2023-2024学年甘肃省庆阳市环县重点中学高一（上）期末数学试卷

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这是一份2023-2024学年甘肃省庆阳市环县重点中学高一（上）期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin35π6=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
2.已知集合A={y|y=x,x>0}，B={x∈N||2x−3|≤1}，则A⋂B=( )
A. {0,1,2}B. {1,2}C. {1,2,3}D. {2,3}
3.函数f(x)=2 x−3x的最大值为( )
A. 34B. 12C. 1D. 13
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x3−3x2，则f(−1)=( )
A. −2B. 2C. −4D. 4
5.已知f(x)=2ax−1+3a，f(0)A. (15,13)B. (16,14)C. (17,15)D. (18,16)
6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(x)=( )
A. sin(πx+π6)B. sin(πx+π3)C. sin(πx−π6)D. sin(πx−π3)
7.已知a，b，c均大于1，满足1a−1=lg2a,1b−1=lg3b,1c−1=lg4c，则下列不等式成立的是( )
A. c8.已知csα+ 3sinα=35，则cs(2α+π3)=( )
A. 4750B. −4750C. −4150D. 4150
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于x的不等式x2+mx+2>0对任意x∈R恒成立的充分不必要条件有( )
A. 0≤m≤2B. −1≤m≤2 2
C. −1≤m≤2D. −2 210.下列不等式的解集为R的是( )
A. x2+6x+10>0B. x2+2 5x+5>0
C. −x2+x−2<0D. 2x2−3x−3<0
11.已知a>0，则函数f(x)=ax−2a的图象可能是( )
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)=x2−2x−3，g(x)=x−3，对∀x∈R，f(x)与g(x)中的最大值记为m(x)=max{f(x),g(x)}，则( )
A. 函数f(x)的零点为(−1,0)，(3,0)B. 函数m(x)的最小值为−3
C. 方程|m(x)|=3有3个解D. 方珵f(f(x))=m最多有4个解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设命题p：∃x∈Z，x2≥x，则命题p的否定为______ ．
14.桃湖公园有一扇形花园，扇形的圆心角为120°，半径为30m，现要在该花园的周围围一圈护栏，则护栏的总长度为(结果保留π) ______ m.
15.已知2csα−csβ=32，2sinα−sinβ=2，则cs(α−β)=______．
16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，且f(3)=0，则不等式xf(2x−1)<0的解集为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知全集U=R，集合A={x∈R|−5≤3x−2≤1}，集合B={x∈R|lg2(2−x)≤1}．
(1)求A∩B，A∪B；
(2)求(∁RB)∪A．
18.(本小题12分)
设函数f(x)=sin(2x+φ)(−π<φ<0)，y=f(x)的图象的一条对称轴是直线x=−π12．
(1)求φ的值；
(2)求函数y=f(x)的单调增区间．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg3(ax2+3x+a+54)(a∈R)．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在(−14,−18)上单调递增，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知a>0，b>0，且a+b−ab=0．
(1)求ab的最小值；
(2)求2a+3b的最小值．
21.(本小题12分)
已知sinα=2−4sin2α2．
(1)求sin2α−cs2α的值；
(2)已知α∈(0,π),β∈(π2,π),3tan2β−5tanβ−2=0，求α+β的值．
22.(本小题12分)
已知幂函数f(x)=(m+1)2xm2−m−4在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x+n．
(1)求m的值；
(2)当x∈[−1,3)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数n的取值范围；
(3)设F(x)=f(x)−kx+(1−k)(1+k)，且F(x)在[0,2]上的最小值为−2，求实数k的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的化简求值问题，主要考查了三角函数诱导公式的应用，考查了化简运算能力，属于基础题．
利用三角函数的诱导公式化简求解即可．
【解答】
解：sin35π6=sin(6π−π6)=sin(−π6)=−sinπ6=−12．
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：∵A={y|y=x,x>0}={y|y>0}，B={x∈N||2x−3|≤1}={x∈N|1≤x≤2}={1,2}，
∴A⋂B={1,2}．
故选：B．
根据集合的交运算即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：令t= x(t≥0)，
则g(t)=2t−3t2=−3(t−13)2+13(t≥0)，
由二次函数的性质可知，g(t)max =g(13)=13．
故选：D．
换元再配方可得答案．
本题考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，当x>0时，f(x)=x3−3x2，则f(1)=1−3=−2，
又由f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=2．
故选：B．
根据题意，由函数的解析式求出f(1)的值，结合奇偶性可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为f(0)0，该函数为增函数，
由题意可知f(1)=5a−1<0f(2)=7a−1>0，解得17故选：C．
由f(0)0，该函数为增函数，所以在(1,2)内f(x)存在零点，只需f(1)<0，f(2)>0，据此可得结论．
本题考查函数零点的判断，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由图象可得A=1，再根据34T=53−16=32，可得T=2，
所以ω=2π2=π，
再根据五点法作图可得π×16+ϕ=0，求得ϕ=−π6，
故函数的解析式为f(x)=sin(πx−π6).
