新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题46古典概型与概率的基本性质(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题46古典概型与概率的基本性质(原卷版+解析)，共66页。

知识点1、随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示.
知识点2、古典概型
（1）定义
一般地，若试验具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
（2）古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
知识点3、概率的基本性质
（1）对于任意事件都有：．
（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．
（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．
推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．
（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．
（5）概率的单调性：若，则．
（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．
【方法技巧与总结】
1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
(1)本试验是否具有等可能性；
(2)本试验的基本事件有多少个；
(3)事件是什么．
2、解题实现步骤：
(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；
(3)分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；
(4)利用公式求出事件的概率．
3、解题方法技巧：
(1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
(2)利用分析法求解古典概型．
①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．
②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．
【题型归纳目录】
题型一：简单的古典概型问题
题型二：古典概型与向量的交汇问题
题型三：古典概型与几何的交汇问题
题型四：古典概型与函数的交汇问题
题型五：古典概型与数列的交汇问题
题型六：古典概率与统计的综合
题型七：有放回与无放回问题的概率
题型八：概率的基本性质
【典例例题】
题型一：简单的古典概型问题
例1．（2023·全国·高三专题练习（理））池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·全国·高三专题练习（理））假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为（ ）
A．0.50B．0.45C．0.40D．0.35
例3．（2023·河北·武安市第一中学高三阶段练习）一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生1～9的随机数，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数：
917 966 191 925 271 932 735 458 569 683
431 257 393 627 556 488 812 184 537 989
则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023·全国·高三专题练习（文））从3名男生和2名女生中随机选取3人参加书法展览会，则选取的3人中至少有2名男生的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的.据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，例如：表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数大于40的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是（ ）
A．B．C．D．
变式4．（2023·全国·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”若在此对话的基础上5人名次的情况是等可能的，则最终丙和丁获得前两名的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式5．（2023·全国·成都七中高三开学考试（理））已知某校高三年级共​人，按照顺序从​到​编学号.为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有​个黑球和​个白球的不透明盒子中随机取出​个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二.问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级​人全部参与调查，经统计：有​人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为（ ）
A．​B．​C．​D．​
题型二：古典概型与向量的交汇问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，若向量，，则向量与所成的角为锐角的概率是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2023·全国·高三专题练习（理））从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·全国·高三专题练习）设，向量，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知向量.若分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率.
变式7．（2023·福建省福州外国语学校高三阶段练习）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（2，6），则向量与共线的概率为___________
题型三：古典概型与几何的交汇问题
例7．（2023·安徽马鞍山·二模（文））在边长为1的正方形四个顶点中任取两个点，则这两点之间距离大于1的概率为______.
例8．（2023·云南·一模（理））河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书.如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从点沿单位正方形的边以最短路径运动到点，共有种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过点的概率为______.
例9．（2023·安徽·安庆一中高三期末（理））连续掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线与圆相交的概率为___________.
变式8．（2023·四川·高考真题（文））在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积等于的平行四边形的个数为，则（ ）
A．B．C．D．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）平面内有个点等分圆周，从个点中任取3个，可构成直角三角形的概率为，连接这个点可构成正多边形，则此正多边形的边数为（ ）
A．6B．8C．12D．16
变式10．（2023·河北邯郸·高三开学考试）从正方体的个顶点和中心中任选个，则这个点恰好构成三棱锥的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式11．（2023·全国·高三专题练习（理））对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率等于（ ）
A．B．C．D．
变式12．（2023·浙江嘉兴·高三阶段练习）从圆内接正八边形的个顶点中任取个顶点构成三角形，则所得的三角形是直角三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
题型四：古典概型与函数的交汇问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，从集合A中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增的概率为__．
例11．（2023·全国·高三专题练习）一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则的概率为___________．
例12．（2023·全国·高三专题练习）对于定义域为D的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“不严格单调增函数”的概率是______．
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知四条直线，，，从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数的图象相切的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式14．（2023·河北·唐山市海港高级中学高三开学考试）已知函数．若a，b分别是从1，2，3中任取的一个数，则函数有两个极值点的概率为（ ）
A．B．
C．D．
变式15．（2023·河南·鹤壁高中高三阶段练习（理））一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1（x）=x，f2（x）=csx，f3（x）=x3，f4（x）=x5，f5（x）=sinx，f6（x）=|x|．现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，则所得函数是奇函数的概率是（ ）
A．0.2B．0.25C．0.75D．0.4
变式16．（2023·广东·金山中学高三阶段练习）设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（ ）
A．B．C．D．
变式17．（2023·江西·南昌市豫章中学高三开学考试（文））已知集合，则“使函数的定义域为”的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式18．（2023·广东·东莞市东华高级中学高三阶段练习）在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A．B．C．D．
变式19．（2023·江苏江苏·高三阶段练习）从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式20．（2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三阶段练习（理））从n个正整数1，2…n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n的值为（ ）
A．6B．8C．10D．14
题型五：古典概型与数列的交汇问题
例13．（2023·全国·高三专题练习（理））在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项中恰有两项相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·全国·高三专题练习（文））斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列满足，，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（ ）
A．B．C．D．
例15．（2023·河南·高三阶段练习（理））记数列的前项和为，已知，在数集中随机抽取一个数作为，在数集中随机抽取一个数作为.在这些不同数列中随机抽取一个数列，则是递增数列的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式21．（2023·全国·高三专题练习（文））记数列的前n项和为，已知，在数集中随机抽取一个数作为a，在数集中随机抽取一个数作为b，则满足的概率为( )
A．B．C．D．
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，若数列满足，从中任取两个数，则至少一个数满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式23．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）袋中装有大小相同的四个球.四球上分别标有数字“2”、“0”、“2”、“2”，现从中随机选取三个球，则所选三个球上的数字能构成等差数列的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，，若从该数列的前96项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为_________．
题型六：古典概率与统计的综合
例16．（2023·江西·高三阶段练习（理））下图是国家统计局7月发布的2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的月度走势，其中2022年1~2月看作1个月，现有如下说法：
①2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势；
②2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为5.9；
③从这12个增速中随机抽取2个，增速都超过10的概率为．
则说法正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
例17．（2023·四川·树德中学高三阶段练习（文））2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都市高新区体育中心举行．某学校统计了全校学生在国庆期间观看世乒赛中国队比赛直播的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计样本数据的中位数；
(2)采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在的学生中抽取6人．现从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，记“抽取的3人中恰有2人的观赛时长在”为事件，求．
例18．（2023·四川·树德怀远中学高三开学考试（文））2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值以及这100人中测试成绩在的人数；
(2)估计全市老师测试成绩的平均数和中位数（保留两位小数）；
(3)若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率.
