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2023-2024学年甘肃省武威市天祝藏族自治县高二上学期第二次月考（12月）数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年甘肃省武威市天祝藏族自治县高二上学期第二次月考（12月）数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．数列的一个通项公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可.
【详解】选项A：，不符合题意；
选项B：，不符合题意；
选项C：不符合题意；
而选项D中的通项公式满足数列，
故选：D
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标．
【详解】因为抛物线的标准方程为，，，，所以焦点坐标为，
故选：A．
3．已知数列是等比数列，且，，则（ ）
A．3B．6
C．3或D．6或
【答案】B
【分析】利用等比数列的通项公式求解.
【详解】解：设数列的公比为q，
则，
所以，，
所以．
故选：B．
4．已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可.
【详解】令，可得；令，可得.
则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.
因为，所以椭圆的焦点在轴上.
设椭圆的方程为，则，，
所以椭圆的方程为.
故选：C.
5．已知双曲线的离心率为，则实数的值为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】由双曲线方程结合离心率列方程求参数值.
【详解】由双曲线，得，
所以，
则，解得.
故选：B
6．已知等差数列的前n项和为，，，则数列的公差是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】根据等差数列前n项和公式求出，进一步求出公差.
【详解】因为，所以，
又，所以.
故选：D
7．已知直线与圆相交于两点，且，则实数（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】设圆心C到直线AB的距离为d，可得，利用点到直线距离公式求a.
【详解】设圆心C到直线AB的距离为d，
∵圆的方程为∴ 圆心，圆的半径为3，，
又，∴， 即点到直线的距离为，
所以， 所以解得或.
故选：D．
8．在数列中，，（），则的前2022项和为（ ）
A．589B．590C．D．
【答案】C
【分析】通过递推式计算出前几项，找到数列的周期，利用周期性求解即可.
【详解】因为，（），所以，，
，，而，所以数列是以4为周期的周期数列，
所以的前2022项和.
故选：C
二、多选题
9．已知直线l过点，点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意，分别讨论直线l与直线AB平行或直线l过线段AB的中点，即可求直线l的方程.
【详解】当直线l与直线AB平行时，因为，所以直线l的方程为，即.
当直线l过线段AB的中点时，AB的中点为，所以直线l的方程为，即.
综上所述，直线l的方程为或.
故选：AC.
10．已知椭圆，则（ ）
A．的焦点都在轴上B．的焦距不相等
C．有公共点D．椭圆比椭圆扁平
【答案】BCD
【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，所以A不正确；
又由椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
由椭圆和的方程，可得两椭圆和都过，所以C正确；
因为椭圆的离心率为，的离心率为，
所以，所以D正确.
故选:BCD.
11．下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等差数列
B．若是等比数列，则是等比数列
C．若是等差数列，则是等差数列
D．若是等比数列，则是等比数列
【答案】AD
【分析】利用等差、等比数列的定义及性质判断各项正误.
【详解】设的公差为，则，故A正确；
当时，，故B错误；
设的公差为，则，故C错误；
设的公比为，显然，所以，故D正确.
故选：AD
12．已知抛物线，点是抛物线准线上的一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，，直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．
C．D．的面积最小值为
【答案】ACD
【分析】利用导数可得切线方程，进而可得直线方程，即可判断A选项；联立直线与抛物线，结合韦达定理可得与，判断BC选项；利用弦长公式，结合点到直线的距离可判断D选项.
【详解】设，，，因为，所以，，
所以在点处的切线方程为，即，
同理可得，在点处的切线方程为，所以，，
故直线的方程为，直线恒过定点，故A选项正确；
由，得，所以，，
所以，，故B选项错误，C选项正确；
，点到直线的距离，
所以的面积，所以，故D选项正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．一个等差数列的第3项为12，第6项为4，则此数列的第9项为 .
【答案】
【分析】根据等差数列的性质结合已知条件求解即可.
【详解】∵是等差数列，且，
∴，，
解得.
