2024年高中数学(必修第一册)4.3函数的应用精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)4.3函数的应用精品讲义(学生版+解析)，共27页。

2 增长快慢比较
V(ax)>V(xn)>V(lgax)，Vkx>V(lgax)
常见函数图象
3 函数的零点
① 函数零点的概念
对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.
② 方程根与函数零点的关系
方程fx=0 有实数根x0⇔函数y=fx有零点x0⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点，且交点横坐标为x0.
如 方程2x−4=0的实数根是x=2，
函数fx=2x−4与x轴的交点横坐标是2，
函数fx=2x−4的零点是2，而不是(2 , 0).
拓展
方程f(x)=g(x)有实数根x0⇔函数y=f(x)与函数y=g(x)有交点，且交点横坐标为x0.
解惑 若让你求解x2−2x=0?可能知道x=2，那是否只有一个实数根呢？
而方程x2−2x=0的实数根⇔函数fx=x2与函数gx=2x的交点横坐标
如图就较容易得到，方程x2−2x=0实数根有3个x1∈−1 , 0 , x2=2 , x3=4.
③求函数零点方法
(1) (代数法) 求方程f(x)=0的实数根.
(2) (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.
4函数零点定理
如果函数y=f(x)在[a , b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在(a , b)至少有一个零点c，即存在c∈(a , b)，使得fc=0，这个c也就是方程fx=0的解.
5二分法
① 二分法的概念
对于在区间[a , b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
② 用二分法求方程近似解的步骤
(1) 确定区间[a , b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；
(2) 求区间(a , b)的中点c;
(3) 计算f(c)，
(i) 若f(c)=0 , 则c就是函数的零点；
(ii) 若f(a)f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a , c))
(iii) 若f(c)f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c , b))
(4) 判断是否达到精确度ε：即若|a−b|<ε，则得到零点近似值为a(或b)；否则重复⑵~⑷
【题型一】不同函数模型的认识
【典题1】 惠州市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所示：
用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v=lg2t B．v=lg12t C．v=t2−12 D．v=2t−2

【典题2】 假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元．如表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2002年以来经过的年数．
(1)求函数P1=f(t)的解析式；
(2)求函数P2=g(t)的解析式；
(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种
【题型二】不同函数模型的应用
【典题1】 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．
(1)求森林面积的年增长率；
(2)到今年为止，森林面积为原来的2倍，则该地已经植树造林多少年？
(3)为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？
(参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771)
【典题2】 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅(6−12x+4)(万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0,5.1])．A公司生产t万件防护服还需投入成本(20+8x+50t)(万元)．
(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数；
(2)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01)．
巩固练习
1(★) 有一组实验数据如表：
则体现这些数据的最佳函数模型是( )
A．y=x12B．y=lg2xC．y=13⋅2xD．y=12x2
2(★) 设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则y=k∙0.9x(x∈N∗)，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃块数为( )(参考数据：1g3≈0.477)
A．9B．10C．11D．12
3(★★) 某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58．
(1)求a,b,c,p,q,r的值；(2)你认为谁选择的模型好．
4(★★) 某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y=lga(t−5)+83(a>0,且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
(1)试求p=f(t)的函数关系式；
(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．

5 (★★) 培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N,x(单位：天)时刻后水中含有物质N的量增加yml/L，y与x的函数关系可近似地表示为y=8−16x+2,0≤x≤612−x,6(1)若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？
(2)若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6ml/L，并说明理由．
【题型三】求函数的零点
【典题1】下列函数中，在(−1 , 1)内有零点且单调递增的是( )
A．y=lg13xB．y=3x−1C．y=x2−12D．y=−x3
【题型四】函数与方程的关系
【典题1】方程3x+4x=5x解的情况是( )
A.有且只有一个根2 B.不仅有根2还有其他根
C.有根2和另一个负根 D.有根2和另一个正根
【典题2】 若x1满足3x=2−x，x2满足lg3x+x−2=0，则x1+x2= .
【典题3】 已知函数f(x)=|lg2x| , x>0x2+4x+1 , x≤0，若函数Fx=fx−b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1【典题4】 已知偶函数f(x)满足f(3+x)=f(3−x)，且当x∈[0 , 3]时，fx=−x2+2x+1，若关于x的方程f2x−tf(x)－3=0在[−150 , 150]上有300个解，则实数t的取值范围是 .