变式25．（2023·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极大地满足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP．某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取1000人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
(1)估计该市市民每周利用“学习强国”时长在区间内的概率；
(2)估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长；
(3)若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取7人了解情况，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取的2人来自不同的组的概率．
变式26．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））某学校为了解高三尖子班数学成绩，随机抽查了60名尖子生的期中数学成绩，得到如下数据统计表：
若数学成绩超过135分的学生为“特别优秀”，超过120分而不超过135分的学生为“优秀”，已知数学成绩“优秀”的学生与“特别优秀”的学生人数比恰好为．
(1)求x，y，p，q的值；
(2)学校教务为进一步了解这60名学生的学习方法，从数学成绩“优秀”、“特别优秀”的学生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求至少抽到2名学生数学成绩“特别优秀”的概率．
变式27．（2023·四川·高三开学考试（理））致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动，并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．规定：成绩在内为优秀，成绩低于60分为不及格．
(1)求a的值，并用样本估算总体，能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求；
(2)若样本中成绩优秀的男生为5人，现从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析，求其中至少有1份是男生的概率．
【方法技巧与总结】
1、有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，即可解决此类问题．
2、求复杂事件的概率通常有两种方法：
一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用解法一，一定是将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用第二种，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
题型七：有放回与无放回问题的概率
例19．（2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）一个盒子里装有除颜色外完全相同的6个小球，盒子中有编号分别为1、2、3、4的红球4个，编号分别为4、5的白球2个，从盒子中任取3个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）.则在取出的3个小球中，小球编号最大值为4的概率是________.
例20．（2023·全国·高三专题练习）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
例21．（2023·全国·高三专题练习）一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）
A．X表示取出的最小号码
B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码
C．取出一个红球记2分，取一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数
变式28．（2023·全国·高三专题练习（文））纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式29．（2023·全国·高三专题练习）每次从0～9这10个数字中随机取一个数字（取后放回），连续取n次，依次得到n个数字组成的数字序列．若使该序列中的数字0至少出现一次的概率不小于0.9，则n的最小值是（ ）（参考数据）
A．23B．22C．21D．20
变式30．（2023·全国·高三专题练习）不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为．
(1)求白球的个数m；
(2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为X，求，．
变式31．（2023·全国·高三专题练习）已知甲袋中有4个白球2个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1个球.
(1)求甲袋中任取出的2个球为同色球的概率；
(2)求乙袋中任取出1球为白球的概率.
变式32．（2023·江西·南昌市八一中学三模（理））甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有6个大小和质地相同的球，其中有4个白球，2个红球．
(1)甲、乙先后不放回地各摸出1个球，求两球颜色相同的概率；
(2)甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸1个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为X，求X的分布列和期望．
变式33．（2023·黑龙江·哈尔滨三中高三学业考试）袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．
(1)若从袋中一次摸出2个小球，求这两个小球恰为异色球的概率；
(2)若从袋中一次摸出3个小球，求黑球与白球的个数都没有超过红球个数的概率；
(3)若从袋中不放回的取3次球，每次取1球，取到黑球记0分，取到白球记4分，取到红球记2分，求最后得分为8分的概率．
变式34．（2023·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球，其中白色球3个，黑色球2个．若从中任取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率为_____________；若从中任取2个球，记所取球中白球可能被取到的个数为，则随机变量的期望为_____________．
变式35．（2023·浙江·模拟预测）从装有大小完全相同的m个白球，n个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为X，若，则__________，__________．
题型八：概率的基本性质
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．0.5B．0.6C．0.8D．1
例23．（2023·全国·高三专题练习）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（ ）
A．0.4B．0.48C．0.6D．0.8
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知事件A､B相互独立，，则（ ）
A．0.58B．0.9C．0.7D．0.72
变式36．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
变式37．（2023·全国·高三专题练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式38．（2023·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)=（ ）
A．B．C．D．1
变式39．（2023·全国·高三专题练习）若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β)B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β)D．1－β(1－α)
变式40．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；②若为两个事件，则；③若事件两两互斥；④若满足且，则是对立事件.其中错误的命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江西·高三阶段练习（文））下图是国家统计局7月发布的2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的月度走势，其中2022年1~2月看作1个月，现有如下说法：
①2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势；
②2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为；
③从这12个增速中随机抽取1个，增速超过10的概率为．
则说法正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2023·福建·福州十八中高三开学考试）将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·四川成都·高三开学考试（文））从3男2女共5名医生中，抽取2名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为（ ）．
A．B．C．D．
4．（2023·上海交大附中高三开学考试）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图所示茎叶图，则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数约为8.60（按四舍五入精确到0.01）
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值小于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长的方差约为0.80（按四舍五入精确到0.01）
5．（2023·四川·树德怀远中学高三开学考试（理））20名学生，任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·四川·模拟预测（文））从集合中任取2 个不同的质数， 则的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（理））为进一步强化学校美育育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，某校开设了传统体育、美育、书法三门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则恰有2名同学选修传统体育的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）记分别为事件A，B发生的概率，则下列结论中可能成立的有（ ）
A．B．
C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（ ）
A．－B．C．D．
10．（2023·湖南·高三开学考试）已知数列的前n项和为，且或的概率均为.设能被3整除的概率为，则（ ）
A．B．C．D．当时，
11．（2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）盒中装有大小相同的5个小球（编号为1至5），其中黑球3个，白球2个.每次取一球（取后放回），则（ ）
A．每次取到1号球的概率为
B．每次取到黑球的概率为
C．“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件
D．“每次取到3号球”与“每次取到4号球”是对立事件
三、填空题
12．（2023·全国·高三专题练习）通过手机验证码登录哈罗单车，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为__．
13．（2023·全国·高三专题练习）现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配到甲校的概率为___________．
14．（2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）某个班级周一上午准备安排语文､数学､英语､物理､生物等5节课，则数学和物理排课不相邻的概率为___________.
15．（2023·云南大理·模拟预测）某校为落实“双减政策．在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲、乙、丙三名同学拟参加篮球、足球、乒乓球三项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为__________．
四、解答题
16．（2023·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者：
(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；
(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．
17．（2023·江西·赣源中学高三阶段练习（文））客家文化是指客家人共同创造的物质文化与精神文化的总和，包括客家方言、客家民俗、客家民居、客家山歌、客家艺术、客家人物、客家山水、客家诗文、客家历史、客家饮食、海内外客家分布等多方面.石城，是客家先民迁徙的重要中转站、客家民系的重要发源地、中华客家文化的重要发祥地，素有客家摇篮之美称.为弘扬和发展客家文化，石城县开展了丰富多彩的客家文化活动，引起了广大中学生对于客家文化的极大兴趣，某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名，对他们的客家文化知识了解程度进行评分调查（满分100分），被抽取的学生的评分结果如下茎叶图所示：
(1)分别计算甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的平均值和方差，并估计两个班级学生对客家文化知识了解的整体水平差异；
(2)若从得分不低于85分的学生中随机抽取2人参观客家文化摄影展，求这两名学生均来自乙班级的概率.
