江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中调研测试数学试卷 Word版含答案

这是一份江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中调研测试数学试卷 Word版含答案，共19页。

南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试
高 二 数 学 2020.11
注意事项：
1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2＝2y的焦点为F，准线为l，则点F到直线l的距离为
A． B．1 C．2 D．4
2．已知向量a＝(－2，3，－1)，b＝(4，m，n)，且a∥b，其中m，n∈R，则m＋n＝
A．4 B．－4 C．2 D．－2
3．若sinθ＝2cos(π－θ)，则tan(θ＋)的值为
A．3 B． C．－3 D．－
4．在平面直角坐标系xOy中，若椭圆C：＋＝1与双曲线T：x2－＝1有相同的焦点，则双曲线T的渐近线方程为
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±4x D．y＝±2x
5．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－4＝0与两坐标轴分别交于点A，B，圆C经过A，B，且圆心在y轴上，则圆C的方程为
A．x2＋y2＋6y－16＝0 B．x2＋y2－6y－16＝0
C．x2＋y2＋8y－9＝0 D．x2＋y2－8y－9＝0

6．如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为


（第6题）
C1
（第7题）
A
B
C
B1
O
A．2 B．2 C．4 D．4





7．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，
∠BAC＝90°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，点M，N在双曲线C上．若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为
A．－1 B．－1 C．＋1 D．＋1
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．
9．已知两个不重合的平面α，β及直线m，下列说法正确的是
A．若α⊥β，m⊥α，则m∥β B．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β D．若m∥α，m∥β，则α∥β
10．在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆 ＋＝1的左、右焦点，点A在椭圆上．若△AF1F2为直角三角形，则AF1的长度可以为
A．1 B．2 C．3 D．4
N
（第11题）
O
M
P
l2
l1
11．如图，直线l1，l2相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到l1，l2的距离，则称(x，y)为点P的“距离坐标”．下列说法正确的是
A．距离坐标为(0，0)的点有1个
B．距离坐标为(0，1)的点有2个
C．距离坐标为(1，2)的点有4个
D．距离坐标为(x，x)的点在一条直线上
（第12题）
12．20世纪50年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石．人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及它们的过渡形态．其中立方八面体（如图所示）有24条棱、12个顶点、14个面（6个正方形、8个正三角形），它是将立方体“切”去8个“角”后得到的几何体．已知一个立方八面体的棱长为1，则
A．它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为2
B．它的任意两条不共面的棱所在直线都相互垂直
C．它的体积为
D．它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：x＋ay＝0和直线l2：2x－(a－3)y－4＝0，
a∈R．若l1与 l2平行，则l1与 l2之间的距离为．
14．在空间直角坐标系中，若三点A(1，－1，a)，B(2，a，0)，C(1，a，－2)满足
(－2)⊥，则实数a的值为．
15．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出自中国数学名著《九章算术·商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术·商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中PA⊥平面ABC，PA＝AC＝1，BC＝，则四面体PABC的外接球的表面积为．
A
B
C
P
（第15题）
第16题
16．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为．





四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在 ①sin(A－B)＝sinB＋sinC；②2acosC＝2b＋c；③△ABC的面积S＝(a2－b2－c2)
三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，D是边BC上的一点，∠BAD＝，且b＝4，c＝2，求线段AD的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．







18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆F：(x－2)2＋y2＝1，动圆M与直线l：x＝－1相切且与圆F外切．
（1）记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（2）已知A(－2，0)，曲线C上一点P满足PA＝PF，求∠PAF的大小．










19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC中点．
（1）求证：B1A∥平面C1BD；
D
B
B1
A1
（第19题）
C1
A
C
（2）若AA1＝AB＝3，BC＝4，且AB⊥BC，求三棱锥B－B1C1D的体积．








20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝1，点A，B是直线x－y＋m＝0(m∈R)与圆O的两个公共点，点C在圆O上．
（1）若△ABC为正三角形，求直线AB的方程；
（2）若直线x－y－＝0上存在点P满足·＝0，求实数m的取值范围．















21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA＝AD＝4，
（第21题）
P
A
B
C
D
E
BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝2，＝λ(0≤λ＜1)．
（1）若λ＝，求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
（2）设二面角B-AE-C的大小为θ，若|cosθ|＝，求λ的值．






22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0) 的左顶点与上顶点的距离为2，且经过点(2，)．
（1）求椭圆C的方程；
xA1
O
y
P
M
Q
．
（第22题图）
（2）直线l与椭圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点．若椭圆上存在点N满足
＝3，求证：△PQN的面积S为定值．