巩固练习
1(★) 下列函数中，是偶函数且不存在零点的是( )
A．y=x2B．y=xC．y=lg2xD．y=−12x
2(★★) 函数f(x)=(12)|x|−x2的零点个数是 ．
3(★★) 若方程mx−x−m=0(m>0 , 且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是 ．
4(★★) 设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=lg12x−x+1，ℎ(x)=(12)x−x+1的零点，则a、b、c的大小关系为 ．
5(★★★) 已知函数f(x)=lg3x，函数ℎ(x)是最小正周期为2的偶函数，且当x∈[0 , 1]时，ℎx=3x−1．若函数y=k∙f(x)+ℎ(x)有3个零点，则实数k的取值范围是 ．
6(★★★) 已知函数f(x)=|5x−1| , x<18x+1 , x≥1，若方程f(f(x))=a恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为 ．
【题型五】函数零点定理
【典题1】 设函数f(x)=2xx+1+lnx满足f(a)f(b)f(c)<0(aA．x0∈(a , c)B．x0∈(a , b)C．x0∈(b , c)D．x0∈(c , +∞)
【典题2】 [x]表示不超过x的最大整数，例如3.5=3 ，－0.5=−1．已知x0是方程lnx+3x－15=0的根，则[x0]= ．
【题型六】二分法
【典题1】 用二分法求函数fx=lnx+1+x−1在区间[0 , 1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 ．
巩固练习
1(★) 设函数f(x)=ex+lnx，满足fafbfc<0 (a则下列选项中一定错误的是( )
A．x0∈(a , c)B．x0∈(a , b)C．x0∈(b , c)D．x0∈(c , +∞)
2(★★) [多选题]函数fx=x3+3x−2的一个正零点所在的区间不可能是( )
A．(3 , 4)B．(2 , 3)C．(1 , 2)D．(0 , 1)
3(★★) 已知函数f(x)=lg2x+x﹣b的零点在区间[0 , 1]上，则b的取值范围为 ．
4(★★) 若函数f(x)=x2+tx+1在区间(1 , 2)上有一个零点，则实数t的取值范围是 ．
一次函数
y=ax+b (a≠0)
二次函数
y=ax2+bx+ c (a≠0)
指数函数
y=ax(a>0且a≠1)
指数型函数
y=k∙ax (a>0且a≠1)
对数函数
y=lgax (a>0且a≠1)
对数型函数
y=k∙lgax (a>0且a≠1)
幂函数
y=xn (n∈ N∗)
幂函数型
y=k⋅xn (n∈ N∗)
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
40
P2/万元
20
40
x
2
3
4
5
6
y
1.40
2.56
5.31
11
21.30
函数的应用
1 函数模型
2 增长快慢比较
V(ax)>V(xn)>V(lgax)，Vkx>V(lgax)
常见函数图象
3 函数的零点
① 函数零点的概念
对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.
② 方程根与函数零点的关系
方程fx=0 有实数根x0
⇔函数y=fx有零点x0
⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点，且交点横坐标为x0.
如 方程2x−4=0的实数根是x=2，
函数fx=2x−4与x轴的交点横坐标是2，
函数fx=2x−4的零点是2，而不是(2 , 0).
拓展
方程f(x)=g(x)有实数根x0⇔函数y=f(x)与函数y=g(x)有交点，且交点横坐标为x0.
解惑 若让你求解x2−2x=0?可能知道x=2，那是否只有一个实数根呢？
而方程x2−2x=0的实数根⇔函数fx=x2与函数gx=2x的交点横坐标
如图就较容易得到，方程x2−2x=0实数根有3个x1∈−1 , 0 , x2=2 , x3=4.
③求函数零点方法
(1) (代数法) 求方程f(x)=0的实数根.
(2) (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.
4函数零点定理
如果函数y=f(x)在[a , b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在(a , b)至少有一个零点c，即存在c∈(a , b)，使得fc=0，这个c也就是方程fx=0的解.