18．（2023·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）有3名志愿者在2022年10月1号至10月5号期间参加核酸检测工作．
(1)若每名志愿者在这5天中任选一天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加核酸检测工作的概率；
(2)若每名志愿者在这5天中任选两天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，记表示这3名志愿者在10月1号参加核酸检测工作的人数，求随机变量的分布列及数学期望．
19．（2023·江苏省泰兴中学高三阶段练习）现有三个白球，十五个红球，且甲、乙、丙三个盒子中各装有六个小球．
(1)若甲、乙、丙三个盒子中各有一个白球，且小明从三个盒子中任选两个盒子并各取出一个球，求小明取出两个白球的概率；
(2)若甲盒中有三个白球，小明先从甲盒中取出一个球，再从乙盒中取出一个球，最后再从丙盒中取出一个球，如此循环，直至取出一个白球后停止取球，且每次取球均不放回．若小明在第次取球时取到白球，求的概率分布和数学期望．
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
3990
8460
7980
2436
5987
3882
0753
8935
期中数学成绩（单位：分）
频数
频率
3
0.05
x
p
9
0.15
15
0.25
18
0.30
y
q
合计
60
1.00
ξ
1
2
3
P
专题46 古典概型与概率的基本性质
【考点预测】
知识点1、随机事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示.
知识点2、古典概型
（1）定义
一般地，若试验具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
（2）古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
知识点3、概率的基本性质
（1）对于任意事件都有：．
（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．
（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．
推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．
（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．
（5）概率的单调性：若，则．
（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．
【方法技巧与总结】
1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数与事件中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
(1)本试验是否具有等可能性；
(2)本试验的基本事件有多少个；
(3)事件是什么．
2、解题实现步骤：
(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；
(3)分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；
(4)利用公式求出事件的概率．
3、解题方法技巧：
(1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
(2)利用分析法求解古典概型．
①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．
②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．
【题型归纳目录】
题型一：简单的古典概型问题
题型二：古典概型与向量的交汇问题
题型三：古典概型与几何的交汇问题
题型四：古典概型与函数的交汇问题
题型五：古典概型与数列的交汇问题
题型六：古典概率与统计的综合
题型七：有放回与无放回问题的概率
题型八：概率的基本性质
【典例例题】
题型一：简单的古典概型问题
例1．（2023·全国·高三专题练习（理））池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数：
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8组，
所以估计四天中恰有三天下雨的概率为.
故选：B.
例2．（2023·全国·高三专题练习（理））假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：93 28 12 45 85 69 68 34 31 25 73 93 02 75 56 48 87 30 11 35据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为（ ）
A．0.50B．0.45C．0.40D．0.35
答案：A
【解析】解析：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一.
它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，
因此所求的概率为=0.50.
故选：A.
例3．（2023·河北·武安市第一中学高三阶段练习）一袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球，从中有放回的摸球3次，每次摸一个球．用模拟实验的方法，让计算机产生1～9的随机数，若1～4代表白球，5～9代表黑球，每三个为一组，产生如下20组随机数：
917 966 191 925 271 932 735 458 569 683
431 257 393 627 556 488 812 184 537 989
则三次摸出的球中恰好有两次是白球的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】20组随机数恰好有两个是的有191，271，932，393，812，184共6个，
因此概率为．
故选：B．
变式1．（2023·全国·高三专题练习（文））从3名男生和2名女生中随机选取3人参加书法展览会，则选取的3人中至少有2名男生的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】记3名男生分别为，，，2名女生分别为，，
从5人中随机选取3人，所有的可能结果为
，，，，，，，，，，共10种，
“其中至少有2名男生”对应的结果有7种，故所求概率为.
故选：B.
变式2．（2023·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的.据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，如图所示，例如：表示62，表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数大于40的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为共四类情况；
第一类：，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41或者81；
第二类：，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两位数可能32，36，72，76；
第三类：，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23，27，63，67；
第四类：，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为14或者18，
综上可知：所有的两位数有14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共计12个，
其中大于40的有41，63，67，72，76，81共计6个，
故这个两位数大于40的概率为，
故选：B.
变式3．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】每个位置可排0或1，故有2种排法，因此用6个数字的一个排列的总个数为，恰好有2个1的排列的个数共有，
故概率为：，
故选：D
变式4．（2023·全国·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”若在此对话的基础上5人名次的情况是等可能的，则最终丙和丁获得前两名的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】根据题意，当甲同学为第5名时，乙同学可能是第2，3，4名，故有种，
当甲同学不是第5名时，甲、乙同学可能是第2，3，4名，故有种，
故满足回答者的所有情况共种.
其中，最终丙和丁获得前两名的情况有两类，
当甲同学为第5名，丙和丁获得前两名时有种；
当甲同学不是第5名，丙和丁获得前两名时，有种，
所以，最终丙和丁获得前两名的情况有种，
所以，最终丙和丁获得前两名的概率为
故选：A
变式5．（2023·全国·成都七中高三开学考试（理））已知某校高三年级共​人，按照顺序从​到​编学号.为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有​个黑球和​个白球的不透明盒子中随机取出​个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二.问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级​人全部参与调查，经统计：有​人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为（ ）
A．​B．​C．​D．​
答案：B
【解析】根据题意，​人分为​（人）和​（人），
​人中将有​人回答“否”，则​人中有​(人)回答“否”，​人回答“是”，
则问是否带手机的回答是人数约占​，
该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数约为​（人）.
故选：B
题型二：古典概型与向量的交汇问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知，若向量，，则向量与所成的角为锐角的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】向量与所成的角为锐角等价于，且与的方向不同，
即，
则满足条件的向量有，
其中或时，与同向，故舍去，故共有4种情况满足条件，
又的取法共有种，
则向量与所成的角为锐角的概率是．
故选：B．
例5．（2023·全国·高三专题练习（理））从集合中随机抽取一个数a，从集合中随机抽取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数，
可以组成向量的个数是（个；
其中与向量垂直的向量是和，共2个；
故所求的概率为．
故选：B．
例6．（2023·全国·高三专题练习）设，向量，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
【解析】，
所以或或，
因此概率为＝.
故选：B.
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知向量.若分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率.
【解析】分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，有序数对可能情况有36种，
即，包含的情况有三种，
所以满足的概率为.
故答案为：.
