2020-2021学年江苏省南京市六校联考高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京市六校联考高二（下）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省南京市六校联考高二（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）设，则在复平面内对应的点位于　　
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
2．（5分）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为　　
A．60 B．125 C．240 D．243
3．（5分）已知递增等比数列的前项和为，，，则　　
A．64 B．63 C．127 D．48
4．（5分）3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有　　
A．4种 B．5种 C．6种 D．8种
5．（5分）已知函数在处取得极大值，则的值为　　
A．或 B．1或2 C．1 D．2
6．（5分）甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有　　种．
A．12 B．24 C．48 D．120
7．（5分）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有　　
A．60种 B．78种 C．84种 D．144种
8．（5分）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是　　
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．（5分）已知复数，则下列结论中正确的是　　
A．的虚部为
B．
C．
D．在复平面内对应的点位于第四象限
10．（5分）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是　　

A．函数在处取得极大值
B．函数在处取得极小值
C．在区间上单调递减
D．的图象在处的切线斜率小于零
11．（5分）现安排高二年级，，三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是　　
A．所有可能的方法有种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
12．（5分）若，为自然对数的底数，则下列结论错误的是　　
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设，，且，则　　．
14．（5分）函数在区间，上的最小值是　　．
15．（5分）用数字0、1、2、3、4、5可以组成无重复数字且能被5整除的五位数有　　个．（用数字作答）
16．（5分）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是　　．
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．（10分）10件不同厂生产的同类产品：
（1）在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？
（2）若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？
18．（12分）已知是虚数单位，复数，．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面上对应的点在直线上，求复数的模．
19．（12分）已知函数在处的切线为．
（1）求实数，的值；
（2）求函数在上的最大值．
20．（12分）已知数列的前项和为，且，．数列是公差大于0的等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求．
21．（12分）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中．
（1）若每盒至多一球，则有多少种放法？
（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？
（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？
22．（12分）已知，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省南京市六校联考高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）设，则在复平面内对应的点位于　　
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【分析】利用复数的几何意义即可得出．
【解答】解：实部，虚部，复数所对应的点为，
复数所对应的点位于复平面的第四象限．
故选：．
【点评】本题考查了复数的几何意义，属于基础题．
2．（5分）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择的种数为　　
A．60 B．125 C．240 D．243
【分析】根据题意，分析可得每位同学有3种选择，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，
每位同学有3种选择，则5名同学有种选择，
故选：．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意分步、分类计数的区别，属于基础题．
3．（5分）已知递增等比数列的前项和为，，，则　　
A．64 B．63 C．127 D．48
【分析】先由题设求得等比数列的首项与公比，再利用等比数列的前项和公式求得结果．
【解答】解：设等比数列的公比为，
由题设可得：，解得：或，
数列是递增数列，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．
4．（5分）3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有　　
A．4种 B．5种 C．6种 D．8种
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将3名大学生分为2组，②将分好的2组安排到2个山村，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将3名大学生分为2组，有种分组方法，
②将分好的2组安排到2个山村，有种安排方法，
则有种分配方法，
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
5．（5分）已知函数在处取得极大值，则的值为　　
A．或 B．1或2 C．1 D．2
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，通过讨论的范围，结合函数的极大值得到关于的方程，解出即可．
【解答】解：由题意知，
，
令，解得：或，
当时，，可得，解得：，
此时在递增，在递减，在递增，
时，取极大值，满足题意，
当时，，可得，解得：（舍，
故，
故选：．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是中档题．
6．（5分）甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有　　种．
A．12 B．24 C．48 D．120
【分析】甲、乙两人必须相邻，利用捆绑法，都不站在两端，安排在23，或34位置，即可得出结论．
【解答】解：由题意，利用捆绑法，甲、乙两人必须相邻且都不站在两端，安排在23，或34位置，方法数为种．
故选：．
【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，正确运用捆绑法是关键．
7．（5分）数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有　　
A．60种 B．78种 C．84种 D．144种
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4四门选修课程为3组，②将分好的三组安排在三年内选修，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①将4四门选修课程分为3组，
若分为2、1、1的三组，有种分组方法，
若分为2、2、0的三组，有种分组方法，
若分为3、1、0的三组，有种分组方法
则一共有种分组方法，
②将分好的三组安排在三年内选修，有种情况，
则有种选修方式，
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题．
8．（5分）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是　　
A． B． C． D．
【分析】构造函数，可推出在上单调递减，由为奇函数，可得，故原不等式可转化为，从而得解．
【解答】解：设，则，
对任意实数，有，
，即在上单调递减，
为奇函数，
，即，
，
不等式等价于，即，
在上单调递减，，
不等式的解集是．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，还涉及函数的奇偶性，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．（5分）已知复数，则下列结论中正确的是　　
A．的虚部为
B．
C．
D．在复平面内对应的点位于第四象限
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：，
的虚部为1，，，在复平面内对应点的坐标为，在第一象限．
错误，正确．
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
10．（5分）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是　　

A．函数在处取得极大值
B．函数在处取得极小值
C．在区间上单调递减
D．的图象在处的切线斜率小于零
【分析】可借助导函数的图象判定，的解集，从而确定函数的单调区间及极值，进而得出结论．
【解答】解：由导函数的图象可知，