5二分法
① 二分法的概念
对于在区间[a , b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
② 用二分法求方程近似解的步骤
(1) 确定区间[a , b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；
(2) 求区间(a , b)的中点c;
(3) 计算f(c)，
(i) 若f(c)=0 , 则c就是函数的零点；
(ii) 若f(a)f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a , c))
(iii) 若f(c)f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c , b))
(4) 判断是否达到精确度ε：即若|a−b|<ε，则得到零点近似值为a(或b)；否则重复⑵~⑷
【题型一】不同函数模型的认识
【典题1】 惠州市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所示：
用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )
A．v=lg2t B．v=lg12t C．v=t2−12 D．v=2t−2
【解析】方法1 由表可知：v是关于t的增函数；且增幅随t的增大而增大，故只有C满足要求．故选C．
方法2 作出散点图，如图，
由函数拟合可知只有C满足要求．故选C．
方法3 由表可知：v是关于t的增函数；故B不适合；
对于A：lg21.99≈2，lg23≈0.3，lg24=2；故A不接近；
对于C：1.992−12≈1.5，32−12=4，42−12=7.5，
5.12−12≈12.5，6.122−12≈18.2．故C接近；
对于D：2×1.99−2=1.98，2×3−2=4，2×4−2=6，2×5.1−2=8.2，
2×6.12－2=10.24，故D不接近．
故选C．
【点拨】
判断最佳函数模型，方法如下
① 根据数据的增减性和增幅，排除不符合的函数；
② 根据表格描点做出散点图，结合常见函数模型进行判断；
③ 代点法，把数值代入函数中，若数值偏离较远则排除.
【典题2】 假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元．如表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2002年以来经过的年数．
(1)求函数P1=f(t)的解析式；
(2)求函数P2=g(t)的解析式；
(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种
【解析】(1)由题意可设P1=f(t)=mt+n,(m≠0)，
∵当t=0时，P1=20；当t=10时，P1=40，
∴n=2010m+n=40，解得m=2n=20，
∴P1=f(t)=2t+20；
(2)由题意可设P2=g(t)=k∙at，
∵当t=0时，P2=20；当t=10时，P2=40，
∴k=20k∙a10=40，解得k=20a=2110，
∴P2=g(t)=20×2t10；
(3)表中数据如下：
在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示：
有图象可知，P1=f(t)=2t+20呈直线增长，增长速度较慢；P2=g(t)=20×2t10呈指数型增长，增长速度较快．
【点拨】求函数的解析式，当已知函数类型时用“待定系数法”.
【题型二】不同函数模型的应用
【典题1】 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．
(1)求森林面积的年增长率；
(2)到今年为止，森林面积为原来的2倍，则该地已经植树造林多少年？
(3)为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？
(参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771)
【解析】(1)设森林面积的年增长率为x，则a1+x10=2a，解得x=2110−1，
∴森林面积的年增长率为2110−1；
(2)设已经植树造林n年，则由题意可知a(1+x)n=2a，
∴a×2n10=2a，∴n=5，
∴已经植树造林5年；
(3)设为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林m年，则a1+xm≥6a，
∴2m10≥6，
∴m10≥lg26=lg6lg2=lg2+lg3lg2，
∴m≥10×lg2+lg3lg2≈26，
故为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林26年．
【典题2】 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅(6−12x+4)(万件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0,5.1])．A公司生产t万件防护服还需投入成本(20+8x+50t)(万元)．
(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数；
(2)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01)．
【解析】1y=80t−20+8x+50t=30t−20−8x
=30k6−12x+4−20−8x =180k−360kx+4−8x−20，x∈[0,10]．
(2)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，
则180k−360kx+4−8x−20≥0在x∈[0,10]恒成立，
即k≥145⋅(x+4)(2x+5)x+2， (分离参数法)
记t=x+2，则t∈[2,12]，
此时(x+4)(2x+5)x+2=(t+2)(2t+1)t=2t+2t+5，
由于函数f(t)=2t+2t+5在t∈[2,12]单调递增，(对勾函数)
所以当t∈[2,12]时，fmax(t)=f(12)=29+16≈29.167，
∴k≥145×29.167≈0.648，
即当工厂工人的复工率达到0.65时，对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损．
【点拨】
① 根据题意求出函数的解析式，在实际问题中，特别注意自变量的取值范围；
② 求函数y=ax2+bx+ca1x2+b1x+c1最值问题中，注意基本不等式和对勾函数的应用.
