(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学拓展3导数与零点、不等式(精讲)(原卷版+解析)

这是一份(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学拓展3导数与零点、不等式(精讲)(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了函数的零点，双变量问题等内容，欢迎下载使用。


考点一 不等式成立
【例1】（2022辽宁省）已知函数，定义域都是，且为偶函数，为奇函数，．
(1)求函数和的解析式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
【一隅三反】
1．（2022·宁夏）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数恒成立，求实数的取值范围.
2（2022·贵州 ）已知函数.
(1)当时，求的最大值；
(2)当时，.若对恒成立，求的取值范围.
考点二 函数的零点
【例2】（2022·全国·高二专题练习）已知函数的图像在x＝1处的切线与直线垂直．
(1)求的解析式；
(2)若在内有两个零点，求m的取值范围；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的最大值．
【一隅三反】
1．（2022·广东广州·高二期末）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点、，求实数的取值范围.
2（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)当时，判断函数在上零点个数.
3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，其中.
(1)若的极小值为－16，求；
(2)讨论的零点个数.
考点三 双变量问题
【例3】（2021·江西·高安中学高二期中（理））巳知函数.
(1)求函数f（x）的最大值;
(2)若关于x的方程有两个不等实数根证明:
【一隅三反】
1（2022·陕西安康·高二期末（理））已知函数．
(1)若时，，求的取值范围；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．
2．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数（k为常数），函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当，时，有且只有两个不相等的实数根，且；有且只有两个不相等的实数，，且．证明：．
3．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点，
①求a的取值范围；
②证明：.
拓展3 导数与零点、不等式的综合运用（精讲）
考点一 不等式成立
【例1】（2022辽宁省）已知函数，定义域都是，且为偶函数，为奇函数，．
(1)求函数和的解析式；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
答案：(1)，(2)
【解析】（1）因为为偶函数，为奇函数，
所以，
由，，.
（2）因为为奇函数，所以为偶函数， ，当时，，
所以为上单调递增，又为偶函数，所以在上单调递减，所以，，所以．
根据题意，恒成立，所以．
故实数的取值范围是．
【一隅三反】
1．（2022·宁夏）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数恒成立，求实数的取值范围.
答案：(1)见解析(2)
【解析】（1）函数的定义域为，且，
当时，，当时，，当时，，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，，有两根－1，，
且，
，则；
，则；
故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.
综上可知：
当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）函数恒成立转化为在上恒成立.
令，则，
，，，，
故在上为增函数，在上为减函数.
所以，则，又，故实数的取值范围为.
2（2022·贵州 ）已知函数.
(1)当时，求的最大值；
(2)当时，.若对恒成立，求的取值范围.
答案：(1)0(2)
【解析】（1）函数的定义域为，当时，，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减.
所以.
（2）当时，，，
必要性：，，故，即.
充分性：当时，，故，恒成立.
函数在上是减函数，恒成立，满足.
综上所述：的取值范围是.
考点二 函数的零点
【例2】（2022·全国·高二专题练习）已知函数的图像在x＝1处的切线与直线垂直．
(1)求的解析式；
(2)若在内有两个零点，求m的取值范围；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数k的最大值．
答案：(1)；
(2)；
(3)3
【解析】（1），则，
∵函数的图像在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直，
∴，即，解得，
∴ ；
（2）由（1）得，则，
则，由得x＝1，
由得，由得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取得极小值也是最小值，
要使在内有两个零点，只需满足，即，
解得，
故实数的取值范围为；
（3）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立，
①当时，，显然成立，此时；
②当时， 恒成立，
令，则，
∵x＞0，∴恒成立，
由得，由得，由得0＜x＜1，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当x＝1时，取得极小值也是最小值，且，
∴；
③当时， 恒成立，
令，此时m（x）＜0，
由②得（），令，
，∴在上单调递增，
又，
由零点存在定理得存在，使得，有，
即，由得，由得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取得极大值也是最大值，且＝，∴，
综上所述，实数k的取值范围为，
∴实数k的最大值为3．
【一隅三反】
1．（2022·广东广州·高二期末）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有两个不同的零点、，求实数的取值范围.
答案：(1)答案见解析(2)
【解析】（1）解：函数的定义域为，，当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为；当时，由可得，由可得，此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：由（1）可知，当时，函数在上单调递增，此时函数至多一个零点，不合乎题意；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，且，所以，，故.令，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，即，所以，，所以，，，又因为，由零点存在定理可知，函数在、上各有一个零点，合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.
2（2022·安徽·歙县教研室高二期末）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)当时，判断函数在上零点个数.
答案：(1)答案见解析(2)两个
【解析】（1）由知定义域为，
①当时，在上 ，故单调递减，所以无极值.
②当时，由得:，
当时，
当时，.
所以函数有极小值为，无极大值.
（2）当时，，，
当时，，
当时，单调递增，且，，
故在上存在使得，而当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，，
所以，又，
故由零点的存在性定理在上存在一个零点，在上也存在一个零点.
所以在上有两个零点.
3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，其中.
(1)若的极小值为－16，求；
(2)讨论的零点个数.
答案：(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）
由题得，其中，
当时，，单调递增，无极值；
当时，令，解得或；令，解得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，，
所以当时，取得极小值，
所以，解得.
（2）
由（1）知当时，的极小值为，
的极大值为，

