初中数学浙教版八年级下册5.3 正方形习题ppt课件

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母题1 [教材P127作业题T4变式]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE，BF相交于点P，且AE＝BF.
(1)判断AE和BF的位置关系？并说明理由．
(2)若AB＝8，BE＝6，求BP的长．
在正方形内，分别连结两组对边上任意两点，得到的两条线段满足：若垂直则相等；若相等则垂直．
变式1 [2023·金华义乌市期末](1)如图①，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，AE＝BF，AE⊥BF.求证：四边形ABCD是正方形；
【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∴∠ABF＋∠CBF＝90°.∵AE⊥BF，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF.又∵AE＝BF，∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AB＝BC.∴矩形ABCD是正方形．
(2)如图②，在菱形ABCD(∠C为钝角)中，E，F分别是BC，CD上的点，AE＝BF，AE与BF交于点G.探究∠AGB和∠C的关系，并说明理由．
【解】∠AGB＋∠BCD＝180°，理由如下：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥DC交DC的延长线于点N，则∠AMB＝∠N＝90°.∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∴S菱形ABCD＝BC·AM＝CD·BN，∴AM＝BN.
又∵AE＝BF，∴Rt△AME≌Rt△BNF(HL)，∴∠AEB＝∠BFN.∵∠AEB＋∠AEC＝180°，∴∠AEC＋∠BFC＝180°，∴∠EGF＋∠BCD＝180°.∵∠EGF＝∠AGB，∴∠AGB＋∠BCD＝180°.
母题2 如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1与AB交于点E，OC1与BC交于点F.求证：
(1)△AOE≌△BOF；
【证明】∵四边形ABCD和四边形A1B1C1O都是正方形，∴OA＝OB，∠AOB＝∠A1OC1＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°.∴∠AOE＋∠EOB＝90°，∠EOB＋∠BOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF.
对角互补模型中以正方形中心为公共顶点的两个三角形全等．
变式2 如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC和BD的交点，点E，F分别在AB，BC上，∠EOF＝90°，延长OE，OF分别与DA，AB的延长线相交于点G，H，连结GH.求证：△OGH是等腰直角三角形．
【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBC＝45°，∠AOB＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠BAG＝∠CBH＝90°，∠AOE＋∠EOB＝90°.∴∠OAG＝90°＋45°＝135°，∠OBH＝90°＋45°＝135°，∴∠OAG＝∠OBH.∵∠EOF＝90°，∴∠EOB＋∠BOF＝90°，∴∠AOG＝∠BOH，∴△AOG≌△BOH(ASA)．∴OG＝OH.∴△OGH是等腰直角三角形．
母题3 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC边上的点，∠EAF＝45°. 求证：DF＋BE＝EF.
∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠BAE＝45°.∴∠GAE＝∠GAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝45°，∴∠GAE＝∠EAF.又∵AE＝AE，∴△AGE≌△AFE.∴GE＝FE.∵GE＝GB＋BE，∴EF＝GB＋BE＝DF＋BE.
解决这类题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
变式3 如图，点E，F分别是正方形ABCD的对角线AC上的两个动点，∠EBF＝45°. 求证：EF2＝AE2＋CF2.
【证明】如图，将△CBF绕点B逆时针旋转90°，可得△ABN，连结EN，由旋转的性质可得BN＝BF，AN＝CF，∠BAN＝∠BCF＝45°，∠CBF＝∠ABN，∴∠CAN＝∠CAB＋∠BAN＝45°＋45°＝90°，∴EN2＝AE2＋AN2.
正方形中的手拉手模型与等腰三角形中的手拉手模型类似，可仿照等腰三角形中的手拉手模型解题．
(1)如图①，求证：△BCG≌△DCE.
(2)如图②，连结DG，BE，判断DG2＋BE2是否为定值．若是，求这个定值；若不是，说明理由．
【解】DG2＋BE2是定值．如图①，连结BD，GE，设BG，DE交于点O，DE，CG交于点M，∵四边形ABCD，四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°.∵∠DCG＝α，∴∠BCG＝90°＋α，∠DCE＝90°＋α，即∠BCG＝∠DCE，
(3)如图③，当点G恰好落在DE上时，求α的值．