巩固练习
1(★) 有一组实验数据如表：
则体现这些数据的最佳函数模型是( )
A．y=x12B．y=lg2xC．y=13⋅2xD．y=12x2
【答案】 C
【解析】把(x,y)的值分别代入y=x12中，不成立，故A不能最佳体现这些数据关系；
把(x,y)的值分别代入y=lg2x中，不成立，故B不能最佳体现这些数据关系；
把(x,y)的值分别代入y=13⋅2x中，基本成立，故C能最佳体现这些数据关系；
把(x,y)的值分别代入y=12x2中，不成立，故D不能最佳体现这些数据关系．
故选：C．
2(★) 设光线通过一块玻璃，强度损失10%、如果光线原来的强度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后强度为y，则y=k∙0.9x(x∈N∗)，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃块数为( )(参考数据：1g3≈0.477)
A．9B．10C．11D．12
【答案】 C
【解析】设通过这样的玻璃x块，则由题意得k⋅0.9x0)，化得0.9x<13，
两边同时取常用对数，可得xlg0.9因为lg0.9<0，所以x>lg13lg0.9=−lg32lg3−1≈−0.477−0.046≈10.37，
则至少通过11块玻璃，
故选：C．
3(★★) 某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为42，48，52．为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为54，57，58．
(1)求a,b,c,p,q,r的值；(2)你认为谁选择的模型好．
【答案】 (1) a=−1，b=9，c=34, p=−27，q=23，r=60 (2) 乙模型
【解析】 (1)由甲模型：令y=f(x)=ax2+bx+c，
可得：a+b+c=42，4a+2b+c=48，9a+3b+c=52，
解得a=－1，b=9，c=34．
由乙模型：设y=pqx+r，
可得：g(1)=pq+r=42，g(2)=pq2+r=48，g(3)=pq3+r=52，
解得p=－27，q=23，r=60．
(2)由 (1)可得：f(x)=－x2+9x+34，
∴f(4)=－42+9×4+34=54，
f(5)=－52+9×5+34=54<57，
f(6)=－62+9×6+34=52<58；
由乙模型可得：g(x)=－27•(23)x+60，
∵g(4)=54+23≈54，g(5)=56+49≈56，g(6)=57+1727≈57．
可得：g(4)、g(5)、g(6)比f(4)、f(5)、f(6)更接近真实值．
4(★★) 某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y=lga(t−5)+83(a>0,且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
(1)试求p=f(t)的函数关系式；
(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．

【答案】(1)f(t)=−14(t−12)2+82,t∈(0,14]lg13(t−5)+83,t∈(14,40]
(2)教师能够合理安排时间讲完题目
【解析】(1)当t∈(0,14]时，设p=ft=ct－122+82(c<0)，
将点(14,81)代入得c=−14，
∴当t∈(0,14]时，p=f(t)=−14t－122+82；
当t∈(14,40]时，将点(14,81)代入y=lga(t－5)+83，得a=13，
所以p=f(t)=−14(t−12)2+82,t∈(0,14]lg13(t−5)+83,t∈(14,40]；
(2)当t∈(0,14]时，−14t－122+82≥80，
解得12－22≤t≤12+22，所以t∈[12－22,14]，
当t∈(14,40]时,lg13(t－5)+83≥80，
解得5综上t∈[12－22,32]时学生听课效果最佳，
此时△t=32−(12−22)=20+22>22，
所以教师能够合理安排时间讲完题目．
5 (★★) 培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N,x(单位：天)时刻后水中含有物质N的量增加yml/L，y与x的函数关系可近似地表示为y=8−16x+2,0≤x≤612−x,6(1)若在水中首次投放1个单位的物质N，计算物质N能持续有效发挥作用几天？
(2)若在水中首次投放1个单位的物质N，第8天再投放1个单位的物质N，试判断第8天至第12天，水中所含物质N的量是否始终不超过6ml/L，并说明理由．
【答案】 (1)6 (2)第8天至第12天，水中所含物质N的量始终不超过6ml/L
【解析】(1)由题意x，(单位：天)时刻后水中含有物质N的量为y=8−16x+2,0≤x≤612−x,6解y≥4，得2≤x≤8．
所以若在水中首次投放1个单位的物质N，物质N能持续有效发挥作用6天．
(2)设第x(8≤x≤12)天水中所含物质N的量为yml/L，
则y=(12−x)+[8−16(x−8)+2]=20−x−xx−6，
y=14−[(x−6)+16x−6]≤14−2(x−6)×16x−6=6，
当且仅当x−6=16x−6，即 x=10∈[8,12]时，等号成立．即当x=10时，ymax=6．
所以第8天至第12天，水中所含物质N的量始终不超过6ml/L．
【题型三】求函数的零点
【典题1】下列函数中，在(−1 , 1)内有零点且单调递增的是( )
A．y=lg13xB．y=3x−1C．y=x2−12D．y=−x3
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，y=lg13x，其定义域为(0 , +∞)，在(−1 , 0)上没有定义，不符合题意；
对于B，y=3x−1，在(−1 , 1)上有零点x=0，且在(−1 , 1)为增函数，符合题意；
对于C，y=x2−12，为二次函数，在(−1 , 0)上为减函数，不符合题意；
对于D，y=−x3，在(−1 , 1)上为减函数，不符合题意；
故选：B．
【点拨】求函数零点方法：① 代数法，即解方程；② 几何法，即数形结合.