故选：C．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得到函数的解析式．
本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值是解决本题的关键，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：∵a，b，c均大于1，满足1a−1=lg2a,1b−1=lg3b,1c−1=lg4c，
∴在同一坐标系中作出y=1x−1和y=lgmx(m>1)的图象，
根据图象可知a故选B．
在同一坐标系中作出y=1x−1和y=lgmx(m>1)的图象，结合图象可得答案．
本题考查对数函数的图象的应用，考查作图能力与观察能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：因为csα+ 3sinα=35，
所以2sin(α+π6)=35，即sin(α+π6)=310，
则cs(2α+π3)=1−2sin2(α+π6)=1−2×9100=4150．
故选：D．
先利用辅助角公式进行化简求出sin(α+π6)=310，然后结合二倍角公式可求．
本题主要考查了辅助角公式及二倍角公式的应用，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：当不等式x2+mx+2>0对任意x∈R恒成立时，有Δ=m2−4×2<0，
解得−2 2记A=(−2 2,2 2)．
由题知，集合A的真子集即为不等式x2+mx+2>0对任意x∈R恒成立的充分不必要条件．
故选：AC．
先求不等式x2+mx+2>0对任意x∈R恒成立的充要条件，然后根据选项判断与其包含关系即可．
本题考查了不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于选项A，因为Δ=62−4×1×10=−4<0，1>0，
所以不等式x2+6x+10>0的解集为R，故选项A正确；
对于选项B，因为Δ=(2 5)2−4×1×5=0，
所以方程x2+2 5x+5=0的两根为x1=x2=− 5，
所以不等式x2+2 5x+5>0的解集为{x|x≠− 5}，故选项B错误；
对于选项C，因为Δ=12−4×(−1)×(−2)=−7<0，
所以不等式−x2+x−2<0的解集为R，故选项C正确；
对于选项D，因为Δ=(−3)2−4×2×(−3)=33>0，
所以方程2x2−3x−3=0的根为x=3± 334，
所以不等式2x2−3x−3<0的解集为{x|3− 334故选：AC．
利用一元二次不等式的解法逐个分析判断即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：由于当x=1时，f(1)=a−2a=−a<0，排除B，C，
当a=2时，f(x)=2x−4，此时函数图象对应的图形可能为A，
当a=12时，f(x)=(12)x−1，此时函数图象对应的的图形可能为D．
故选：AD．
通过特值法，排除错误选项，通过a的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可．
本题考查函数的图象的判断，是基础题．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查一元二次函数的零点，函数的概念与最值，函数图象及其应用，方程与函数等函数的基础知识，考查学生分析问题和解决问题的能力．
令f(x)=0，即可求解f(x)的零点，即可判断A；作出f(x)和g(x)的图象，由图象可得m(x)的最值，即可判断B；由|m(x)|的图象与y=3的交点个数即可判断C；由f(x)的图象即可判断D．
【解答】
解：对于A，由f(x)=0，即x2−2x−3=0，得x=−1或x=3，
所以f(x)的零点为−1和3，故A错误；
对于B，因为f(x)=g(x)即x2−2x−3=x−3的解为x=0或x=3，
在同一坐标系内作出f(x)与g(x)的图象，如右图所示，
由图象可知，当x=0是，m(x)有最小值−3，所以B正确；
对于C，因为|m(x)|的图象只需将y=m(x)的图象x轴下方的翻折到x轴上方，
由此可得|m(x)|的图象与y=3有3个交点，所以方程|m(x)|=3有3个解，故C正确；
对于D，令t=f(x)，因为f(x)≥−4，
