=f(x)有对称轴x=a+b2.
② 中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件 f(a+x)+f(b−x)=c(a , b , c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2 , c2)对称.
2 两个函数图象之间的对称关系
① 轴对称
若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(x+a)与 y=f(b−x)的图象关于直线x=b−a2对称.
特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(a−x)的图象关于直x=0对称.
② 中心对称
若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(a+x)与y=c−f(b−x)的图象关于点(b−a2 , c2)对称.
特殊地，函数y=f(x+a)与函数y=−f(b−x)图象关于点(b−a2 , 0)对称.
3 周期性与对称性拓展
① 若函数y=f(x)同时关于直线x=a , x=b对称，则函数y=f(x)的周期 T=2|b−a|；特殊地，若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期 T=2a；
② 若函数y=f(x)同时关于点a , 0 , (b , 0)对称，则函数y=f(x)的周期 T=2|b−a|；
③ 若函数y=fx同时关于直线x=a 对称，又关于点b , 0对称 , 则函数y=f(x)的周期
T=4|b−a|；
特殊地，若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期 T=4|a|.
【题型一】函数的周期性
【典题1】 设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(−92)=
【典题2】 设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=−1f(x)，且当x∈[−3 ,−2]时，f(x)=4x，则f(107.5)= ．
巩固练习
1(★★) 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足fx+4=−f(x)，且在[0 , 2]上单调递减，则( )
A．f(8)C．f(15)2(★★) 已知f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈[−1 , 1]时，f(x)=|x|，那么当x∈[−7 , −5]时，f(x)= .
3(★★★)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足fx+1=−f(x−1)，若f−1>1，f5=a2−2a−4，则实数a的取值范围是 .

【题型二】函数图象自身的对称关系
【典题1】定义在R上的函数f(x)的图象关于点(−34，0)成中心对称且对任意的实数x都有fx=−f(x+32)且f−1=1 , f0=−2，则f(1)+f(2)+…+f(2014)= .
【典题2】已知函数f(x)=2x2x2−4x+8，则( )
A．函数f(x)的图象关于x=2对称 B．函数f(x)的图象关于x=4对称
C．函数f(x)的图象关于(2 , 2)对称 D．函数f(x)的图象关于(4 , 4)对称
【题型三】两个函数图象之间的对称关系
【典题1】下列函数中，其图象与函数y=lgx的图象关于点(1 , 0)对称的是( )
A．y=lg(1−x)B．y=lg(2−x)
C．y=lg0.1(1−x)D．y=lg0.1(2−x)
【典题2】 下列函数中，其图象与函数y=2x的图象关于直线y=1对称的是 .
巩固练习
1(★★) 已知函数f(x)=ax+2x−6的对称中心为(b , 1)，则a= ；b= ．
2(★★) 【多选题】函数f(x)的图象关于直线x=1对称，那么( )
A．f (2−x)=f (x) B．f (1−x)=f (1+x)
C．函数y=f (x+1)是偶函数 D．函数y=f (x−1)是偶函数
3(★★★) 已知函数f(x)=lnx+ln(a−x)的图象关于直线x=1对称，则函数f(1)的值为( )
A．0B．1C．lnaD．−1
4(★★★) 已知函数f(x)=lnx4−x，则( )
A．y=f(x)的图象关于点(2 , 0)对称 B．y=f(x)的图象关于直线x=2对称
C．f(x)在(0 , 4)上单调递减 D．f(x)在(0 , 2)上单调递减，在(2 , 4)上单调递增
5(★★) 同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1与y=21−x的图象( )
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称
6 (★★★) 【多选题】已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件fx+2=−f(x)，且函数y=f(x−1)为奇函数，则( )
A．函数y=f(x)是周期函数 B．函数y=f(x)的图象关于点(−1 , 0)对称
C．函数y=f(x)为R上的偶函数 D．函数y=f(x)为R上的单调函数
函数的周期性和对称性
一 函数的周期性
1 概念
对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么把函数y=f(x)叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期.
Eg：
上图是三角函数fx=sinx的图像
① 函数图像可看成由红色那段图像玩“分身术”的向两边延申；
② 红色图像的水平长度为AB=2π，它就是函数的最小正周期T，即T=2π；
(思考：4π是周期么)
③ 整个函数，对于任何x，都有f(x+2π)=f(x).
(简单说来，两个自变量相差2π，它们对应的函数值均相等)
下面两个图像也是周期函数的图像！他们的周期是什么？最小正周期呢？

2 常见的结论
① 若f(x+a)=f(x+b) ，则y=f(x)的周期是T=a−b.