【题型四】函数与方程的关系
【典题1】方程3x+4x=5x解的情况是( )
A.有且只有一个根2 B.不仅有根2还有其他根
C.有根2和另一个负根 D.有根2和另一个正根
【解析】方程3x+4x=5x等价为35x+45x=1
设fx=35x+45x，
则函数f(x)在R上为减函数，
∵f2=352+452=1
∴方程3x+4x=5x有且只有一个根2，故选A.
【点拨】本题巧妙的把方程3x+4x=5x的解转化为函数fx=35x+45x与y=1的交点问题.
【典题2】 若x1满足3x=2−x，x2满足lg3x+x−2=0，则x1+x2= .
【解析】 设fx=3x，gx=lg3x，tx=2−x
∵x1满足3x=2−x，
∴ x1是函数fx=3x与函数tx=2−x交点横坐标，
∵x2满足lg3x+x−2=0，
∴ x2是函数gx=lg3x与函数tx=2−x交点横坐标，
由于函数y=3t与函数y=lg3t互为反函数，
所以它们的图象关于直线y=x轴对称，
故两图象与直线tx=2−x的交点(x1 , y1) , (x2 , y2)也关于y=x对称，
所以x1+x2=2，
【点拨】
① 指数函数y=ax与对数函数y=lgax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称.
② 方程问题转化为函数问题时，在构造函数时，常把常见的函数模型(一次函数型、二次函数型、反比例函数型，指数函数型、对数函数型等)分开，比如方程x+12x+3=0⇔函数y=2x与函数y=−3x+1，方程exlnx−k=0⇔函数y=|lnx|与函数y=k∙1ex.
【典题3】 已知函数f(x)=|lg2x| , x>0x2+4x+1 , x≤0，若函数Fx=fx−b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4(x1【解析】(函数Fx=fx−b的零点等价于函数y=f(x)与y=b的交点)
作出f(x)的函数图象如图所示，
由图象知x1+x2=−4，x3x4=1，0而0<−lg2x3≤1得12≤x3<1，
∴x4x3−x1x32+x2x324=1x32+x32，
令t=x32，则14≤t<1，
令g(t)=t+1t，
则g(t)在[14 , 1]上单调递减，g(1)=2， g(14)=174 ,
∴g(1)即2【点拨】
① 函数F(x)=f(x)－b零点的问题转化为函数y=f(x)与y=b的交点问题；
② 遇到分段函数常常需要数形结合；
③ 求x4x3−x1x32+x2x324的取值范围，应该根据图象找出x1+x2=−4，x3x4=1的关系，在利用“消元”的思想把问题化简成“求1x32+x32的取值范围”，从而想到构造函数g(t)=t+1t.
【典题4】 已知偶函数f(x)满足f(3+x)=f(3−x)，且当x∈[0 , 3]时，fx=−x2+2x+1，若关于x的方程f2x−tf(x)－3=0在[−150 , 150]上有300个解，则实数t的取值范围是 .
【解析】∵f(x)是偶函数，
∴f(3+x)=f(3−x)=f(x−3)，
∴f(x)是以6为周期的函数．
∵关于x的方程f2x−tfx−3=0在[−150 , 150]上有300个解，
∴关于x的方程f2x−tfx−3=0在(−3 , 3]上有6个解．
做出f(x)在一个周期(−3 , 3]上的函数图象如图所示：
令f(x)=m，由函数图象可知：
当m=−2时，f(x)=m只有1解，
当−2当m=1时，f(x)=m有3解，
当1∴关于m的方程m2−tm−3=0在{2}和(1，2)上各有1解或(－2 , 1)和(1 , 2)上各有1解，
若方程的一解为m=2，则方程的另一解为m=−32∉(1 , 2)，不符合题意．
∴关于m的方程m2−tm−3=0在(－2 , 1)和(1 , 2)上各有1解，
∴1+2t>0−2−t<01−2t>0，解得−12【点拨】
① 由f(3+x)=f(3−x)可得f(x)关于x=3对称，又由于f(x)是偶函数，可得函数的周期T=6；
② 在“关于x的方程f2x−tfx−3=0在(−3 , 3]上有6个解”这一步中的区间是−3 , 3，不能是[−3 , 3].