南京市2020－2021学年度第一学期期中调研测试
高二数学参考答案 2020.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．B 2．B 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
9．BC 10．ABC 11．ABC 12．ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．－ 15．4π 16．y＝－(x－14)2，
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．（本小题满分10分）
解：选①．
由条件① sin(A－B)＝sinB＋sinC，
在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin(A－B)＝sinB＋sin(A＋B)，
即 sinAcosB－cosAsinB＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB， ……………… 2分
从而sinB＝－2cosAsinB．
因为B为三角形内角，所以sinB≠0，所以cosA＝－．
因为A为三角形内角，所以A＝． ……………… 4分
(图)
O
P
M
N
l2

l1
在△ABC中，因为b＝4，c＝2，
故由正弦定理 ＝ 得4sinC＝2sinB，即2sinC＝sinB，
所以sinB＝2sinC＝2sin(－B)＝cosB－sinB，即2sinB＝cosB．
由sinB≠0知cosB≠0，因此tanB＝＝． ……………… 8分
因为∠BAD＝，所以AD＝AB·tanB＝． ……………… 10分
选②．
由条件②2acosC＝2b＋c，结合余弦定理得2a×＝2b＋c，
即 a2＝b2＋c2＋bc， ……………… 2分
所以cosA＝＝－，
因为A为三角形内角，所以A＝． ……………… 4分
(图)
O
P
M
N
l2

l1
在△ABC中，因为b＝4，c＝2，
故由正弦定理 ＝ 得4sinC＝2sinB，即2sinC＝sinB，
所以sinB＝2sinC＝2sin(－B)＝cosB－sinB，即2sinB＝cosB．
由sinB≠0知cosB≠0，因此tanB＝＝． ……………… 8分
因为∠BAD＝，所以AD＝AB·tanB＝． ……………… 10分
选③．
由条件③，△ABC的面积S＝(a2－b2－c2)，
得bcsinA＝(－2bccosA)，即sinA＝－cosA， ……………… 2分
因为A为三角形内角，所以sinA≠0，从而cosA≠0，
所以tanA＝＝－，所以A＝． ……………… 4分
(图)
O
P
M
N
l2

l1
在△ABC中，因为b＝4，c＝2，
故由正弦定理 ＝ 得4sinC＝2sinB，即2sinC＝sinB，
所以sinB＝2sinC＝2sin(－B)＝cosB－sinB，即2sinB＝cosB．
由sinB≠0知cosB≠0，因此tanB＝＝． ……………… 8分
因为∠BAD＝，所以AD＝AB·tanB＝． ……………… 10分
另解：A＝（略） ……………… 4分
在△ABC中，因为b＝4，c＝2，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝42＋22－2×4×2×cos＝28，
所以a＝2． ……………… 6分
由正弦定理得＝，则sinB＝＝＝，
又B为锐角，所以cosB＝＝，则tanB＝＝．……… 8分
在△ABD中，因为∠BAD＝，
所以AD＝AB·tanB＝． ……………… 10分