变式7．（2023·福建省福州外国语学校高三阶段练习）将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量=（m，n），=（2，6），则向量与共线的概率为___________
答案：
【解析】试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次,共有种结果,
满足条件事件是向量与共线,
即，，
满足这种条件的有,共有2种结果,
向量与共线的概率,
故答案为：.
题型三：古典概型与几何的交汇问题
例7．（2023·安徽马鞍山·二模（文））在边长为1的正方形四个顶点中任取两个点，则这两点之间距离大于1的概率为______.
答案：
【解析】由题意，从正方形四个顶点中任取2个点，有，，，，，，共有6种结果，
若这2个点间的距离大于该正方形边长，则为，，共有2个结果，
所以对应的概率，
故答案为：
例8．（2023·云南·一模（理））河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书.如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从点沿单位正方形的边以最短路径运动到点，共有种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过点的概率为______.
答案：
【解析】一个质点从A点沿单位正方形的边以最短路径运动到B点，
共有n＝＝20种不同的路线，
则在这些路线中，该质点经过p点包含的基本事件有m＝6×2＝12种，
该质点经过p点的概率为P＝.
故答案为：.
例9．（2023·安徽·安庆一中高三期末（理））连续掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线与圆相交的概率为___________.
答案：
【解析】连掷骰子两次试验结果共有36种，要使直线与圆相交，
则，即满足．符合题意的有
，
共21种，
由古典概型的概率计算公式可得所求概率为．
故答案为：
变式8．（2023·四川·高考真题（文））在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积等于的平行四边形的个数为，则（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】设，，则以、为邻边的平行四边形的面积为
，
其中以原点为起点的向量有、、、、、，共个，
其中满足的向量、可以为、、，
则满足面积为的平行四边形的个数为，即，
其中能构成平行四边形的向量组有：、、
、、、、、
、、、、、
、、，共种，即，
因此，.
故选：B.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）平面内有个点等分圆周，从个点中任取3个，可构成直角三角形的概率为，连接这个点可构成正多边形，则此正多边形的边数为（ ）
A．6B．8C．12D．16
答案：C
【解析】从个点中任取3个点，共有种，
三个点要构成直角三角形，则有两个点为直径的端点，共有条直径，
还剩个点，从个点中取一个点即可，
则可构成直角三角形有，
所以可构成直角三角形的概率为，
解得，
所以共有个等分点，
所以正多边形的边数为12.
故选：C.
变式10．（2023·河北邯郸·高三开学考试）从正方体的个顶点和中心中任选个，则这个点恰好构成三棱锥的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】从正方体的个顶点和中心中任取个，有个结果，个点恰好构成三棱锥分两种情况：
①从正方体的个顶点中取个点，共有个结果，
其中四点共面有两种情况：一是四点构成侧面或底面，有种情况，
二是四点构成对角面（如平面），有种情况.
在同一个平面的有个，构成三棱锥有个；
②从正方体的个顶点中任取个，共有个结果，
其中所取点与中心共面，则这个点在同一对角面上，共有个结果，
因此，所选点与中心构成三棱锥有个.
故从正方体的个顶点和中心中任选个，
则这个点恰好构成三棱锥的个数为，故所求概率.
故选：D.
变式11．（2023·全国·高三专题练习（理））对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为从正方体6个面的中心中任取两点连成直线，可得条直线，
如图所示：
设正方体的边长为2，则，
，,
,
由正方体性质可得平面,平面,平面,
四边形,四边形，四边形均为正方形，
故当甲选时,乙选或或或或或时，甲，乙所选的点的连线垂直，
甲选时，乙选或或时，甲，乙所选的点的连线垂直，
所以甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线共有种选法，
所以甲选相对两个面的中心时，甲乙所选的点的连线垂直的选法有种，
若甲选相邻两个侧面的中心时，满足甲乙所选的点的连线垂直的选法有种，
故甲，乙所选的点的连线垂直的选法共有54种，
所以事件甲乙所选的点的连线垂直的概率,
故选：A.
变式12．（2023·浙江嘉兴·高三阶段练习）从圆内接正八边形的个顶点中任取个顶点构成三角形，则所得的三角形是直角三角形的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】从圆内接正八边形的个顶点中任取两点连成线段，其中有条为圆的直径，
若从这个顶点中任取个顶点构成三角形，所得的三角形是直角三角形，则其中直角三角形的斜边为圆的直径，
然后从剩余的个顶点（除去直角三角形斜边的顶点）中任取一个点，与斜边的顶点可构成直角三角形，
故所求事件的概率为.
故选：D.
题型四：古典概型与函数的交汇问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，从集合A中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增的概率为__．
答案：【解析】从集合中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增，则，
所以其概率为．
故答案为：．
例11．（2023·全国·高三专题练习）一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则的概率为___________．
答案：【解析】易判断，，为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，的取值范围是．
，，
所以．
故答案为：
例12．（2023·全国·高三专题练习）对于定义域为D的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“不严格单调增函数”的概率是______．
答案：【解析】基本事件总数为：把D中的5个数分成三堆：①1，1，3：，②1，2，2：,
则总共有种，
求函数是“不严格单调增函数”的情况，等价于在1，2，3，4，5中间有4个空，插入2块板分成3组，分别从小到大对应6,7,8共有种情况，
函数是“不严格单调增函数”的概率是
故答案为：.
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知四条直线，，，从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数的图象相切的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由题设，，当，得，若，则，即切点为的切线为；若，则，即切点为的切线为，当，得，若，则切点为，切线方程为：，若，则切点为，切线方程为：，故直线与的图象不相切，所以从已知三条直线中任取两条共有三种情况，与的图象相切只有，故概率为．
故选：B
变式14．（2023·河北·唐山市海港高级中学高三开学考试）已知函数．若a，b分别是从1，2，3中任取的一个数，则函数有两个极值点的概率为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由题意得有两个根,则有，解得，
a，b分别是从1，2，3中任取的一个数，表示为，
有如下，共种情况，
其中满足的有，共6种情况，
则函数有两个极值点的概率为，即，
故选:C．
变式15．（2023·河南·鹤壁高中高三阶段练习（理））一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1（x）=x，f2（x）=csx，f3（x）=x3，f4（x）=x5，f5（x）=sinx，f6（x）=|x|．现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，则所得函数是奇函数的概率是（ ）
A．0.2B．0.25C．0.75D．0.4
答案：D
【解析】由题可知为奇函数，从盒子中任取2张卡片抽取2个共有15种方法，抽到中的两个有6种可能，所以概率为
故选：D
变式16．（2023·广东·金山中学高三阶段练习）设函数，若是从三个数中任取一个，是从五个数中任取一个，那么恒成立的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】当时，
当且仅当时，取“＝”，
∴，
于是恒成立就转化为成立；
当时， ，
设事件A：“恒成立”，
则基本事件总数为15个，即
（0，1），（0，2）（0，3），（0，4），（0，5），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
事件A包含事件：（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）共9个
所以.