巩固练习
1(★) 下列函数中，是偶函数且不存在零点的是( )
A．y=x2B．y=xC．y=lg2xD．y=−12x
【答案】D
【解析】对于A，y=x2的对称轴为y轴，故y=x2是偶函数，
令x2=0得x=0，所以y=x2的零点为x=0．不符合题意．
对于B，y=x的定义域为[0,+∞)，不关于原点对称，
故y=x不是偶函数，不符合题意．
对于C，y=lg2x的定义域为(0,+∞)，不关于原点对称，
故y=lg2x不是偶函数，不符合题意．
对于D，−12−x=−12x，故y=−12x是偶函数，
令−12x=0，方程无解．即y=−12x无零点．
故选：D．
2(★★) 函数f(x)=(12)|x|−x2的零点个数是 ．
【答案】2
【解析】令f(x)=0，则(12)|x|=x2，
因此函数f(x)的零点个数即为函数y=(12)|x|和函数y=x2的图象交点的个数，
在直角坐标系中画出函数y=(12)|x|和函数y=x2的图象如下：
由图象可得f(x)有2个零点．
故选：B．
3(★★) 若方程mx−x−m=0(m>0 , 且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】 m>1
【解析】方程mx－x－m=0有两个不同实数根，等价于函数y=mx与y=x+m的图象有两个不同的交点．
当m>1时，如图(1)有两个不同交点；
当0故选：A．
4(★★) 设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=lg12x−x+1，ℎ(x)=(12)x−x+1的零点，则a、b、c的大小关系为 ．
【答案】 b【解析】函数f(x)=x12−x+1，g(x)=lg12x－x+1，ℎ(x)=(12)x−x+1的零点，
就是方程x12=x－1,lg12x =x－1,12x=x－1的解，
在坐标系中画出函数y=x12,y=lg12x,y=(12)x，与y=x－1的图象，如图：
可得b故选：D．
5(★★★) 已知函数f(x)=lg3x，函数ℎ(x)是最小正周期为2的偶函数，且当x∈[0 , 1]时，ℎx=3x−1．若函数y=k∙f(x)+ℎ(x)有3个零点，则实数k的取值范围是 ．
【答案】−2 , −2lg53
【解析】∵y=k•f(x)+ℎ(x)有3个零点，
∴y=ℎ(x)与y=－k•lg3x的函数图象有3个交点，
作出y=ℎ(x)得函数图象如图所示：
若－k<0，即k>0，则y=ℎ(x)与y=－k∙lg3x的函数图象只有1个交点，不符合题意；
若－k=0，即k=0，则y=ℎ(x)与y=－k∙lg3x的函数图象有无数多个交点，不符合题意；
若－k>0，即k<0，若y=ℎ(x)与y=－k∙lg3x的函数图象有3个交点，
则－klg33<2，且－k•lg35>2，
解得：－2故选：B．
6(★★★) 已知函数f(x)=|5x−1| , x<18x+1 , x≥1，若方程f(f(x))=a恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为 ．
【答案】(85 , 4)
【解析】作出函数f(x)=|5x−1|,x<18x+1,x≥1的图象如图，
若a<0，显然无解；
若a=0，则f(f(x))=0⇒f(x)=0⇒x=0，只有唯一解，不合题意；
若0因此f(x)只在(0,lg52)上有一解，此时x有三个解，不合题意；
若1因此由题意，f(x)在(1,7)中有一解需要得出x有两解，而由于f(x)≤4，因此a的取值需保证f(x)在(1,7)中的解位于区间(1,4)中，计算得f(4)=85，可得85若a=4，则f(x)=1，此时x有两解，不合题意；
若a>4，显然无解．
综上，85故答案为：(85,4)．
【题型五】函数零点定理
【典题1】 设函数f(x)=2xx+1+lnx满足f(a)f(b)f(c)<0(aA．x0∈(a , c)B．x0∈(a , b)C．x0∈(b , c)D．x0∈(c , +∞)
【解析】函数函数f(x)=2xx+1+lnx=2−2x+1+lnx的定义域为{x|x>0}，函数是增函数，
满足f(a)f(b)f(c)<0(a故选C．
【点拨】
① 2xx+1=2−2x+1利用了分离常数法.
