2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第3讲　圆的方程学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（文科）第九章　平面解析几何 第3讲　圆的方程学案，共13页。学案主要包含了知识梳理，习题改编等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
1．圆的方程
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．二元二次方程表示圆的条件
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一条件．
二、习题改编
1．(必修2P123练习T2改编)圆x2＋y2－2x＋4y－6＝0的圆心坐标 ，半径 ．
答案：(1，－2) eq \r(11)
2．(必修2P120练习T1(2)改编)若圆的圆心为(－8，3)，且经过点(－5，0)，则圆的标准方程为 ．
答案：(x＋8)2＋(y－3)2＝18
3．(必修2P124A组T2(2)改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为 ．
答案：x2＋y2－2x＝0
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．( )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．( )
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
二、易错纠偏
eq \a\vs4\al(常见误区)(1)忽视方程表示圆的条件D2＋E2－4F>0；
(2)错用点与圆的位置关系判定．
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( )
A.eq \f(1,4)0，故x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq \f(4k2＋4,k2).
由题设知eq \f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝－x0＋5，,（x0＋1）2＝\f(（y0－x0＋1）2,2)＋16.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝11，,y0＝－6.))
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
4．已知圆C的方程为x2＋(y－4)2＝1，直线l的方程为2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)若∠APB＝60°，求点P的坐标；
(2)求证：经过A，P，C(其中点C为圆C的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．
解：(1)由条件可得圆C的圆心坐标为(0，4)，|PC|＝2，设P(a，2a)，则eq \r(a2＋（2a－4）2)＝2，
解得a＝2或a＝eq \f(6,5)，
所以点P的坐标为(2，4)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(12,5))).
(2)证明：设P(b，2b)，过点A，P，C的圆即是以PC为直径的圆，其方程为x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，
整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，
即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2－4y＝0，,x＋2y－8＝0))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(16,5)，))
所以该圆必经过定点(0，4)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5))).
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心(a，b)
半径为r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
条件：D2＋E2－4F>0
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径：r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)