故选：A.
变式17．（2023·江西·南昌市豫章中学高三开学考试（文））已知集合，则“使函数的定义域为”的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意知
又因为，
所以数形成的数组有，共36种情况，
其中，
，
共17种情况满足，
所以所求概率
故选：C.
变式18．（2023·广东·东莞市东华高级中学高三阶段练习）在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】不超过18的素数有：2,3,5,7,11,13,17，
随机选取两个不同的数有种，
和等于16的有共2种，
所以和等于16的概率是.
故选:B.
变式19．（2023·江苏江苏·高三阶段练习）从属于区间的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】区间的整数共有7个，则质数有2，3，5，7共4个；非质数有3个；
设事件：从属于区间的整数中任取两个数，至少有一个数是质数，
由，
故选：
变式20．（2023·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三阶段练习（理））从n个正整数1，2…n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n的值为（ ）
A．6B．8C．10D．14
答案：B
【解析】两数之和为有两种情况，故，故，解得.
故选：B
题型五：古典概型与数列的交汇问题
例13．（2023·全国·高三专题练习（理））在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项中恰有两项相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】展开式通项为，
由题意．
所以当时为整数，相应的项为有理项，
因为二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理项，6项是无理项，
所求恰有两项有理项相邻的概率为．
故选：B．
例14．（2023·全国·高三专题练习（文））斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列满足，，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由斐波那契数列的递推关系可知，前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
所以基本事件数共有12，
其中质数有2，3，5，13，89，共5种，
故是质数的概率为．
故选：A．
例15．（2023·河南·高三阶段练习（理））记数列的前项和为，已知，在数集中随机抽取一个数作为，在数集中随机抽取一个数作为.在这些不同数列中随机抽取一个数列，则是递增数列的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由已知，当时，，
当时，，
因为数列为单调递增数列，则，即，即，
所有样本点有：、、、、、、、、，共个，
其中，满足是递增数列的样本点有：、，共个，
故所求概率为.
故选：B.
变式21．（2023·全国·高三专题练习（文））记数列的前n项和为，已知，在数集中随机抽取一个数作为a，在数集中随机抽取一个数作为b，则满足的概率为( )
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由己知得，
如果，则，满足，概率为，
如果，则是的最小值，根据二次函数性质可知，a＞0，故，此时概率为，
∴的概率为，
故选：D．
变式22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，若数列满足，从中任取两个数，则至少一个数满足的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由于①，当时，得，解得；
当时，②，①-②化简可得，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；
因为，所以，
令得，解得或，
从中任取两个数共有，，，，，，
，，，，，，，，15种，
其中至少一个6或7的有9种，
所以至少一个数满足的概率为，
故选：B.
变式23．（2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）袋中装有大小相同的四个球.四球上分别标有数字“2”、“0”、“2”、“2”，现从中随机选取三个球，则所选三个球上的数字能构成等差数列的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】从四个球中任取3个，共有种不同的取法，其中能成等差数列的三个数的情况只有一种，为“2”、“2”、“2”.所以概率为.
故选:D.
变式24．（2023·全国·高三专题练习）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，，若从该数列的前96项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为_________．
答案：
【解析】由题意可知，该数列连续三个数有两个奇数，一个偶数，则该数列的前96项中奇数共有，即这个数是奇数的概率为.
故答案为：
题型六：古典概率与统计的综合
例16．（2023·江西·高三阶段练习（理））下图是国家统计局7月发布的2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的月度走势，其中2022年1~2月看作1个月，现有如下说法：
①2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势；
②2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为5.9；
③从这12个增速中随机抽取2个，增速都超过10的概率为．
则说法正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：D
【解析】从2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势，故①正确；
2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为，故②正确；
从这12个增速中随机抽取2个，都超过10的概率，故③正确.
故选:D．
例17．（2023·四川·树德中学高三阶段练习（文））2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都市高新区体育中心举行．某学校统计了全校学生在国庆期间观看世乒赛中国队比赛直播的时长情况（单位：分钟），并根据样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计样本数据的中位数；
(2)采用以样本量比例分配的分层随机抽样方式，从观看时长在的学生中抽取6人．现从这6人中随机抽取3人在全校交流观看体会，记“抽取的3人中恰有2人的观赛时长在”为事件，求．
【解析】（1）由题意得,解得，
由频率分布直方图可知,观看时长在分钟以下的样本所占比例为，
所以样本数据的中位数为160；
（2）由题意，观看时长在，对应的频率分别为和，
所以采用分层随机抽样的方式在这两个区间中应分别抽取4人和2人，
设观看时长在的4人为观看时长在的2人为，
从中抽取3人的基本事件有：共20个，
其中事件的基本事件有共12个，所求概率为
例18．（2023·四川·树德怀远中学高三开学考试（文））2021年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分100分），从该市参加测试的数学老师中抽取了100名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值以及这100人中测试成绩在的人数；
(2)估计全市老师测试成绩的平均数和中位数（保留两位小数）；
(3)若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，并在这6人中再抽取2人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1名老师被抽到的概率.
【解析】（1）由题意得，解得，
所以这100人中测试成绩在的人数为（人），
（2）平均数为分，
因为前2组的频率和为，前3组的频率为，
所以中位数在中，设中位数为，则
，解得，
所以中位数约为分，
（3）第三组的频率为，第四组的频率为，第五组的频率为，
所以从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6人作学习心得交流分享，三组人数分别为3人，2人和1人，
设第三组抽取的人为，第四组抽取的人为，第五组抽取的人为，
则从这6人中抽取2人的所有情况如下：
,,，,共15种，
其中第四组至少有1名老师被抽到的有：,，共9种，
所以第四组至少有1名老师被抽到的概率为.