当，即时，有三个零点，如图①曲线 ；
当，即时，有两个零点，如图②曲线；
当，即时，有一个零点，如图③曲线；
当时，，易知有一个零点.
综上，当时，有一个零点；当时，有两个零点；当时，有三个零点.
考点三 双变量问题
【例3】（2021·江西·高安中学高二期中（理））巳知函数.
(1)求函数f（x）的最大值;
(2)若关于x的方程有两个不等实数根证明:
答案：(1)2(2)证明见详解
【解析】（1）因为，所以.
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
（2）方程
可化为.
设，显然在上是增函数，又，
所以有，即方程有两个实数根，.
由（1）可知，则有，所以的取值范围为.
因为方程有两个实数根，，所以，
则，要证，即证.
，
需证.
需证.
不妨设，令，则，即要证.
设，则，
所以在上是增函数，，即成立，故原式成立.
【一隅三反】
1（2022·陕西安康·高二期末（理））已知函数．
(1)若时，，求的取值范围；
(2)当时，方程有两个不相等的实数根，证明：．
答案：(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）∵， ，∴，
设 ，，
当时，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴，与已知矛盾．
当时，，∴在上单调递增，∴，满足条件；
综上，取值范围是．
（2）证明：当时，，当，，当，，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
不妨设，则，要证，只需证，
∵在区间上单调递增，∴只需证，
∵，∴只需证．
设，则，
∴在区间上单调递增，∴，∴，即成立，
∴．
2．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数（k为常数），函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当，时，有且只有两个不相等的实数根，且；有且只有两个不相等的实数，，且．证明：．
答案：(1)详见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）
因为，
当时，，函数在单调递增；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，函数在单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）
当时，，，
∴，
所以方程与的根互为倒数，
又因为方程有且只有两个不相等的实数根，，且，
方程有且只有两个不相等的实数根，，且，
所以，，可得，，
所以，
故要证，只需证明，
要证，只需证，
因为，所以，
因为在上单调递增，
所以只需证，
进而只需证，
因为，
只需证明，
构造函数，，
则，
所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，
则，即，
所以，即，
故．
3．（2022·重庆·万州纯阳中学校高二期中）设函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点，
①求a的取值范围；
②证明：.
答案：(1)当时，在为增函数，
当时，在上是减函数，在上为增函数；
(2)；详见证明过程．
【解析】(1)的定义域为，且，
当时，成立，所以在为增函数，
当时，
①当时，，所以在上为增函数，
②当时，，所以在上为减函数；
综上：当时，在为增函数，
当时，在上是减函数，在上为增函数，
(2)结合（1），当时，取得极小值，
又∵函数有两个零点，∴，可得，
综上所述，；
下面证明结论成立：
不妨设，
设，，
可得，，
∴在上单调递增，
∴，即，，，
∴当时， ，
又∵，，∴，
又∵当时，单调递增，
∴，即，
设，，则，两式相比得，
即，∴，
又∵，
令，则，
令，则，
则在内单调递减，即，即，
故，故在上单调递减，
∴，
∴，即；
综上所述，．