甘肃省庆阳市环县第一中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（含答案）

这是一份甘肃省庆阳市环县第一中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第一册第2章～第3章3.2．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．4D．2
2．已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．若双曲线的实轴长为4，则正数（ ）
A．B．2C．D．
4．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
5．若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A．—2或1B．—1或3C．0或2D．—3或1
6．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
7．如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面．若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ）
A．B．C．D．
8．若直线与曲线相交，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线与圆和圆都相切，则直线的方程可能为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知两条平行直线，直线，直线，直线之间的距离为1，则的值可以是（ ）
A．-8B．-6C．12D．14
11．已知曲线的方程为，则（ ）
A．当时，曲线表示一个圆
B．当时，曲线表示椭圆
C．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
D．当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为B．的面积的最大值为2
C．若，则的最小值为D．的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．双曲线的渐近线方程为______．
14．已知直线，若，则______．
15．已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是______．
16．已知，点是直线上的一点，以为焦点的椭圆过点，则当该椭圆的离心率取得最大值时，该椭圆的方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知直线过定点．
（1）求点的坐标；
（2）若直线在轴和轴上的截距相等，求的值．
18．（本小题满分12分）
求分别满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）焦点在轴上，焦距为8，且经过点；
（2）焦点在轴上，短轴长为8，离心率为．
19．（本小题满分12分）
已知圆过点．
（1）求圆的方程；
（2）若为圆上的动点，求面积的最大值．
20．（本小题满分12分）
已知圆与圆关于直线对称．
（1）求圆的方程；
（2）求直线被圆截得的弦的长．
21．（本小题满分12分）
已知点，为原点，若动点满足．
（1）试求动点的轨迹方程；
（2）过点作轴的垂线，垂足为，试求线段的中点的轨迹方程．
22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点在直线上，点在双曲线上，且焦点在以线段为直径的圆上，分别记直线的斜率为，求的值．
环县一中2023～2024学年度第一学期第二次月考・高二数学
参考答案、提示及评分细则
1．A由椭圆，得，故选A．
2．C已知圆的圆心为，则圆的圆心坐标是，故选C．
3．A由双曲线实轴长为4，有，又．故选A．
4．D的斜率，又的斜率的倾斜角为．故选D．
5．B圆的标准方程为，有，解得或3．
6．D当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为，
由离心率为，可得．
椭圆过点椭圆的标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，，得，
可得椭圆的标准方程为，整理为．故选D．
7．B由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，又由双曲线的离心率为，有，可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为．故选B．
8．C曲线是圆的上半部分，当直线与曲线相切时，由2，且，得．结合图象可知，．
9．ABC当直线过的中点，且与垂直时，因为的中点为，，所以直线的方程为，即；
当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为，所以，解得或，所以直线的方程为或．故选ABC．
10．BD根据题意得直线可化为之间的距离或—6．故选BD．
11．ACD当时，曲线是，故选项A正确；
当时，曲线表示一个圆，故选项B错误；
当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故选项C正确；
当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故选项D正确．故选ACD．
12．ABD的周长，故A正确；因为点是椭圆上异于左、右顶点的一点，所以，所以的面积，故B正确；
，所以，故C错误；
当直线与椭圆相切时，即得，所以，解得，所以的最小值为．故D正确．故选ABD．
13．双曲线的渐近线方程为．
14．0①当时，②当时，若，可得与重合，不合题意．故．
15．3或-1因为两圆有一条公切线，所以两圆内切．圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，而两圆圆心距，即，
解得的值为3或-1．
16．由题意知：椭圆以为焦点，所以，因为椭圆过点，所以，设点关于直线对称的点为，则解得
所以，当且仅当三点共线时等号成立，又
，所以，即，所以当时该椭圆的离心率取得最大值，所以该椭圆的方程为．
17．解：（1）直线，
则，
定点；
（2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0，
令，可得，
令，可得，
由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2，
故或2．
18．解：（1）设椭圆的标准方程为，
因为
所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设椭圆的标准方程为，
因为，设，则，
由，得，
所以，
所以椭圆的标准方程为．
19．解：（1）设圆的方程为，
所以
解得
所以圆的方程为．
（2）的方程为，
圆的方程为．
可得圆心在直线上，
面积的最大值为．
20．解：（1）设，则
解得
所以圆的方程为；
（2）因为点到直线的距离，
所以．
21．解：（1）因为，且，设，因为，
所以，化简可得．
即动点的轨迹方程为．
（2）设点，因为点为线段的中点，所以，
又点在上，所以，
所以的轨迹方程为．
22．解：（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得，
又由点在双曲线上，代入双曲线的方程，有，
联立方程解得
故双曲线的标准方程为；
（2）设点的坐标为，设点的坐标为，
由点在双曲线上，有，
又由点在以线段为直径的圆上，可得，
由，有，有，可得，
又由，
有，
故的值为．