(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学拓展3导数与零点、不等式(精练)(原卷版+解析)

这是一份(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学拓展3导数与零点、不等式(精练)(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了已知函数，已知函数，其中，已知函数.，已知，.等内容，欢迎下载使用。

1．（2022·青海）已知函数
(1)当时，求的最大值；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
2．（2023·陕西西安 ）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，，求实数a的取值范围．
3．（2022·黑龙江·大庆实验中学 ）已知函数，其中
(1)求的单调区间；
(2)恒成立，求a的值．
4．（2022·四川南充）已知函数（其中，是自然对数的底数）．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)设，对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
5．（2022·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)求处的切线方程；
(2)求证：有且仅有一个极值点；
(3)若存在实数a使对任意的恒成立，求实数b的取值范围.
6．（2022·江苏·海安高级中学高二阶段练习）已知，.
(1)若存在，使成立，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使对任意恒成立?证明你的结论.
2 函数零点
1．（2022·陕西·西安中学高二期中）已知函数．
(1)若时，试讨论的单调性；
(2)若有两个零点时，求a的取值范围．
2．（2022·福建省福州高级中学高二期末）设函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)试判断的零点个数，并证明你的结论.
3．（2022·河南·睢县高级中学高二阶段练习（理））已知.
(1)讨论的单调性；
(2)若有一个零点，求k的取值范围.
4．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）设为实数，函数.
(1)求的极值；
(2)若曲线与轴仅有一个交点，求的取值范围.
5．（2022·江苏苏州·高二期末）已知函数且.
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求函数零点的个数.
6．（2022·全国·高二专题练习）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c且不等式f（x）<2x的解集为（1，3），对任意的x∈R都有恒成立.
(1)求f（x）的解析式；
(2)若恰有两个零点，求m的值.
3 双变量问题
1（2022·四川凉山·高二期末（理））已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：若，，则．
2．（2022·四川乐山·高二期末（文））已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)斜率为k的直线与曲线交于，两点，求证：．
3．（2022·重庆·高二阶段练习）已知函数，.
(1)求证：，；
(2)若存在、，且当时，使得成立，求证：.
4．（2022·河南·济源市基础教育教学研究室高二期末（文））已知函数的最小值为1．
(1)求实数的值；
(2)过点作图象的两条切线MA，MB，A()，B()是两个切点，证明：>1．
5．（2022·天津市蓟州区第一中学高二期中）已知函数
(1)若，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)当时，讨论f（x）的单调性；
(3)设f（x）存在两个极值点且，若求证：.
6．（2022·江苏·苏州外国语学校高二期中）已知函数，.若函数在定义域内有两个不同的极值点.
(1)求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
拓展3 导数与零点、不等式的综合运用（精练）
1 不等式成立
1．（2022·青海）已知函数
(1)当时，求的最大值；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.
答案：(1)(2)
【解析】（1）解：当时，，该函数的定义域为，
则，
由，得；由，得.
则在上单调递增，在上单调递减，
故的最大值为.
（2）解：对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立.
设，其中，则，
由，得；由，得.
则在上单调递增，在上单调递减.
从而，故，即的取值范围是.
2．（2023·陕西西安 ）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，，求实数a的取值范围．
答案：(1)递增区间为，递减区间为；(2).
【解析】（1）易知函数的定义域为．
当时，，∴
令，得；令，得
∴函数的单调递增区间为，
的单调递减区间为．
（2）
，
①当时，恒成立，在上单调递增，
∴此时 ，
②当，令，得；令，得 ，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴．
∵，，，
∴此时
③当，恒成立，在上单调递减．
∴此时，令，得.
要使，，只需在的最大值点
综上，实数a的取值范围为
3．（2022·黑龙江·大庆实验中学 ）已知函数，其中
(1)求的单调区间；
(2)恒成立，求a的值．
答案：(1)递减区间是，递增区间是；(2)2.
【解析】（1）函数的定义域为，求导得函数，
因，当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是.
（2）由（1）知，函数在处取得最小值，，
令，，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，则，
于是得恒成立，而恒成立，即恒成立，
从而得，所以.
4．（2022·四川南充）已知函数（其中，是自然对数的底数）．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)设，对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
答案：(1)答案见解析；(2).
【解析】（1）解：由定义域为，所以，
因为时，由，解得，，
①若，即时，恒成立，故在上单调递增；
②若，即时，由可得，或．
令可得，
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③若，即时，由可得，或，
令可得，
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）解：因为，
对于任意的，恒成立，
即可得对恒成立，
即对任意的恒成立，
令，
则，
令，则，则在上单调递减，
又，，
故存在唯一，使得，即，
所以当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
故，
由题意知，解得，故的取值范围为．
5．（2022·全国·高二专题练习）已知函数.
(1)求处的切线方程；
(2)求证：有且仅有一个极值点；
(3)若存在实数a使对任意的恒成立，求实数b的取值范围.