变式25．（2023·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极大地满足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP．某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取1000人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
(1)估计该市市民每周利用“学习强国”时长在区间内的概率；
(2)估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长；
(3)若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取7人了解情况，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取的2人来自不同的组的概率．
【解析】（1）由题意知，该市市民每周利用“学习强国”时长在内的频率为，
所以估计该市市民每周利用“学习强国”时长在内的概率为0.3．
（2）由题意知各组的频率分别为0.05，0.1，0.25，0.3，0.15，0.1，0.05，
所以，
所以估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长在6.8小时．
（3）由（2）知，利用“学习强国”时长在和的频率分别为0.25，0.1，故两组人数分别为250，100，
采用分层抽样的方法从组抽取人数为，记作a，b，c，d，e；从组抽取人数为，记作A，B；
从7人中抽取2人的基本事件有，共21个，来自不同组的基本事件有，共10个，
故所求概率．
变式26．（2023·陕西·安康市教学研究室三模（文））某学校为了解高三尖子班数学成绩，随机抽查了60名尖子生的期中数学成绩，得到如下数据统计表：
若数学成绩超过135分的学生为“特别优秀”，超过120分而不超过135分的学生为“优秀”，已知数学成绩“优秀”的学生与“特别优秀”的学生人数比恰好为．
(1)求x，y，p，q的值；
(2)学校教务为进一步了解这60名学生的学习方法，从数学成绩“优秀”、“特别优秀”的学生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求至少抽到2名学生数学成绩“特别优秀”的概率．
【解析】（1）根据题意有，
解得，
．
（2）用分层抽样的方法选取5人，则数学成绩“特别优秀”的有人，“优秀”的有人．
设抽到3名数学成绩“特别优秀”的学生为，抽到2名数学成绩“优秀”的学生为，从5人中选取3人的所有情况为，，共10种情况，
至少抽到2人数学成绩”特别优秀”的为，有7种情况，
∴至少抽到2名学生数学成绩“特别优秀”的概率．
变式27．（2023·四川·高三开学考试（理））致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动，并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．规定：成绩在内为优秀，成绩低于60分为不及格．
(1)求a的值，并用样本估算总体，能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求；
(2)若样本中成绩优秀的男生为5人，现从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析，求其中至少有1份是男生的概率．
【解析】（1）由频率分布直方图得，
解得，
成绩不及格的频率为，
∴“成绩不及格”的概率估计值为21％，
∵21％＞20％，
∴不能认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求．
（2）方法一：由（1）可知样本中成绩优秀有20人，其中男生5人，故女生15人，
记事件A＝“从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析，求其中至少有1份是男生”，
则，
∴所求概率为．
方法二：由（1）可知样本中成绩优秀的有20人，其中男生5人，故女生15人，
记事件A＝“从优秀答卷中随机选取3份，其中至少有1份是男生”，
则“从优秀答卷中随机选取3份，全是女生”，
则，
∴，
∴所求概率为．
【方法技巧与总结】
1、有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，即可解决此类问题．
2、求复杂事件的概率通常有两种方法：
一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用解法一，一定是将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用第二种，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
题型七：有放回与无放回问题的概率
例19．（2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）一个盒子里装有除颜色外完全相同的6个小球，盒子中有编号分别为1、2、3、4的红球4个，编号分别为4、5的白球2个，从盒子中任取3个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）.则在取出的3个小球中，小球编号最大值为4的概率是________.
答案：【解析】由题意，从6个小球，任取3个小球，可得基本事件总数为种，
若编号为4的球有且只有一个且为白球，有种取法；
若编号为4的球有且只有一个且为红球，有种取法；
若编号为4的球红球白球都取到，有种取法，
小球编号最大值为4的基本事件个数为种，
所以小球编号最大值为4的概率力.
故答案为：
例20．（2023·全国·高三专题练习）从标有1，2，3，4的卡片中不放回地先后抽出两张卡片，则4号卡片“第一次被抽到的概率”、“第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
答案：A
【解析】4号卡片“第一次被抽到的概率”，
“第二次被抽到的概率”，
“在整个抽样过程中被抽到的概率”．
故选：A.
例21．（2023·全国·高三专题练习）一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10．现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ ）
A．X表示取出的最小号码
B．若有放回的取球时，X表示取出的最大号码
C．取出一个红球记2分，取一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分
D．若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数
答案：C
【解析】超几何分布的概念为：设总体有N个，其中含有M个不合格品。若从中随机不放回抽取n个产品，
则不合格品的个数X是一个离散随机变量，若n>M，则可能取0,1,2…，M，
由古典方法可以求得的概率是：
，，
假如n≤M，则X可能取0,1,2…，n；此时求得的概率是：
，，
根据超几何分布的定义，可知ABD均不合要求，C选项满足
A选项，X可能取值为1,2,3,4,5,6,7，
，，，
，，，
，
X的分布列为：
B选项，若有放回的取球时，X表示取出的最大号码，
则X的取值可能为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，
，，
，
，
，故不满足超几何分布；
C选项，X表示取出的4个球的总得分，则X的取值可能为4,5,6,7,8，
，，
，，
，
显然满足超几何分布，
D选项，若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数，
则X的可能取值为0,1,2,3,4，
由于是有放回的取球，故，故D不满足超几何分布；
故选：C
变式28．（2023·全国·高三专题练习（文））纸箱里有编号为1到9的9个大小相同的球，从中不放回地随机取9次，每次取1个球，则编号为偶数的球被连续抽取出来的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】从纸箱中不放回地随机取9次，共有种情况，
偶数的球被连续抽取出来，共有，
则偶数的球被连续抽取出来的概率.
故选：C
变式29．（2023·全国·高三专题练习）每次从0～9这10个数字中随机取一个数字（取后放回），连续取n次，依次得到n个数字组成的数字序列．若使该序列中的数字0至少出现一次的概率不小于0.9，则n的最小值是（ ）（参考数据）
A．23B．22C．21D．20
答案：B
【解析】有放回地排列个数字，得个基本事件，其中不含0的基本事件为．
由题意得，即，∴．
∴最小取22．
故选：B．
变式30．（2023·全国·高三专题练习）不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为．
(1)求白球的个数m；
(2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为X，求，．
【解析】（1）由题意知，袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，
因为第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为，
可得，解得．
（2）由题意，随机变量可能为，
则，，，
所以随机变量的分布列为：
则期望为，
方差为.
变式31．（2023·全国·高三专题练习）已知甲袋中有4个白球2个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1个球.
(1)求甲袋中任取出的2个球为同色球的概率；
(2)求乙袋中任取出1球为白球的概率.
【解析】（1）由题意，从甲袋中任取出的2个球均为白色的概率为，任取出的2个球均为黑色的概率为，故从甲袋中任取出的2个球为同色球的概率为
（2）由题意，从甲袋中任取出的2个球均为白色和均为黑色，或一黑一白三种情况.
当甲袋中任取出的2个球均为白色时，从乙袋中任取出1球为白球的概率为；当甲袋中任取出的2个球均为黑色时，从乙袋中任取出1球为白球的概率为；
当甲袋中任取出的2个球为一黑一白时，概率为，故再从乙袋中任取出1球为白球的概率为.
