2024年宁夏吴忠市盐池县中考二模数学试题

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一、选择题（本大题共8小题，每题3分，满分24分）
1. 有理数的相反数是（ ）
A. B. C. 2024D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
【详解】解：有理数的相反数是2024，
故选：C．
2. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，故符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及完全平方公式逐项计算即可．
【详解】解：A、∵，选项A不正确，不符合题意；
B、∵，选项B不正确，不符合题意；
C、∵，选项C正确，符合题意；
D、∵，选项D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及完全平方公式，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2．
4. 如图，摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点G，当时，的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等，正确作出辅助线是解本题的关键．过点作，则有，，又由，，有即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，
过点作，

∵，
，
，，
∵，，
故选：B．
5. 计算：的结果是（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求算术平方根．先去绝对值，求算术平方根，最后再算减法，即可求解．
【详解】解：．
故选：A
6. 现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；
2、6、7；4、6、7； 其中能构成三角形的有2、6、7；4、6、7这两种情况，
所以能构成三角形的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边．
7. 如图，正六边形的边长为2，分别以点A，D为圆心，以，为半径作扇形，扇形．则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆、扇形面积的计算，根据题意和图形可知阴影部分的面积是正六边形的面积减去两个扇形的面积，从而可以解答本题．
【详解】解：∵正六边形的边长为2，
∴正六边形的面积是：，，
∴图中阴影部分的面积是：，
故选：B．
8. 一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：由图可知：，所以，二次函数y=ax2+bx+c图象开口向下，排除D，由c＞0，排除A，对称轴＞0，所以，排除B，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数、反比函数的图象及其性质．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，满分24分。）
9. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了多项式分解因式，先提取公因式2，再根据平方差公式分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】
故答案为．
10. 已知a、b为两个连续的整数，且，则________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法确定，可得，，进而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵a，b为两个连续的整数，
∴，，
∴，
故答案为：5．
11. 如图，，相交于点E，的面积等于3，的面积等于5，那么的面积是___________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线之间的距离处处相等，可得，进而得到，根据计算求解即可．
【详解】解：∵，
，
，
故答案为：8．
12. 如图，，，，是上的四个点，，则_____度．
【答案】140
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补和，同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以解答本题．
【详解】解：，，，是上的四个点，，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
故答案为：140．
【点睛】本题考的查圆周角定理和圆内接四边形性质，解题的关键是明确它们各自内容，灵活运用，解答问题．
13. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为________．
【答案】
【解析】
【分析】首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为20m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：；
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
∴，解得x=7．
故答案为： ．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
14. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体的最大深度，截面圆中弦长为，那么球的半径长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理可得，设球的半径为，则，再在中，由勾股定理得，然后代入求值，即可得出答案．
【详解】解：由题意可得，，，，
∵为半径，，
∴，
设球的半径为，即，则，
在中，由勾股定理可得 ，
即，
解得，
∴球的半径长为．
故答案为：．
15. 如图，正方形OAPB的顶点A，B分别在x轴和y轴上，矩形OCQD的顶点C，D分别在 边OA和y轴上，反比例函数的图像经过P，Q两点，BP，CQ交于点E．若四边形BDQE的面积为4，则点Q的坐标为__________．
【答案】Q（3，）
【解析】
【分析】根据反比例函数k值的几何意义可知OA×OB=OC×OD=16，再根据四边形OAPB是正方形，即可求出OA和OB的长度，最后结合矩形BDQE的面积，求出点Q的横坐标即可解答．
【详解】解：∵反比例函数解析式为：，
∴OA×OB=OC×OD=16，
∵四边形OAPB是正方形，
∴OA=OB=4，
∵四边形BDQE的面积为4，
∴四边形BOCE面积为16-4=12，
∴OC=3，即点Q的横坐标为3，
当x=3时，，
∴Q（3，）
【点睛】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，正方形的性质以及矩形的性质，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点A在直线上，点B的坐标是，，，，将先向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点B恰好落在直线上，则的值是___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了一次函数解析式，点坐标的平移．熟练掌握一次函数解析式，点坐标的平移是解题的关键．
由题意知，将代入，可求，即，点平移后的点坐标为，将代入得，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，即，
将代入得，，
解得，，
∴，
点平移后的点坐标为，即，
将代入得，，
解得，，
故答案为：6．
三、解答题（本大题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，满分72分。）
17. 解不等式组：并写出它的整数解．
【答案】解集为﹣1＜x＜3，不等式组的整数解为0、1、2．
【解析】
【详解】试题分析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
试题解析：解不等式3x﹣1＜x+5，得：x＜3，
解不等式＜x﹣1，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜3，
∴不等式组的整数解为0、1、2．
18. 在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”．
规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．
请根据如表的“接力游戏”回答问题：
（1）：①在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的．
A.等式的基本性质 B.不等式的基本性质 C.分式的基本性质 D.乘法分配律
②在“接力游戏”中，从_______同学开始出现错误，错误原因是______．
（2）：请你写出该分式化简的正确结果______．
【答案】（1）①C ②乙，去括号时，没有改变符号
（2）
【解析】
【分析】（1）：①根据分式的基本性质解答即可．②从乙同学开始出现错误，错误的原因是去括号时，没有变号．
（2）根据分式的化简，正确计算即可，
本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键．
【小问1详解】
①根据分式的基本性质得
故选C，
故答案为：C．
②从乙同学开始出现错误，错误的原因是去括号时，没有变号，
故答案为：乙，去括号时，没有变号．
【小问2详解】
：
原式
.