② 判断函数零点所在的区间，就要注意区间上端点对应的函数值(本题中fa、fb、f(c))是正数还是负数.
【典题2】 [x]表示不超过x的最大整数，例如3.5=3 ，－0.5=−1．已知x0是方程
lnx+3x－15=0的根，则[x0]= ．
【解析】x0是方程lnx+3x－15=0的根，
设f(x)=lnx+3x－15，显然f(x)单调递增，
故f(x)=0只有一个根，
f(4)=ln4－3=2ln2－3<2(ln2－1)<0 , f(5)=ln5>0 ,
故x0∈(4 , 5)，所以[x0]=4，
【点拨】
① 若f(x)在[a , b]上是单调函数，则它在[a , b]上至多只有一个零点.
② 求函数零点的近似值，可利用代入一些数值进行逼近，再用函数的零点判断定理确认零点的范围.
【题型六】二分法
【典题1】 用二分法求函数fx=lnx+1+x−1在区间[0 , 1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为 ．
【解析】根据题意，原来区间[0 , 1]的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为
原来的一半，则经过n次操作后，区间的长度为12n，若12n<0.01，即n≥7；
故最少为7次.
【点拨】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度.
巩固练习
1(★) 设函数f(x)=ex+lnx，满足fafbfc<0 (a则下列选项中一定错误的是( )
A．x0∈(a , c)B．x0∈(a , b)C．x0∈(b , c)D．x0∈(c , +∞)
【答案】 C
【解析】函数f(x)=ex+lnx的定义域为{x|x>0}，函数是增函数，
满足f(a)f(b)f(c)<0(a故选：C．
2(★★) [多选题]函数fx=x3+3x−2的一个正零点所在的区间不可能是( )
A．(3 , 4)B．(2 , 3)C．(1 , 2)D．(0 , 1)
【答案】 ABC
【解析】函数fx=x3+3x﹣2，把x=0,1,2,3,4代入，
若f(a)f(b)<0，则零点在(a,b)，f(0)=﹣2<0，f(1)=2>0，
f(2)=12>0，f(3)=34>0，f(4)=76>0，
所以f(0)<0，f(1)>0，
所以函数的零点在(0,1)，
故选：ABC．
3(★★) 已知函数f(x)=lg2x+x﹣b的零点在区间[0 , 1]上，则b的取值范围为 ．
【答案】 (−∞ , 1]
【解析】因为函数f(x)=lg2x+x﹣b的零点在区间(0,1]上是单调递增，
函数f(x)=lg2x+x﹣b的零点在区间(0,1]上，
x→0，lg2x+x→﹣∞，f(x)<0，可得b∈R
所以f(1)=lg21+1﹣b≥0，解得b≤1．
4(★★) 若函数f(x)=x2+tx+1在区间(1 , 2)上有一个零点，则实数t的取值范围是 ．
【答案】(−52,−2)
【解析】函数f(x)=x2+tx+1在区间(1,2)上有一个零点，
若方程f(x)=x2+tx+1=0的判别式为△=t2－4=0，可得t=2或－2，
当t=2时，f(x)=x2+2x+1=0，有零点x=－1，不满足题意；
当t=－2时，f(x)=x2－2x+1=0，有零点x=1，不满足题意；
若△>0可得△=t2－4>0，可得t>2或t<－2，
∴f(1)f(2)<0，
可得(t+2)(5+2t)<0，解得－52综上－52故答案为：－52
一次函数
y=ax+b (a≠0)
二次函数
y=ax2+bx+ c (a≠0)
指数函数
y=ax(a>0且a≠1)
指数型函数
y=k∙ax (a>0且a≠1)
对数函数
y=lgax (a>0且a≠1)
对数型函数
y=k∙lgax (a>0且a≠1)
幂函数
y=xn (n∈ N∗)
幂函数型
y=k⋅xn (n∈ N∗)
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
40
P2/万元
20
40
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
30
40
50
60
P2/万元
20
202
40
402
80
x
2
3
4
5
6
y
1.40
2.56
5.31
11
21.30