② 若f(x+a)=−f(x) ，则y=f(x)的周期是T=2a；(你可证明试试)
③ 若fx+a=1fx，则y=f(x)的周期是T=2a.
二 函数的对称性
1 函数图象自身的对称关系
① 轴对称：若f(x+a)=f(b−x) , 则y=f(x)有对称轴x=a+b2.
② 中心对称：若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件 f(a+x)+f(b−x)=c(a , b , c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2 , c2)对称.
2 两个函数图象之间的对称关系
① 轴对称
若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(x+a)与 y=f(b−x)的图象关于直线x=b−a2对称.
特殊地，函数y=f(a+x)与函数y=f(a−x)的图象关于直x=0对称.
② 中心对称
若函数y=f(x)定义域为R，则两函数y=f(a+x)与y=c−f(b−x)的图象关于点(b−a2 , c2)对称.
特殊地，函数y=f(x+a)与函数y=−f(b−x)图象关于点(b−a2 , 0)对称.
3 周期性与对称性拓展
① 若函数y=f(x)同时关于直线x=a , x=b对称，则函数y=f(x)的周期 T=2|b−a|；特殊地，若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期 T=2a；
② 若函数y=f(x)同时关于点a , 0 , (b , 0)对称，则函数y=f(x)的周期 T=2|b−a|；
③ 若函数y=fx同时关于直线x=a 对称，又关于点b , 0对称 , 则函数y=f(x)的周期
T=4|b−a|；
特殊地，若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则函数y=f(x)的周期 T=4|a|.
【题型一】函数的周期性
【典题1】 设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，则f(−92)=
【解析】∵f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=x(1+x)，
∴f−92=f−92+4=f−12=−f(12)=−12(1+12)=−34.
【典题2】 设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+3)=−1f(x)，且当x∈[−3 ,−2]时，
f(x)=4x，则f(107.5)= ．
【解析】∵f(x+3)=−1f(x)，
∴f(x+6)=−1f(x+3)=−1−1f(x)=f(x) ，
∴函数f(x)是以6为周期的函数．
∵当x∈[－3 , －2]时，f(x)=4x，
∴f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=−1f(2.5)=−1f(−2.5) =−14×(−2.5)=110．
故答案为：110．
【点拨】
① 在求值过程中，比如本题中求f(107.5)，先用函数周期性把107.5这个数值变小些，尽量向[－3 , －2]靠拢.
② 函数综合性的题型，可用数形结合的方法找到思考的方向.
巩固练习
1(★★) 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足fx+4=−f(x)，且在[0 , 2]上单调递减，则( )
A．f(8)C．f(15)【答案】 B
【解析】∵f(x)为R上的奇函数，且满足f(x+4)=－f(x)，
∴f(x)是以8为周期的函数，
∴f(8)=f(0)，
f(11)=f(3)=－f(－1)=f(1)，
f(15)=f(7)=f(－1)，
又f(x)在区间[0，2]上单调递减，
∴f(－1)>f(0)>f(1)，即f(15)>f(8)>f(11)．
故选：B．
2(★★) 已知f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈[−1 , 1]时，f(x)=|x|，那么当
x∈[−7 , −5]时，f(x)= .
【答案】 |x+6|
【解析】当x∈[－7，－5]时，x+6∈[－1，1]．
∴f(x)=f(x+6)=|x+6|，
故选：C．
3(★★★)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足fx+1=−f(x−1)，若f−1>1，
f5=a2−2a−4，则实数a的取值范围是 .
【答案】 (−1 , 3)
【解析】由f(x+1)=－f(x－1)，可得f(x+2)=－f(x)，
则f(x+4)=－f(x+2)=f(x)，故函数f(x)的周期为4，
则f(5)=f(1)=a2－2a－4，
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)>1，
∴f(1)＜－1．
∴a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3．
∴实数a的取值范围是(－1，3)．

【题型二】函数图象自身的对称关系
【典题1】定义在R上的函数f(x)的图象关于点(−34，0)成中心对称且对任意的实数x都有
fx=−f(x+32)且f−1=1 , f0=−2，则f(1)+f(2)+…+f(2014)= .