当时，；当时，；
即函数在上单调递增，在上单调递减，故正确；
根据函数极值点的定义，可知，函数在处取得极大值，故，错误；
根据函数导数的几何意义，可知，函数在处的导数，
即为函数在点，处的切线斜率，
因为，所以函数在处的切线斜率小于0，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查函数导数的综合应用，属于基础题．
11．（5分）现安排高二年级，，三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是　　
A．所有可能的方法有种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，每人有4种选择，则三人一共有种方法，错误，
对于，分三种情况讨论：①若有1名同学去甲工厂，则去甲工厂的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，
②若有两名同学去甲工厂，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，
③若三名同学都去甲工厂，此种情况唯一，则共有种安排方法，正确
对于，若必去甲工厂，则，两名同学各有4种安排，共有种安排，正确，
对于，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，正确
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
12．（5分）若，为自然对数的底数，则下列结论错误的是　　
A． B．
C． D．
【分析】构造函数，，对函数求导，然后结合导数判断，的单调性，结合单调性分析各选项即可判断．
【解答】解：令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因为，
所以，即，
所以，错误，正确；
令，则，，
当时，，（1），
故在上不单调，
故时，与大小关系不确定，，错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，比较函数值的大小，解题的关键是根据已知不等式特征，构造函数，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设，，且，则　　．
【分析】由已知结合复数相等的条件求得，的值，再由复数代数形式的乘除运算求解．
【解答】解：，，且，
，则，即，．
，，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的加减及乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
14．（5分）函数在区间，上的最小值是　　．
【分析】求出导函数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最小值即可．
【解答】解：函数，函数
，
令，得；．
当变化时，，在区间上的变化状态如下：

，
0

2



0

0


极大

极小
所以的单调递增区间是，，单调递减区间是，；
因为，（2），
函数在区间，上的最小值为：．
故答案为：．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查转化思想以及计算能力，正确求导是关键，是中档题．
15．（5分）用数字0、1、2、3、4、5可以组成无重复数字且能被5整除的五位数有　216　个．（用数字作答）
【分析】根据题意，五位数的个位必须为0或5，据此分2种情况讨论，求出每种情况的五位数数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数，
则五位数的个位必须为0或5，
①若0排在个位，可从1，2，3，4，5这5个数字中选4个排在前面四个数位，有种方法，
②若5排在个位，0不能在万位，则万位有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，安排在中间3个数位，有种方法，
则有个五位数，
故答案为：216．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，对有0与无0分类讨论是关键，也可以按末位是0还是5分类，突出分类讨论思想的考查，属于中档题．
16．（5分）已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是　，　．
【分析】存在，，使得成立，等价于：，，使得成立．利用导数研究函数的单调性，可得函数的值域；利用二次函数的单调性可得值域，进而得出结论．
【解答】解：存在，，使得成立，
等价于：，，使得成立，
，
函数在上单调递增，上单调递减，
时，函数取得极小值即最小值，
．
，可得函数在上单调递减，
．
．
因此实数的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了利用导数研究单调性最值、二次函数的单调性、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．（10分）10件不同厂生产的同类产品：
（1）在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？
（2）若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？
【分析】（1）10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，问题得以解决．
（2）分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，根据分步计数原理可得．
【解答】解：（1）10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有 680（种．
（2）分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有种方法，
共有（种．
【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题．
18．（12分）已知是虚数单位，复数，．
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面上对应的点在直线上，求复数的模．
【分析】（1）直接由实部为0且虚部不为0列式求得值；
（2）把复数对应的点的坐标代入，求得值，进一步求得与．
【解答】解：（1）是纯虚数，
，解得；
（2）由在复平面上对应的点在直线上，
得，即，得．
．
则．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．
19．（12分）已知函数在处的切线为．
（1）求实数，的值；
（2）求函数在上的最大值．
【分析】（1）求出函数的导数，利用切线的斜率以及函数值，列出方程组，然后求解即可；
（2）求出导函数，求出极值点以及端点值，然后求解函数的最值．
【解答】解：（1），
则，即，解得．
（2）由（1）知，则，
在区间，上，，解得，；，解得，，
所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，
所以函数在区间，上的最大值为（1）．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
20．（12分）已知数列的前项和为，且，．数列是公差大于0的等差数列，，且，，成等比数列．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求．
【分析】（1）由数列的递推式和等比数列的通项公式可得；由等差数列的通项公式求得首项和公差，可得；
（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
【解答】解：（1）由，可得时，，解得；
时，，
化为，
则；
数列是公差大于0的等差数列，
由，可得，
由，，成等比数列，可得，
即有，即，
则，
所以；
（2），
，
上面两式相减可得，
，
化简可得．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21．（12分）将四个编号为1，2，3，4的小球放入四个编号为1，2，3，4的盒子中．
（1）若每盒至多一球，则有多少种放法？
（2）若恰好有一个空盒，则有多少种放法？
（3）若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？
【分析】（1）根据题意，原问题等价于每个盒子放入一个小球，由排列数公式计算可得答案；
（2）根据题意，分2步进行分析：①将4个小球分为的三组，②将4个小盒中任选3个，放入三组小球，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2步进行分析：①先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，②列举其他三个编号与盒子的编号不同的小球的放法，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，若每盒至多一球，即每个盒子放入一个小球，
有种情况；
（2）根据题意，分2步进行分析：
①，将4个小球分为3组，其中1组2个小球，另外2组各有1个小球，有种分组方法，
②，将4个小盒中任选3个，放入三组小球，有种情况，
则有种不同的放法；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①，先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，假设4号球放在4号盒子里，
②，其余三个球的放法为，3，，，1，，共2种，
则有恰好有一个球的编号与盒子的编号相同放法有种．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
22．（12分）已知，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）对求导，令得或，列表格分析随着的增大，的变化情况，即可得出答案．
（2）根据题意得定义域为，的定义域为，令，只需，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为的定义域为，
又，
由得或，


0

2



0

0


增
极大
减
极小
增
所以的单调递增区间为和，递减区间为，
（2）因为定义域为，
令，
，
所以当时，；当时，，
所以（2），
则，所以，
故实数的取值范围为．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/12/1 15:58:14；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394