故答案为：.
14．已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】由双曲线方程确定一个焦点、一条渐近线，利用点线距离公式列方程求参数b，即可写出渐近线方程.
【详解】由题设，双曲线其中一个焦点为，一条渐近线为，
所以，故该双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
15．在各项均为正数的等比数列中，，则 .
【答案】4
【分析】由条件，结合等比数列性质可得，再对数运算性质求即可.
【详解】因为数列为等比数列，所以，
又，所以，
所以，
故答案为：4.
16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为 .
【答案】25
【分析】先根据定义得到和的关系，再利用均值不等式求最大值.
【详解】因为点P是椭圆C上的一点，所以，
又由均值不等式可得，
当且仅当，即，时等号成立，
故答案为：25
四、问答题
17．已知方程表示的图形是：（1）双曲线；（2）椭圆；（3）圆；试分别求出的取值范围.
【答案】答案见解析
【分析】根据圆、椭圆、双曲线的方程求解.
【详解】对于方程.
（1）若方程表示双曲线，则，解得或，
即当时，方程表示双曲线；
（2）根据题意得得,解得，
即当时，方程表示椭圆；
（3）由，解得，即当时，
方程为表示圆，
综上，（1）当时，方程表示双曲线；
（2）当时，方程表示椭圆；
（3）当时，方程表示圆.
18．已知数列是等差数列，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求的最小值及取得最小值时n的值.
【答案】(1)
(2)取最小值为，或
【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由题意列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）写出等差数列的前n项和，利用配方法求得的最小值并求得使取得最小值时n的取值．
【详解】（1）设的公差为d，则，
解得，
所以.
（2），
所以当或时，取得最小值，最小值为.
19．已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对称的性质进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可.
【详解】（1）该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为关于抛物线的准线的对称点为，
所以有；
（2）直线的方程为，与抛物线方程联立，得
，设，
因此有，
则有
【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合一元二次方程的根与系数关系是解题的关键
20．已知点、，动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面内两点间的距离公式化简可得出轨迹的方程；
（2）求出圆的方程，分析可知，圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，结合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：由得，
即，整理得，
故动点的轨迹的方程为.
（2）解：∵点的坐标为且圆与轴相切，∴圆的半径为，
∴圆的方程为，
∴圆与圆两圆心的距离为，
∵圆与圆有公共点，∴，
即，且，解得，
所以实数的取值范围是.
21．已知数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用时，，得到，然后利用累乘法求通项；
（2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后求的最大值即可.
【详解】（1）由题意得，
①-②得，，，
，
符合此式，
∴.
（2）对任意恒成立，
即对任意恒成立，记，故，
所以当时，，，所以，即，
当时，，即随着的增大，递减，
所以的最大值为，所以，即.
五、证明题
22．已知等轴双曲线C：的左，右顶点分别为A，B，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l交双曲线C于D，E两点（不与A，B重合），直线AD与直线BE的交点为P，证明：点P在定直线上，并求出该定直线的方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据题意列式求，即可得双曲线方程.
（2）分类讨论斜率是否存在，直线DE的方程为，，，联立直线l与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k的范围及关于k的表达式，再联立直线AD与BE求交点坐标，即可证结论并确定直线方程.
【详解】（1）由题意知，，解得，
所以双曲线C的方程是.
（2）由（1）知，.
当直线DE的斜率存在时，设直线DE的方程为，，，
联立方程，消去y得，
则，且，
可得，，
直线AD的方程为，直线BE的方程为，
点P是直线AD与直线BE的交点，则，
所以，解得；
当直线DE的斜率不存在时，直线DE的方程为，不妨设，，
所以直线AD的方程为，直线BE的方程为，
点P是直线AD与直线BE的交点，所以，解得；
综上所述：点P在定直线上.
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
一、单选题
1．数列的一个通项公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可.