故乙袋中任取出1球为白球的概率为
变式32．（2023·江西·南昌市八一中学三模（理））甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有6个大小和质地相同的球，其中有4个白球，2个红球．
(1)甲、乙先后不放回地各摸出1个球，求两球颜色相同的概率；
(2)甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸1个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次数为X，求X的分布列和期望．
【解析】(1)两球颜色相同分为都是红球或白球，其概率为；
(2)依题意X=2，3，4，5，
，
X=3，就是前2个一个是红球，一个是白球，第3个是红球， ，
X=4，就是前3个有2个白球一个红球，第4个是红球，或前四个全是白球，
，
X=5，分为前4个球中有3个白球1个红球，第5个是红球，或者是前4个球中3个白球一个红球，
第5个是白球 ，
分布列为：
数学期望；
变式33．（2023·黑龙江·哈尔滨三中高三学业考试）袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．
(1)若从袋中一次摸出2个小球，求这两个小球恰为异色球的概率；
(2)若从袋中一次摸出3个小球，求黑球与白球的个数都没有超过红球个数的概率；
(3)若从袋中不放回的取3次球，每次取1球，取到黑球记0分，取到白球记4分，取到红球记2分，求最后得分为8分的概率．
【解析】(1)摸出的2个小球为异色球的种数为++ =19，从8个球中摸出2个小球的种数为，故所求概率；
(2)从袋中一次摸出3个小球，黑球与白球的个数都没有超过红球个数有三种情况：
①摸出1个红球，1个黑球，1个白球，共有种；
②摸出2个红球，1个其他颜色球，共有种；
③摸出3个球均为红球， 共有种；
因为从8个球中摸出3个小球的种数为，
所以所求概率；
(3)由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球1个黑球或1个白球2个红球，
所以所求概率.
变式34．（2023·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球，其中白色球3个，黑色球2个．若从中任取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率为_____________；若从中任取2个球，记所取球中白球可能被取到的个数为，则随机变量的期望为_____________．
答案： 【解析】“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率，
由题意，的可能值为，则，，，
所以.
故答案为：，.
变式35．（2023·浙江·模拟预测）从装有大小完全相同的m个白球，n个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为X，若，则__________，__________．
答案： 2
【解析】由题意知：摸到白球的概率为，则，则，解得；
摸到白球的概率为，则.
故答案为：2；.
题型八：概率的基本性质
例22．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（ ）
A．0.5B．0.6C．0.8D．1
答案：B
【解析】因为，，
则，所以事件与事件不相互独立，
．
故选：B
例23．（2023·全国·高三专题练习）一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（ ）
A．0.4B．0.48C．0.6D．0.8
答案：A
【解析】目标受损但未击毁的概率是.
故选：A
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知事件A､B相互独立，，则（ ）
A．0.58B．0.9C．0.7D．0.72
答案：A
【解析】由题意
故
故选：A
变式36．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙获胜的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】记“甲获胜”为事件，“和棋”为事件，“乙获胜”为事件，则，，所以
．
故选：D
变式37．（2023·全国·高三专题练习）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因随机事件，互斥，则，
依题意及概率的性质得，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
变式38．（2023·全国·高三专题练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)=（ ）
A．B．C．D．1
答案：B
【解析】A包含向上的点数是1，3，5的情况，B包含向上的点数是1，2，3的情况，所以A∪B包含了向上的点数是1，2，3，5的情况.故P(A∪B)=.
故选：B．
变式39．（2023·全国·高三专题练习）若P(ξ≤x2)＝1－β，P(ξ≥x1)＝1－α，其中x1A．(1－α)(1－β)B．1－(α＋β)
C．1－α(1－β)D．1－β(1－α)
答案：B
【解析】由随机事件概率的性质得P(x1≤ξ≤x2)＝P(ξ≤x2)＋P(ξ≥x1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β).
故选：B
变式40．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；②若为两个事件，则；③若事件两两互斥；④若满足且，则是对立事件.其中错误的命题个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：D
【解析】对于①：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；故①正确；
对于②：若为两个事件，则；故②不正确；
对于③：若事件两两互斥，若，则，故③不正确；
对于④：对于几何概型而言，若事件满足，，则不一定 是对立事件，
故④错误.
所以错误的命题有个，
故选：D
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江西·高三阶段练习（文））下图是国家统计局7月发布的2021年6月至2022年6月规模以上工业原煤产量增速的月度走势，其中2022年1~2月看作1个月，现有如下说法：
①2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势；
②2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的中位数为；
③从这12个增速中随机抽取1个，增速超过10的概率为．
则说法正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：D
【解析】从2021年10月至2022年3月，规模以上工业原煤产量增速呈现上升趋势，故①正确；
2021年6月至2022年6月，规模以上工业原煤产量增速的的中位数为，故②正确；
从这12个增速中随机抽取1个，超过10的概率为，故③正确.
故选：D．
2．（2023·福建·福州十八中高三开学考试）将5个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】依题意总的排列方法有种，
利用挡板法，5个1有6个位置可以放0，故2个0不相邻的排列方法有种，
所以所求概率为．
故选：B．
3．（2023·四川成都·高三开学考试（文））从3男2女共5名医生中，抽取2名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为（ ）．
A．B．C．D．
答案：C
【解析】将3名男性医生分别设为a，b，c，2名女性医生分别设为d，e，
这个实验的样本空间可记为，
共包含10个样本点，记事件A为至少有1名女医生参加，
则，
则A包含的样本点个数为7，∴，
故选：C．
4．（2023·上海交大附中高三开学考试）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图所示茎叶图，则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数约为8.60（按四舍五入精确到0.01）
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值小于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长的方差约为0.80（按四舍五入精确到0.01）
答案：B
【解析】A：甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，正确.
B：乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：
，错误.
C：甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，正确.
D：乙同学周课外体育运动时长的方差约为：
，正确.
故选：B
5．（2023·四川·树德怀远中学高三开学考试（理））20名学生，任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】20名学生，任意分成甲、乙两组，每组10人，共有种分法；
考虑学生干部A，其所在的组有种可能，该组中余下9人有种可能性；
故所求概率为．
故选：A．
6．（2023·四川·模拟预测（文））从集合中任取2 个不同的质数， 则的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】集合中的质数有11，13，17，19，共4个数，
任取2个不同的质数，，记作的情况有，，，
，，，，，，，，，共12种；
符合的有，，，，，，
，，共8种，所以概率为.
故选：A.
7．（2023·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（理））为进一步强化学校美育育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，某校开设了传统体育、美育、书法三门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则恰有2名同学选修传统体育的概率为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】6名同学分别选修一门课程，每门课程至少有一位同学选修，共有种.
恰有2名同学选修传统体育的情况：种.
∴.