由f(x)的图象可知，当m≥−4时，f(t)=m最多有2个解t1<1，t2>1，
当−4故f(f(x))=m最多有4个解，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】∀x∈Z，x2【解析】解：因为命题p：∃x∈Z，x2≥x是特称量词命题，
所以其否定是全程量词命题，即为∀x∈Z，x2故答案为：∀x∈Z，x2由特称命题的否定为全称命题，即可得答案．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
14.【答案】20π+60
【解析】解：因为120°=2π3，所以，扇形的圆心角为2π3，半径为30m，
所以，该花园的护栏的总长度为30×2π3+2×30=20π+60(m)．
故答案为：20π+60．
确定扇形的圆心角的弧度数，结合扇形的弧长公式可求得该公园护栏的总长度．
本题主要考查扇形的弧长公式，属于基础题．
15.【答案】−516
【解析】解：由2csα−csβ=32，平方得4cs2α−4csαcsβ+cs2β=94，
由2sinα−sinβ=2，平方得4sin2α−4sinαsinβ+sin2β=4，
两式相加得4−4(csαcsβ+sinαsinβ)+1=254，
即−54=4cs(α−β)，得cs(α−β)=−516，
故答案为：−516．
将两式同时平方，然后相加，利用两角和差的余弦公式进行求解即可．
本题主要考查三角函数的化简和求值，利用平方相加，利用两角和差的余弦公式是解决本题的关键，是中档题．
16.【答案】(−∞,−1)∪(0,2)
【解析】解：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(3)=0，
∴f(2x−1)<0即为f(|2x−1|)∴−3<2x−1<3，解得−1f(2x−1)>0即为f(|2x−1|)>f(3)，
∴2x−1<−3或2x−1>3，解得x<−1或x>2．
由xf(2x−1)<0，得x<0f(2x−1)>0或x>0f(2x−1)<0，
解得x<−1或0∴不等式xf(2x−1)<0的解集为(−∞,−1)∪(0,2)．
故答案为：(−∞,−1)∪(0,2)．
由已知分别求出f(2x−1)<0和f(2x−1)>0的解集，问题转化为x<0f(2x−1)>0或x>0f(2x−1)<0求解．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意得，A={x|−1≤x≤1}，
不等式lg2(2−x)≤1⇔0<2−x≤2⇔0≤x<2，可得B={x|0≤x<2}，
∴A∩B={x|0≤x≤1}，A∪B={x|−1≤x<2}；
(2)由(1)知，∁RB={x|x<0或x≥2}，
∴(∁RB)∪A={x|x≥2或x≤1}．
【解析】(1)由对数函数单调性解不等式得集合B，根据集合的交集、并集运算求解；
(2)根据补集运算、并集运算求解即可．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)x=−π12是函数y=f(x)的图象的对称轴，则有−π6+φ=kπ+π2,k∈Z．
解得φ=kπ+2π3,k∈Z，又−π<φ<0，所以φ=−π3．
(2)由(1)知φ=−π3，因此y=sin(2x−π3)．
由题意得当x满足2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2(k∈Z)时，函数f(x)单调递增．
即当x∈[kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z)时，f(x)单调递增．
所以函数y=sin(2x−π3)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12],k∈Z．
【解析】(1)由正弦型函数的对称性，把x=−π12代入函数解析式求φ的值；
(2)整体代入法求正弦型函数的单调增区间．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
19.【答案】解：(1)若f(x)的定义域为R，
即ax2+3x+a+54>0对x∈R恒成立．
当a≤0时，不符合题意；
当a>0时，Δ<0，
即9−4a(a+54)<0，解得a>1，
所以实数a的取值范围是(1,+∞)；