【详解】选项A：，不符合题意；
选项B：，不符合题意；
选项C：不符合题意；
而选项D中的通项公式满足数列，
故选：D
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标．
【详解】因为抛物线的标准方程为，，，，所以焦点坐标为，
故选：A．
3．已知数列是等比数列，且，，则（ ）
A．3B．6
C．3或D．6或
【答案】B
【分析】利用等比数列的通项公式求解.
【详解】解：设数列的公比为q，
则，
所以，，
所以．
故选：B．
4．已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可.
【详解】令，可得；令，可得.
则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.
因为，所以椭圆的焦点在轴上.
设椭圆的方程为，则，，
所以椭圆的方程为.
故选：C.
5．已知双曲线的离心率为，则实数的值为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】由双曲线方程结合离心率列方程求参数值.
【详解】由双曲线，得，
所以，
则，解得.
故选：B
6．已知等差数列的前n项和为，，，则数列的公差是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】根据等差数列前n项和公式求出，进一步求出公差.
【详解】因为，所以，
又，所以.
故选：D
7．已知直线与圆相交于两点，且，则实数（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】设圆心C到直线AB的距离为d，可得，利用点到直线距离公式求a.
【详解】设圆心C到直线AB的距离为d，
∵圆的方程为∴ 圆心，圆的半径为3，，
又，∴， 即点到直线的距离为，
所以， 所以解得或.
故选：D．
8．在数列中，，（），则的前2022项和为（ ）
A．589B．590C．D．
【答案】C
【分析】通过递推式计算出前几项，找到数列的周期，利用周期性求解即可.
【详解】因为，（），所以，，
，，而，所以数列是以4为周期的周期数列，
所以的前2022项和.
故选：C
二、多选题
9．已知直线l过点，点，到直线l的距离相等，则直线l的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据题意，分别讨论直线l与直线AB平行或直线l过线段AB的中点，即可求直线l的方程.
【详解】当直线l与直线AB平行时，因为，所以直线l的方程为，即.
当直线l过线段AB的中点时，AB的中点为，所以直线l的方程为，即.
综上所述，直线l的方程为或.
故选：AC.
10．已知椭圆，则（ ）
A．的焦点都在轴上B．的焦距不相等
C．有公共点D．椭圆比椭圆扁平
【答案】BCD
【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，所以A不正确；
又由椭圆的焦距为，椭圆的焦距为，所以B正确；
由椭圆和的方程，可得两椭圆和都过，所以C正确；
因为椭圆的离心率为，的离心率为，
所以，所以D正确.
故选:BCD.
11．下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等差数列
B．若是等比数列，则是等比数列
C．若是等差数列，则是等差数列
D．若是等比数列，则是等比数列
【答案】AD
【分析】利用等差、等比数列的定义及性质判断各项正误.
【详解】设的公差为，则，故A正确；
当时，，故B错误；
设的公差为，则，故C错误；
设的公比为，显然，所以，故D正确.
故选：AD
12．已知抛物线，点是抛物线准线上的一点，过点作抛物线的切线，切点分别为，，直线，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点B．
C．D．的面积最小值为
【答案】ACD
【分析】利用导数可得切线方程，进而可得直线方程，即可判断A选项；联立直线与抛物线，结合韦达定理可得与，判断BC选项；利用弦长公式，结合点到直线的距离可判断D选项.
【详解】设，，，因为，所以，，
所以在点处的切线方程为，即，
同理可得，在点处的切线方程为，所以，，
故直线的方程为，直线恒过定点，故A选项正确；
由，得，所以，，
所以，，故B选项错误，C选项正确；
，点到直线的距离，
所以的面积，所以，故D选项正确．
故选：ACD．
三、填空题
13．一个等差数列的第3项为12，第6项为4，则此数列的第9项为 .
【答案】
【分析】根据等差数列的性质结合已知条件求解即可.
【详解】∵是等差数列，且，
∴，，
解得.
故答案为：.