故答案为：.
19. 大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当时，．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高；
（3）若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
【答案】（1）
（2）火焰的像高为
（3）小孔到蜡烛的距离至少是
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键；
（1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把代入，再计算可得答案；
（3）由再建立不等式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意设：，
把代入，得，
关于x的函数解析式为：；
【小问2详解】
把代入，得，
∴火焰的像高为．
【小问3详解】
时，
，
，
，
答：小孔到蜡烛的距离至少是．
20. 已知：如图，四边形是平行四边形．
（1）用尺规作图，作的垂直平分线，分别交边、于点E、F；
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分别以点A和点C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，连接两弧的交点，分别交边、于点E、F，即为所求；
（1）根据垂直平分线的性质，得出，，证明，则，即可得出四边形是平行四边形，则四边形是菱形．
【小问1详解】
解：如图：即为所求作的图形．
【小问2详解】
证明：如图，在中，，
∴，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了尺规作图：作垂直平分线，垂直平分线性质，菱形的判定，解题的关键是掌握垂直平分线的作图方法，以及有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
21. 某电影院对团体购票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．
（1）求每张电影票的原定零售票价；
（2）为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，求平均每次降价的百分率．
【答案】（1）50元 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程和分式方程的应用，
（1）设每张门票的原定票价为元，则降价后的价格为元，根据按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元，列出方程，解方程即可；
（2）设原定票价平均每次的降价率为，根据原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，列出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设每张门票的原定票价为元，则降价后的价格为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：每张门票的原定票价为50元．
【小问2详解】
解：设原定票价平均每次的降价率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：原定票价平均每次的降价率为．
22. 校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩进行了统计、整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
信息一：10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
信息二：10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据：85，90，90，90，94．
信息三：
抽取的10名八年级学生的成绩扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______．
（2）该校七、八年级各有700名学生，估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有多少人？
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级学生对消防知识掌握得更好？请说明理由．
【答案】（1）95，90，20
（2）估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有490人
（3）七年级学生对消防知识掌握得更好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可以分别求出八年级10名学生“优秀”和“良好”的人数，再根据众数和中位数的定义即可求解；
（2）用样本估计总体即可求解；
（3）结合平均数、众数、中位数、方差进行分析，给出合理建议即可．
【小问1详解】
解：由学生成绩统计表可知，八年级10名学生中“优秀”等级所占百分比为，“良好”等级所占百分比为，
∴八年级“优秀”等级人数为：（人），
∴八年级“良好”等级为：（人），
∴八年级“合格”等级所占百分比，
∴，
∴八年级“合格”等级人数为：（人），
∴八年级10名学生中，中位数为将10名学生成绩从小到大排序后第5、6成绩的平均数，即八年级10名学生中“良好”等级的第3、4成绩的平均数，为（分），
10名七年级学生的成绩中，95出现次数最多，
∴；
故答案为：95，90，20；
【小问2详解】
解：估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有
（人）；
【小问3详解】
解：七年级学生对消防知识掌握得更好，
理由如下：
平均数：七、八年级学生成绩的平均数相同；