【解析】∵fx=−f(x+32)， ∴fx+32=−f(x) ,
则fx+3=−f(x+32)=f(x)
∴f(x)是周期为3的周期函数．(确定周期后，接着求前三项和f(1)+f(2)+f(3)便可)
则f2=f−1+3=f−1=1 , f12=−f−1=−1
∵函数f(x)的图象关于点(−34，0)成中心对称，∴f1=−f−52=−f(12)=1
∵f3=f0=−2 ∴f1+f2+f3=1+1−2=0
∴f(1)+f(2)+…+f(2014)=f(1)=1
【典题2】已知函数f(x)=2x2x2−4x+8，则( )
A．函数f(x)的图象关于x=2对称 B．函数f(x)的图象关于x=4对称
C．函数f(x)的图象关于(2 , 2)对称 D．函数f(x)的图象关于(4 , 4)对称
【解析】方法一 利用函数平移和奇偶性
对于A选项：若函数f(x)的图象关于x=2对称，则y=f(x+2)是偶函数，
而y=f(x+2)=2(x+2)2x2+4不是偶函数，∴A错误；
对于B选项，可以采取类似选项A的方法排除；
对于C选项：若函数f(x)的图象关于(2 , 2)对称，则则函数向左和向下均平移2个单位的函数关于原点对称，即y=f(x+2)－2是奇函数.
易得y=f(x+2)−2=2(x+2)2x2+4−2=8xx2+4是奇函数，∴C正确；
对于D选项：若函数f(x)的图象关于(4 , 4)对称，则函数向左和向下均平移4个单位的函数关于原点对称，即y=fx+4−4是奇函数.
而y=f(x+4)−4=2(x+4)2(x+2)2+4−4=−2x2(x+2)2+4不是奇函数，∴D错误．
故选C．
方法二 利用函数自身的轴对称和中心对称关系
利用函数自身的轴对称关系:若f(x+a)=f(b−x) , 则y=f(x)有对称轴x=a+b2.
对于A选项：若函数f(x)的图象关于x=2对称，则有f(4−x)=f(x)
而f4−x= 2(4−x)2(4−x)2−4(4−x)+8=2(4−x)2x2−4x+8≠2x2x2−4x+8=fx , ∴A错误；
对于B选项：若函数fx的图象关于x=4对称，则有f8−x=fx
而f8−x= 2(8−x)2(8−x)2−4(8−x)+8=2(8−x)2x2−12x+40≠2x2x2−4x+8=fx , ∴B错误；
利用函数自身的中心对称关系：
若f(a+x)+f(b−x)=c(a , b , c为常数),则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2 , c2)对称.
对于C选项：若函数f(x)的图象关于(2 , 2)对称，则f(x)+f(4−x)=4
易得fx+f4−x=2x2x2−4x+8+2(4−x)2x2−4x+8=4，∴C正确；
对于D选项：若函数f(x)的图象关于(4 , 4)对称，则f(x)+f(8−x)=8
而f(x)+f(8−x)= 2x2x2−4x+8+2(8−x)2x2−12x+40显然不恒等于8，∴D错误．
故选C．
方法三 取特殊值排除法
对于A选项：f0=0， f4≠0，故函数f(x)的图象不可能关于x=2对称，排除A；
对于B选项：f0=0，f8≠0，故函数f(x)的图象不可能关于x=4对称，排除B；
对于D选项：f0=0， f8=165≠8，故函数f(x)的图象不可能关于(4 , 4)对称，排除D；
故选C．
【点拨】
① 从三种方法来说，显然大家觉得方法三有种秒杀的感觉，很爽，从应试的角度来讲是这样子的.从提高数学能力的角度，还是需要好好领会下方法一、二；
② 方法一需要理解抽象函数的平移变换：左加右减，上加下减，它充分体现了数形结合的力量；
③ 方法一其实也是方法二的一种特殊情况的表现；
对于函数自身的轴对称和中心对称关系
(1) 轴对称:若f(x+a)=f(b−x) , 则y=f(x)有对称轴x=a+b2.
对于选项A，令a=b=2,有f(x+2)=f(2−x)，即证明f(x+2)是偶函数便可.
(2) 中心对称:若函数y=f(x)满足条件 f(a+x)+f(b−x)=c(a , b , c为常数)，则函数y=f(x)的图象关于点(a+b2 , c2)对称.
对于选项C，令a=b=2，c=4，有f2+x+f2−x=4⇒f2+x−2=2−f2−x,
即证明y=f2+x−2是奇函数.
【题型三】两个函数图象之间的对称关系
【典题1】下列函数中，其图象与函数y=lgx的图象关于点(1 , 0)对称的是( )
A．y=lg(1−x)B．y=lg(2−x)
C．y=lg0.1(1−x)D．y=lg0.1(2−x)
【解析】设所求函数图象上任意一点P(x , y)，
则P(x , y)关于(1 , 0)对称的点(2−x , −y)在y=lgx上，即−y=lg(2−x)，
所以y=−lg(2−x)=lg0.1(2−x)
故选：D．
【典题2】 下列函数中，其图象与函数y=2x的图象关于直线y=1对称的是 .