18．（本小题满分12分）
解：（1）设M(x，y)，圆M的半径为r．
由题意知，MF＝r＋1，M到直线l的距离为r．
方法一：点M到点F(2，0)的距离等于M到定直线x＝－2的距离，
根据抛物线的定义知，曲线C是以F(2，0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线．
故曲线C的方程为y2＝8x． ……………………6分
方法二：因为MF＝＝r＋1，|x＋1|＝r，x＞－1，
所以＝x＋2，化简得y2＝8x，
故曲线C的方程为y2＝8x． ……………………6分
（2）方法一：设P(x0，y0)，由PA＝PF，
得(x0＋2)2＋y02＝2[(x0－2)2＋y02]， ……………………8分
又y02＝8x0，解得x0＝2，故P(2，±4)， ……………………10分
所以kPA＝±1，从而∠PAF＝． …………………12分
方法二：过点P向直线x＝－2作垂线，垂足为Q．
由抛物线定义知，PQ＝PF，所以PA＝PQ， ……………………8分
在△APQ中，因为∠PQA＝，
所以sin∠QAP＝＝， ……………………10分
B1
（第19题）
A1
C1
B
D
A
C
O
E
从而∠QAP＝，故∠PAF＝． …………………12分
19．（本小题满分12分）
（1）证明：连结B1C交BC1于点O，连结OD．
在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝B1C1，BC∥B1C1，
所以四边形B1BCC1为平行四边形，
所以O为B1C中点．
又因为D为AC中点，
所以OD为△CB1A的中位线，
所以B1A∥OD． …………………3分
又因为B1AË平面C1BD，OD Ì平面C1BD，
所以B1A∥平面C1BD． …………………5分
（2）解：方法一：三棱锥B－B1C1D的体积就是三棱锥D－BB1C1的体积． …7分
过点D作DE⊥BC，垂足为E．
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B⊥平面ABC．
因为DEÌ平面ABC， 所以B1B⊥DE．
又因为DE⊥BC，且B1B，BCÌ平面B1BCC1，B1B∩BC＝B，
所以DE⊥平面B1BCC1，即DE为三棱锥D－BB1C1的高． ………9分
在△ABC中，AB＝3，BC＝4，且AB⊥BC，
所以AC＝＝5，sinC＝，
在Rt△DEC中，DC＝AC＝，所以DE＝DC×sinC＝．
又△BB1C1的面积S＝×BB1×B1C1＝×3×4＝6，
所以三棱锥D－BB1C1的体积V＝×S×DE＝3，
故三棱锥B－B1C1D的体积等于3． ………12分
方法二：三棱锥B－B1C1D的体积就是三棱锥B1－BDC1的体积． ………7分
因为（1）中已证B1A∥平面C1BD，
所以B1到平面BDC1的距离等于A到平面BDC1的距离．
因此三棱锥B1－BDC1的体积等于三棱锥A－BDC1的体积，
即等于三棱锥C1－ABD的体积．
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，
所以C1C为三棱锥C1－ABD的高． ………10分
因为AB＝3，BC＝4，且AB⊥BC，S△ABC＝×AB×BC＝6．
因为D是AC的中点，所以△ABD的面积S＝S△ABC＝3．
故三棱锥C1－ABD的体积V＝×S×C1C＝3，
即三棱锥B－B1C1D的体积等于3． ………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）由△ABC为正三角形，得∠AOB＝2∠ACB＝，所以∠ABO＝∠BAO＝，
所以原点O到直线AB的距离d＝1×sin＝． ………3分
由点到直线的距离公式得＝，解得m＝或－．
所以直线AB的方程为2x－2y＋＝0或2x－2y－＝0． ………5分
（2）方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)．
因为·＝0，所以点P在以AB为直径的圆上．
记该圆圆心为(x0，y0)，则是方程组的解，解得
故以AB为直径的圆的方程为(x＋)2＋(y－)2＝1－，其中－＜m＜． …9分
又点P在直线x－y－＝0上，即直线与圆有公共点，
所以≤，即2m2＋2m＋1≤0．
解得－≤m≤．
综上，实数m的取值范围是[－，]． ………12分
方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立直线AB与圆O方程，得
消去y得2x2＋2mx＋m2－1＝0． ①
所以x1，x2是①的两个解，
判别式△＝(2m)2－4×2×(m2－1)＞0，即－＜m＜，
且x1＋x2＝－m，x1x2＝． ………7分
设点P(x，y)，则＝(x－x1，y－y1)，＝(x－x2，y－y2)．
由·＝0，得(x－x1) (x－x2)＋(y－y1) (y－y2)＝0， ②
将y＝x－，y1＝x1＋m，y2＝x2＋m代入②，
整理得2x2－2(x1＋x2＋m＋)x＋2x1x2＋(m＋)(x1＋x2)＋(m＋)2＝0．
又x1＋x2＝－m，x1x2＝，所以2x2－2x＋m2＋m＋2＝0，
关于x的方程2x2－2x＋m2＋m＋2＝0有实数解， ………10分
因此(－2)2－4×2×(m2＋m＋2)≥0，即2m2＋2m＋1≤0，
解得－≤m≤．
综上，实数m的取值范围是[－，]． ………12分
21．（本小题满分12分）
解：因为平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PAÌ平面PAB，
所以PA⊥平面ABCD．
因为ADÌ平面ABCD，所以PA⊥AD．
又AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两互相垂直．
以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．…………2分
y
z
P
A
B
C
D
E
x
因为PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，
所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，
D(0，4，0)，P(0，0，4)．
（1）若λ＝，即E为PC中点，则E，
所以＝，＝，＝．
设平面ABE的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则即令z1＝1，得y1＝－2，
所以平面ABE的一个法向量为m＝(0，－2，1)． …………………4分
设直线DE与平面ABE所成角为α，
则sinα＝|cos＜，m＞|＝||＝． …………………6分
（2）因为＝λ(0≤λ＜1)，则E(2λ，2λ，4－4λ)．
设平面ABE的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则即令y2＝2，得z2＝，
所以平面ABE的一个法向量为n＝(0，2，)．
设平面AEC的一个法向量为l＝(x3，y3，z3)，
则即令x3＝1，得y3＝－1，
所以平面AEC的一个向量为l＝(1，－1，0)． ……………………9分
（或证明CD⊥平面PAC，从而为平面PAC的一个法向量）
因为二面角B-AE-C的大小为θ，且|cosθ|＝，
得|cos＜n，l＞|＝||＝，整理得3λ2＋2λ－1＝0，
解得λ＝，或λ＝－1(舍)．所以λ＝． ……………12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）椭圆C的左顶点(－a，0)，上顶点(0，b)．
因为左顶点与上顶点的距离为2，所以＝2，化简得a2＋b2＝12． ①
因为椭圆经过点(2，)，所以＋＝1，② …………2分
由①②解得a2＝8，b2＝4或a2＝6，b2＝6（舍去），
所以椭圆C的方程为＋＝1． …………4分
（2）当PQ斜率不存在时，N为(±2，0)，PQ方程为x＝±，易得PQ＝，
此时S＝×MN×PQ＝××＝． …………5分
当PQ斜率存在时，设PQ的方程为y＝kx＋m (m≠0)，
联立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－4)＝0，
由△＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－4)＞0，得0＜m2＜8k2＋4． （*）
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
因此PQ的中点M为(，)．
又因为＝3，所以N(，)，
将点M代入椭圆方程，得＋＝1，
化简得2k2＋1＝m2，符合（*）式． ……………9分
记点O到直线l的距离为d，
则S＝4S△OPQ＝2PQ×d＝2|x1－x2|×d
＝2××＝，
将2k2＋1＝m2代入，得S＝＝．
综上，△PQN的面积S为定值． …………12分