(2)当a=0时，f(x)=lg3(3x+54)，符合题意；
当a<0时，−32a≥−18,116a+3×(−14)+a+54≥0,
解得a≥−817，所以−817≤a<0；
当a>0时，116a+3×(−14)+a+54≥0,−32a≤−14,解得0综上，实数a的取值范围是[−817,6]．
【解析】(1)根据题意，ax2+3x+a+54>0对x∈R恒成立，讨论a的范围，列出条件解出即可；
(2)讨论a的范围，根据复合函数的单调性的性质结合定义域列出条件，解出即可．
本题考查了复合函数的单调性的判断与应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为a+b−ab=0，所以1a+1b=1，所以1=1a+1b≥2 1a×1b=2 ab，
所以ab≥4，当且仅当1a=1b，即a=b=2时等号成立，即ab的最小值为4；
(2)2a+3b=(1a+1b)(2a+3b)=5+3ba+2ab≥5+2 3ba×2ab=5+2 6，
当且仅当即3ba=2ab，即a=1+ 62,b=1+ 63时，等号成立，
所以2a+3b的最小值为5+2 6．
【解析】(1)直接利用基本不等式求解即可；
(2)利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为sinα=2−4sin2α2,sinα=2(1−2sin2α2)=2csα，所以tanα=2，
又因为sin2α−cs2α=2sinαcsα−cs2α+sin2αsin2α+cs2α=2tanα−1+tan2α1+tan2α，
所以sin2α−cs2α=2×2−1+221+22=75．
(2)因为β∈(π2,π)，所以tanβ<0，
因为3tan2β−5tanβ−2=(3tanβ+1)(tanβ−2)=0，所以tanβ=−13，
又因为α∈(0,π)，tanα=2，所以0<α<π2，
所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2−131+23=1，由β∈(π2,π)0<α<π2，得π2<α+β<3π2，
所以α+β=5π4．
【解析】(1)利用余弦的二倍角公式，结合三角函数商式关系式，求得正切值，根据正弦与余弦的二倍角公式以及平方关系式，可得答案；
(2)根据二次方程以及正切的和角公式，结合角的取值范围，可得答案．
本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由幂函数的定义得(m+1)2=1，解得：m=0或m=−2，
当m=−2时，f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增，符合题意，
当m=0时，f(x)=x−4在(0,+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，
综上可知：m=−2；
(2)由(1)得f(x)=x2，
当x∈[−1,3)时，f(x)∈[0,9)，即A=[0,9)，
当x∈[−1,3)时，因为g(x)=2x+n单调递增，
故g(x)∈[−2+n,6+n)，即B=[−2+n,6+n)，
由命题p是q成立的必要条件，则B⊆A，显然B≠⌀，
则−2+n≥06+n≤9，解得：n≥2n≤3，
所以实数n的取值范围为[2,3]；
(3)根据题意得F(x)=x2−kx+1−k2，F(x)的对称轴为x=k2，
当k2≤0，即k≤0时，F(x)在[0,2]上单调递增，F(x)min=F(0)=1−k2=−2，
解得：k= 3(舍去)或− 3，
当0解得：k=2 155或−2 155(舍去)，
当k2≥2，即k≥4时，F(x)min=F(2)=4−2k+1−k2=−2，
解得：k=−1±2 2(舍去)，
综上所述，k=− 3或2 155．
【解析】(1)由幂函数的定义得到(m+1)2=1，求出m=0或m=−2，结合函数在(0,+∞)上单调递增，去掉不合要求的解；
(2)在第一问基础上求出A=[0,9)，根据g(x)=2x+n单调递增，得到B=[−2+n,6+n)，由p是q成立的必要条件得到B⊆A，从而比较端点得到不等式组，求出实数n的取值范围；
(3)得到F(x)=x2−kx+1−k2，F(x)的对称轴为x=k2，根据对称轴的位置分三种情况，得到相应的函数最小值，列出方程，求出实数k的值．
本题考查了幂函数的定义和函数的最值问题，属于中档题．