答案：(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】（1），而，故，
所以在处的切线方程为.
（2），令，则，
当时，，当时，，
故即在上为增函数，在上为减函数，
而时，恒成立，
当时，，
故在仅有一个变号零点，故有且仅有一个极值点.
（3）令，由题设可得：函数的最大值不大于0，
，根据（2）的结论可知有唯一极值点，
且当时，，时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
所以，此时，
所以，故，
由可得.
又由的存在性可得，
令，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，，
综上所述.
6．（2022·江苏·海安高级中学高二阶段练习）已知，.
(1)若存在，使成立，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使对任意恒成立?证明你的结论.
答案：(1)
(2)存在，证明见解析
【解析】（1）解：令，
则，
令，
若，则，
于是，所以在上单调递减，
所以，
要求，解得；
若，则令，，
则，
所以函数在上有且只有一个零点，
且当时，，当时，，
若，则，所以在上单调递增，
若，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增；
若，当时，，所以在上单调递减，
综上所述，当时，
，
由题意得或，
解得或，所以，
综上所述，a的取值范围是；
（2）
存在.
设，则，
可知，
令，则，
令，则，
所以函数在上递增，
当时，，
因此在上单调递减，即函数在上单调递减，
所以，
因此函数在上单调递减，
所以，
故当时，；
当时，，
则，
因此在上单调递减，即函数在上单调递减，，
因此在上单调递增，
所以，故；
综上所述，当时，对任意恒成立.
2 函数零点
1．（2022·陕西·西安中学高二期中）已知函数．
(1)若时，试讨论的单调性；
(2)若有两个零点时，求a的取值范围．
答案：(1)具体见解析(2)或
【解析】（1），，，
若，则令，解得，，解得，
故在上单调递增，在上单调递减；
若，令，得，
①当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；
②当，即时，，解得或，在和上单调递减，，解得，在上单调递增；
③当，即时，恒成立，故在单调递减．
综上所述，
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）.
当时，，，令，则，
当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增.
由且，
当时，，，故恒成立，
，由在上单调递增，
则只有一个零点；
当时，，此时不是的零点，时，，
令，由题意可知，有两个零点等价于在且时有两个零点，
，若，则，单调递增，最多有一个零点，不符合题意；
若，令，解得或，
当或时，，单调递增；
当或时，，单调递减，
而，，
当时，此时，而，故有且只有一个零点，不合题意；
当即，此时在上无零点，故在上需有两个不同的零点，故，即，
此时当时，，故当时，．
而当时，，，故．由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．
当，即，此时，故在上不存在零点．此时当时，，当时，，由零点存在定理及的单调性可得此时有两个不同的零点．
综上，或．
2．（2022·福建省福州高级中学高二期末）设函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)试判断的零点个数，并证明你的结论.
答案：(1)；
(2)解析过程见详解.
【解析】（1）因为，所以，因此，
于是有，而，
所以函数在点处的切线方程为：；
（2）判断的零点个数等价于函数的图象与直线的交点个数，
，
因为，
所以当时，单调递减，
当时，，当时，，所以函数的图象与直线有一个交点；
当时，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，
设，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
因此，所以，
当，时，都有，所以函数的图象与直线有二个交点，
综上所述：当时，函数有一个零点，
当时，函数有二个零点.
3．（2022·河南·睢县高级中学高二阶段练习（理））已知.
(1)讨论的单调性；
(2)若有一个零点，求k的取值范围.
答案：(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）的定义域为，
，当时，恒成立，在上单调递增.
当时，在上，，单调递增；
在上，，单调递减.
综上可知，时，在上单调递增.
时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）有一个零点，可得有一个实根，
令，.
令，得；令，得.
∴在上单调递增，在上单调递减.
∴.
又，
∴时，；时，.
大致图象如图所示，
若直线y＝－k与的图象有一个交点，
则或，即或.
∴k的取值范围是.
4．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）设为实数，函数.
(1)求的极值；
(2)若曲线与轴仅有一个交点，求的取值范围.
答案：(1)极小值为，极大值为
(2)
【解析】（1），
令，解得，
当时，；当时，；当时；，
所以，当时，取得极大值；
当时，取得极小值.
（2）
由,得
由题意知,曲线与轴仅有个交点,等价于函数的图象与直线仅有个交点，
因为,
当或时,当时,,
所以函数在区间和上单调递增,
在区间上单调递减,
所以函数的极大值为,函数的极小值为,
如图所示：
由图可知，和的图象仅有一个公共点,当且仅当:或,
即或,
所以,实数的取值范围为
5．（2022·江苏苏州·高二期末）已知函数且.
(1)当时，求函数的极值；
(2)当时，求函数零点的个数.
答案：(1)有极小值，无极大值
(2)零点个数为1
【解析】（1）
解：由题意得：
，
令，得或（舍去），
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数有极小值，无极大值.
（2）
由（1）得.因为，
①若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以有极大值，
极小值，又，
所以函数有1个零点.