14．已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】由双曲线方程确定一个焦点、一条渐近线，利用点线距离公式列方程求参数b，即可写出渐近线方程.
【详解】由题设，双曲线其中一个焦点为，一条渐近线为，
所以，故该双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
15．在各项均为正数的等比数列中，，则 .
【答案】4
【分析】由条件，结合等比数列性质可得，再对数运算性质求即可.
【详解】因为数列为等比数列，所以，
又，所以，
所以，
故答案为：4.
16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为 .
【答案】25
【分析】先根据定义得到和的关系，再利用均值不等式求最大值.
【详解】因为点P是椭圆C上的一点，所以，
又由均值不等式可得，
当且仅当，即，时等号成立，
故答案为：25
四、问答题
17．已知方程表示的图形是：（1）双曲线；（2）椭圆；（3）圆；试分别求出的取值范围.
【答案】答案见解析
【分析】根据圆、椭圆、双曲线的方程求解.
【详解】对于方程.
（1）若方程表示双曲线，则，解得或，
即当时，方程表示双曲线；
（2）根据题意得得,解得，
即当时，方程表示椭圆；
（3）由，解得，即当时，
方程为表示圆，
综上，（1）当时，方程表示双曲线；
（2）当时，方程表示椭圆；
（3）当时，方程表示圆.
18．已知数列是等差数列，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求的最小值及取得最小值时n的值.
【答案】(1)
(2)取最小值为，或
【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由题意列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）写出等差数列的前n项和，利用配方法求得的最小值并求得使取得最小值时n的取值．
【详解】（1）设的公差为d，则，
解得，
所以.
（2），
所以当或时，取得最小值，最小值为.
19．已知抛物线的焦点关于抛物线的准线的对称点为．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作斜率为4直线，交抛物线于，两点，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对称的性质进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合抛物线的定义进行求解即可.
【详解】（1）该抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为关于抛物线的准线的对称点为，
所以有；
（2）直线的方程为，与抛物线方程联立，得
，设，
因此有，
则有
【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合一元二次方程的根与系数关系是解题的关键
20．已知点、，动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知圆的圆心为，且圆与轴相切，若圆与曲线有公共点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面内两点间的距离公式化简可得出轨迹的方程；
（2）求出圆的方程，分析可知，圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，结合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：由得，
即，整理得，
故动点的轨迹的方程为.
（2）解：∵点的坐标为且圆与轴相切，∴圆的半径为，
∴圆的方程为，
∴圆与圆两圆心的距离为，
∵圆与圆有公共点，∴，
即，且，解得，
所以实数的取值范围是.
21．已知数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用时，，得到，然后利用累乘法求通项；
（2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后求的最大值即可.
【详解】（1）由题意得，
①-②得，，，
，
符合此式，
∴.
（2）对任意恒成立，
即对任意恒成立，记，故，
所以当时，，，所以，即，
当时，，即随着的增大，递减，
所以的最大值为，所以，即.
五、证明题
22．已知等轴双曲线C：的左，右顶点分别为A，B，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l交双曲线C于D，E两点（不与A，B重合），直线AD与直线BE的交点为P，证明：点P在定直线上，并求出该定直线的方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）根据题意列式求，即可得双曲线方程.
（2）分类讨论斜率是否存在，直线DE的方程为，，，联立直线l与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k的范围及关于k的表达式，再联立直线AD与BE求交点坐标，即可证结论并确定直线方程.
【详解】（1）由题意知，，解得，
所以双曲线C的方程是.
（2）由（1）知，.
当直线DE的斜率存在时，设直线DE的方程为，，，
联立方程，消去y得，
则，且，
可得，，
直线AD的方程为，直线BE的方程为，
点P是直线AD与直线BE的交点，则，
所以，解得；
当直线DE的斜率不存在时，直线DE的方程为，不妨设，，
所以直线AD的方程为，直线BE的方程为，
点P是直线AD与直线BE的交点，所以，解得；
综上所述：点P在定直线上.
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
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