【解析】设P(x , y)为所求函数图象上的任意一点，
它关于直线y=1对称的点是Q(x , 2−y)．
由题意知点Q(x , 2−y)在函数y=2x的图象上，
则2−y=2x，即y=2−2x．
【点拨】这种涉及函数对称性、平移去求解析式的题，常用代入法.
巩固练习
1(★★) 已知函数f(x)=ax+2x−6的对称中心为(b , 1)，则a= ；b= ．
【答案】 1，6
【解析】∵f(x)=ax+2x−6=a(x−6)+6a+2x−6=a+6a+2x−6，
结合反比例函数的性质及函数的图象平移可知，函数f(x)的对称中心为(6，a)
∵f(x)的对称中心为(b，1)，∴b=6a=1
故答案为：1，6
2(★★) 【多选题】函数f(x)的图象关于直线x=1对称，那么( )
A．f (2−x)=f (x) B．f (1−x)=f (1+x)
C．函数y=f (x+1)是偶函数 D．函数y=f (x−1)是偶函数
【答案】 ABC
【解析】由f(x)的图象关于x=1对称可知，f(2－x)=f(x)，f(1－x)=f(1+x)，
把函数f(x)的图象向左平移1个单位可得y=f(x+1)的图象，关于x=0对称，即为偶函数，把函数f(x)的图象向右平移1个单位可得y=f(x－1)的图象，关于x=2对称，
故选：ABC．
3(★★★) 已知函数f(x)=lnx+ln(a−x)的图象关于直线x=1对称，则函数f(1)的值为( )
A．0B．1C．lnaD．−1
【答案】 A
【解析】函数f(x)=lnx+ln(a−x)的图象关于直线x=1对称，
可得f(x)=f(2－x)，
即lnx+ln(a－x)=ln(2－x)+ln(a－2+x)，
即有lnx(a－x)=ln(2−x)(a−2+x)，
可得x(a−x)=(2−x)(a−2+x)，
即ax−x2=2a−2+4−ax−x2，
可得2(a－2)=0，且a=4−a，解得a=2，
可得f(x)=lnx+ln(2－x)，
则f(1)=2ln1=0．故选：A．
4(★★★) 已知函数f(x)=lnx4−x，则( )
A．y=f(x)的图象关于点(2 , 0)对称 B．y=f(x)的图象关于直线x=2对称
C．f(x)在(0 , 4)上单调递减 D．f(x)在(0 , 2)上单调递减，在(2 , 4)上单调递增
【答案】 A
【解析】x4−x>0，则函数定义域为(0，4)，f(1)=ln13，f(3)=ln3，
即f(3)=－f(1)，有关于点(2，0)对称的可能，
进而推测f(x+2)为奇函数，关于原点对称，
f(x+2)=lnx+22−x，定义域为(－2，2)，奇函数且单调递增，
∴f(x)为f(x+2)向右平移两个单位得到，
则函数在(0，4)单调递增，关于点(2，0)对称，
故选：A．
5(★★) 同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1与y=21−x的图象( )
A．关于原点对称 B．关于x轴对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y=x对称
【答案】C
【解析】∵y=21−x=(12)x−1可看做由y=(12)x的图象右移1个单位，
而y=2x+1的图象可看做由y=2x的图象向左平移1个单位，
且y=2x与y=(12)x的图象关于y轴对称，
故函数y=2x+1与y=21−x的图象关于y轴对称．
故选：C．
6 (★★★) 【多选题】已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件fx+2=−f(x)，且函数y=f(x−1)为奇函数，则( )
A．函数y=f(x)是周期函数 B．函数y=f(x)的图象关于点(−1 , 0)对称
C．函数y=f(x)为R上的偶函数 D．函数y=f(x)为R上的单调函数
【答案】 ABC
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，函数y=f(x)满足fx+2=−f(x)，则fx+4=−f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，A正确；
对于B，y=f(x−1)是奇函数，则f(x−1)的图象关于原点对称，又由函数f(x)的图象是由y=f(x－1)向左平移1个单位长度得到，故函数f(x)的图象关于点(－1，0)对称，B正确；
对于C，由B可得：对于任意的x∈R，都有f−1−x=−f(−1+x)，
即f(－1－x)+f(－1+x)=0，变形可得f(－2－x)+f(x)=0，
则有f(－2－x)=－f(x)=f(x+2)对于任意的x∈R都成立，
令t=2+x，则f(－t)=f(t)，即函数f(x)是偶函数，C正确；
对于D，f(x)为偶函数，则其图象关于y轴对称，f(x)在R上不是单调函数，D错误；
故选：ABC．