②若，则，所以函数单调递增，
此时，所以函数有1个零点.
③若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以有极大值，显然极小值，
又，所以函数有1个零点.
综上所述，当时，函数的零点个数为1.
6．（2022·全国·高二专题练习）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c且不等式f（x）<2x的解集为（1，3），对任意的x∈R都有恒成立.
(1)求f（x）的解析式；
(2)若恰有两个零点，求m的值.
答案：(1)
(2) 或
【解析】（1）由 得 ，又的解集为，
所以 ①，
因为对任意的都有恒成立，
所以 ，将①代入解得， ，
所以 ；
（2）由 得
，
，
由 得 ，由 得或 ；
所以在上单调递减，在 ，上单调递增；
所以有极小值 ，有极大值 ，
若恰有两个零点，只需或；
解得 或 .
3 双变量问题
1（2022·四川凉山·高二期末（理））已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：若，，则．
答案：(1)时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意知：．
当时，当时，，在上单调递增；
当时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：∵，即，
又，∴要证，只需证，
即证 ①
设，，则，
∴在上单调递增，
∵，∴，不等式①成立，即成立．
2．（2022·四川乐山·高二期末（文））已知函数．
(1)求函数的最大值；
(2)斜率为k的直线与曲线交于，两点，求证：．
答案：(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）∵，令，得．当时，，单调递增；
当时，，单调递减，∴．
（2）
∵，又，则，则，欲证，
只需证．只要证，令，只要证，由知，只要证．
①设，∵，∴在是增函数，∴当时，，即；
②设，∵ ，∴在是增函数，∴当时，，即．
由①②知成立，则得证．
3．（2022·重庆·高二阶段练习）已知函数，.
(1)求证：，；
(2)若存在、，且当时，使得成立，求证：.
答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】(1)
证明：构造函数，其中，
则
，
因为，则，，
即当时，，所以，函数在上单调递减，
故当时，，即.
(2)
证明：先证明对数平均不等式，其中，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以，函数在上为减函数，当时，，
所以，当时，，
本题中，若，则，
此时函数在上单调递减，不合乎题意，所以，，
由（1）可知，函数在上单调递减，不妨设，则，
则，即，
所以，，
因为，则，
所以，，
所以，，
所以，，所以，，
由对数平均不等式可得，可得，所以，.
4．（2022·河南·济源市基础教育教学研究室高二期末（文））已知函数的最小值为1．
(1)求实数的值；
(2)过点作图象的两条切线MA，MB，A()，B()是两个切点，证明：>1．
答案：(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
，
当≤0时，<0，在单调递减，不合题意；
当>0时，在()上，<0，在()上，>0．
在单调递减，在单调递增，
故的最小值为；
（2）
证明：，
同理，，
两式相减得，不妨设，
要证>1．只须证>1．即，
即证，令，即证，
设，恒成立，
故h(t)为增函数，，故原式得证．
5．（2022·天津市蓟州区第一中学高二期中）已知函数
(1)若，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)当时，讨论f（x）的单调性；
(3)设f（x）存在两个极值点且，若求证：.
答案：(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【解析】(1)
若，则，所以，又，所以，即f（x）在点（1，0）处的切线斜率为2，所以切线方程为.
(2)
f（x）的定义域为（0，+∞），，设，其.
①当时，即时，，即，此时f（x）在（0，+∞）为单调递增函数.
②当时，即时，设两根为.
当时，，即，即f（x）的增区间为，.
当时，，即，即f（x）的减区间为.
综上：当时，f（x）的单增区间为；
当时，f（x）的增区间为
减区间为().
(3)
由（2），
因为f（x）存在两个极值点，所以存在两个互异的正实数根，
所以，则，所以，
所以
.
令，则，
∵，∴，∴在上单调递减，
∴，而，
即，∴.
6．（2022·江苏·苏州外国语学校高二期中）已知函数，.若函数在定义域内有两个不同的极值点.
(1)求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：.
答案：(1)；
(2)证明见解析．
【解析】(1)函数定义域为，
在内有两个不同的极值点、，等价于在内有两个不同的零点、．
设，由，
当时，，在上单调递增，至多只有一个零点，不符题意；
当时，在上，单调递增；在上，单调递减，
∴当时，，函数有两个零点，则必有，
即，解得．
易证，证明如下：
令，，
当时，，单调递减，当时，单调递增，
故，故，得证．
∴，又，
∴在和上各有一个零点、，此时：
故在定义域内有两个不同的极值点时，a的范围为；
(2)
方法1：由(1)可知是的两个零点，不防设，
由且，得．
∵．
令，则，
记，，
则，令，．
又，则，即，
∴在上单调递增，故，即成立．
∴不等式成立．
方法2：欲证，由，，则只需证：．
不妨设，
则且，则，
∴，
令，则，记，，
由，即在上单调递增，故，即成立.故．0
0
↓
极小值
↑
极大值
↓