故选：D
二、多选题
8．（2023·全国·高三专题练习）记分别为事件A，B发生的概率，则下列结论中可能成立的有（ ）
A．B．
C． D．
答案：ABC
【解析】当事件A，B相互独立时，，A可能；
当事件A，B互斥时，，B可能；
当事件A，B不互斥时，，C可能；
而不可能出现，D不可能.
故选：ABC
9．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（ ）
A．－B．C．D．
答案：BC
【解析】由题可得，
∴或，经检验适合题意.
故选：BC.
10．（2023·湖南·高三开学考试）已知数列的前n项和为，且或的概率均为.设能被3整除的概率为，则（ ）
A．B．C．D．当时，
答案：BC
【解析】由题可知，，故B正确；
被3整除的余数有3种情况，分别为0，1，2，
所以，则，所以，
即，所以，
A错误，C正确；
，令，则，所以，故D错误.
故选：BC.
11．（2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）盒中装有大小相同的5个小球（编号为1至5），其中黑球3个，白球2个.每次取一球（取后放回），则（ ）
A．每次取到1号球的概率为
B．每次取到黑球的概率为
C．“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件
D．“每次取到3号球”与“每次取到4号球”是对立事件
答案：AC
【解析】对于A，每次取到1号球的概率为，故正确；
对于B，每次取到黑球的概率为，故错误；
对于C，“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”相互之间没有影响，所以“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件，故正确；
对于D，每次取到3号球的概率为，每次取到4号球的概率为，它们互斥事件，而不是对立事件，故错误.
故选：AC.
三、填空题
12．（2023·全国·高三专题练习）通过手机验证码登录哈罗单车，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码满足，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为__．
答案：【解析】∵，∴从3,4,5,6,7,8,9中选，
只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排有种，
又验证码共有10×10×10×10＝10000种，
所以首位为2的递增型验证码的概率为，
故答案为：
13．（2023·全国·高三专题练习）现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配到甲校的概率为___________．
答案：【解析】将5名学生按和分成3组的不同分法有（种），
因此5名学生按每个学校至少去1人，分配到甲、乙、丙三校的不同分法数为，
恰好有2名学生分配到甲校的不同分法数为，
所以恰好有2名大学生分配到甲校的概率.
故答案为：
14．（2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）某个班级周一上午准备安排语文､数学､英语､物理､生物等5节课，则数学和物理排课不相邻的概率为___________.
答案：【解析】古典概型，样本空间样本点总数为，先安排好语文，英语，生物，有 种排法，
再插入数学和物理，有 种排法，事件所占样本个数为， ；
故答案为： .
15．（2023·云南大理·模拟预测）某校为落实“双减政策．在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲、乙、丙三名同学拟参加篮球、足球、乒乓球三项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为__________．
答案：
【解析】每人有3种选择，三人共有种选择，其中恰有两人参加同一项活动共有种选择，
所以三人中恰有两人参加同一项活动的概率为．
故答案为：
四、解答题
16．（2023·广东·金山中学高三阶段练习）某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者：
(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；
(2)从被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．
【解析】（1）记事件为至少有1人通过手机收看，
由题意知，通过手机收看的概率为，没有通过手机收看的概率为，
则；
（2）由题意知：，则的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
；
所以的分布列为：
所以.
17．（2023·江西·赣源中学高三阶段练习（文））客家文化是指客家人共同创造的物质文化与精神文化的总和，包括客家方言、客家民俗、客家民居、客家山歌、客家艺术、客家人物、客家山水、客家诗文、客家历史、客家饮食、海内外客家分布等多方面.石城，是客家先民迁徙的重要中转站、客家民系的重要发源地、中华客家文化的重要发祥地，素有客家摇篮之美称.为弘扬和发展客家文化，石城县开展了丰富多彩的客家文化活动，引起了广大中学生对于客家文化的极大兴趣，某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名，对他们的客家文化知识了解程度进行评分调查（满分100分），被抽取的学生的评分结果如下茎叶图所示：
(1)分别计算甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的平均值和方差，并估计两个班级学生对客家文化知识了解的整体水平差异；
(2)若从得分不低于85分的学生中随机抽取2人参观客家文化摄影展，求这两名学生均来自乙班级的概率.
【解析】（1）甲的平均数，
乙的平均数.
甲的方差，
乙的方差.
因为两个班级学生得分的平均值相同，所以我们估计两个班级客家文化知识整体水平相差不大，又由于乙班级学生得分的方差比甲班大，所以我们估计甲班级学生客家文化知识水平更加均衡一些，乙班级学生客家文化知识水平差异略大.
（2）甲班级得分不低于85分的有3名同学，记为,乙班级得分不低于85分的有4名同学，记为，
从这7名同学中选取2人共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个基本事件.其中两名学生均来自于乙班级的有，，，，，共6个基本事件.
所以所求事件的概率.
18．（2023·浙江省杭州第二中学高三阶段练习）有3名志愿者在2022年10月1号至10月5号期间参加核酸检测工作．
(1)若每名志愿者在这5天中任选一天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加核酸检测工作的概率；
(2)若每名志愿者在这5天中任选两天参加核酸检测工作，且各志愿者的选择互不影响，记表示这3名志愿者在10月1号参加核酸检测工作的人数，求随机变量的分布列及数学期望．
【解析】（1）3名志愿者每人任选一天参加核酸检测，共有种不同的结果，
这些结果出现的可能性都相等．
设“3名志愿者恰好连续3天参加核酸检测工作”为事件A，
则该事件共包括不同的结果．
所以．
（2）的可能取值为0、1、2、3，
，，
，，
.
19．（2023·江苏省泰兴中学高三阶段练习）现有三个白球，十五个红球，且甲、乙、丙三个盒子中各装有六个小球．
(1)若甲、乙、丙三个盒子中各有一个白球，且小明从三个盒子中任选两个盒子并各取出一个球，求小明取出两个白球的概率；
(2)若甲盒中有三个白球，小明先从甲盒中取出一个球，再从乙盒中取出一个球，最后再从丙盒中取出一个球，如此循环，直至取出一个白球后停止取球，且每次取球均不放回．若小明在第次取球时取到白球，求的概率分布和数学期望．
【解析】（1）因为甲、乙、丙三个盒子中各有一个白球，
从一个盒中取出一个球是白球的概率为，
所以小明取出两个白球的概率为；
（2）由题可知可取1,4,7,10，
则，
，
，
，
所以的概率分布为：
所以.
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
3990
8460
7980
2436
5987
3882
0753
8935
期中数学成绩（单位：分）
频数
频率
3
0.05
x
p
9
0.15
15
0.25
18
0.30
y
q
合计
60
1.00
X
1
2
3
4
5
6
7
P
0
1
2

X
2
3
4
5
P




ξ
1
2
3
P
0
1
2
3
0
1
2
3
P
1
4
7
10