众数：七年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数高；
方差：七年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，即七年级学生成绩比八年级学生成绩更稳定．
综上所述，该校七年级学生对消防知识掌握得更好．
【点睛】本题考查了会从统计图中获取信息进行相关计算，众数、中位数的定义，平均数、众数、中位数、方差的特征，正确获取信息，会根据数据的集中趋势特征数和离散程度的特征数进行分析决策是解题的关键．
23. 如图，是的直径，点C在的延长线上，与相切于点D，，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切三角函数的定义．
（1）连接，根据圆周角定理和切线的性质求得，再利用等角的余角相等，即可证明；
（2）证明，求得，根据，求得，根据，求得，，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∵与相切于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴．
24. 如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形，其中，，此时它与出入口等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为．
（1）求点到地面的距离；
（2）在电动门抬起的过程中，求点所经过的路径长；
（3）一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：，，所有结果精确到
【答案】（1）
（2）
（3）汽车能安全通过，理由见解析
【解析】
【分析】（1）过点作于点，交于点，根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可；
（2）根据弧长公式解答即可；
（3）根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，交于点，
，，
，
；
【小问2详解】
点是点绕点旋转得到，
点经过的路径长为；
【小问3详解】
在上取，，作于点，交于点，交于点，当汽车与保持安全距离时，
汽车高度为，
，
，，
，，，
，
，
汽车能安全通过．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数，弧长的计算等知识，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）这个抛物线的顶点为P，连接，求的面积；
（3）点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值及此时点D的坐标．
【答案】（1）
（2）12 （3）最大值为，点D坐标为
【解析】
【分析】本题属于二次函数图像的动点问题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数的图像与性质、配方法等内容，
（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出抛物线顶点，作轴于点F，用梯形面积减去两个三角形面积即可求出；
（3）先求直线表达式，延长交x轴于点M，设点D坐标为，则，表示出并求出二次函数最值即可解决．
【小问1详解】
解：把，代入抛物线表达式，
，
解得：，
抛物线表达式为；
【小问2详解】
解：抛物线表达式为，
抛物线的顶点为，
作轴于点F，
，
，
抛物线当时，，
，
；
【小问3详解】
设直线表达式为，
把，，代入，
，
解得：，
直线表达式为，
延长交x轴于点M，
轴，
，
，
，
，
在中，，
设点D坐标为，
则，
，，
，
，
当时，有最大值为，
此时把代入抛物线表达式，得，
．
26. 动手操作
利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法．
如图1，将等腰直角三角形的边绕点B顺时针旋转得到线段，，，连接，过点做交CB延长线于点H．
（1）在图1中：易知，则 ；
思考探索
如图2，若为任意直角三角形，、、、分别用a、b、c表示．边绕点B顺时针旋转，得到，过点作，交BC延长线于点．
（2）在图2中：的面积为 ；
拓展延伸
（3）如图3，在中，，，，，，连接．
①求的面积；
②在中，在BC边的高上找一点D，使的值最小，求AD的长和的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）①18；②最小值为，
【解析】
【分析】（1）利用AAS证明，求出，则，问题随之得解；
（2）同（1），利用AAS证明，可得，再根据面积公式即可作答；
（3）①过点A作AE⊥BC于点E，由勾股定理求出AE的长度，过点作交延长线于点，再证明，可得，，问题随之得解；②由点C是点B关于AE的对称点可知的最小值为线段的长，由勾股定理求出的长，由比例线段求出DE的长，即可得到答案．
【详解】解：（1）由旋转的性质，则，，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）∵，
∴，
又∵，
∵，
∴，
在和中，
∴ ；
∴，
，
，
故答案为：；
（3）①过点A作AE⊥BC于点E，如图
∵，，，
∴，
∴，
过点作交延长线于点，
与（1）（2）同理，可证，
∵，
∴，
∴，
即，
解得，，
∴，
故答案为：；
②∵，，
∴，
在等腰中，，，
∴垂直平分，
∴点C是点B关于的对称点，则，
设与的交点为点D，则此时有最小值，如图：
即的最小值为线段的长度，
；
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴当时，有最小值．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，最短路径问题等知识，是几何变换综合题，证明是解题的关键．
接力游戏
老师：化简：
甲同学：原式
乙同学：
丙同学：
丁同学：
.
年级
平均数
中位数
众数
方差
“优秀”等级所占百分比
七年级
90
89
a
26.6
八年级
90
b
90
30