新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题44二项式定理(原卷版+解析)

这是一份新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧专题44二项式定理(原卷版+解析)，共62页。

题型一：求二项展开式中的参数
题型二：求二项展开式中的常数项
题型三：求二项展开式中的有理项
题型四：求二项展开式中的特定项系数
题型五：求三项展开式中的指定项
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
题型七：求二项式系数最值
题型八：求项的系数最值
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
题型十：求奇数项或偶数项系数和
题型十一：整数和余数问题
题型十二：近似计算问题
题型十三：证明组合恒等式
题型十四：二项式定理与数列求和
题型十五：杨辉三角
【考点预测】
知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
（1）二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（2）二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次
数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系
数）．
（3）两个常用的二项展开式：
①（）
②
（4）二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
③与的次数之和为．
注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
（2）系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
知识点3、二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设，
二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
（2）若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若，同理可得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
【典例例题】
题型一：求二项展开式中的参数
例1．（2023·湖南·模拟预测）已知的展开式中的常数项为，则实数（ ）
A．2B．-2C．8D．-8
例2．（2023·全国·高三专题练习）展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1B．1C．±1D．2
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．4
例4．（2023·湖北·高三阶段练习）若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
例5．（2023·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））展开式中的系数为，则（ ）
A．2B．1C．3D．
【方法技巧与总结】
在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．
题型二：求二项展开式中的常数项
例6．（2023·全国·高三阶段练习（理））展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．D．
例7．（2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）的展开式中的常数项为（ ）
A．B．60C．64D．120
例8．（2023·全国·高三专题练习（理））二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
例9．（2023·全国·模拟预测）二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．210B．－210C．252D．－252
【方法技巧与总结】
写出通项，令指数为零，确定，代入．
题型三：求二项展开式中的有理项
例10．（2023·全国·高三专题练习）在二项式 的展开式中， 系数为有理数的项的个数是_____.
例11．（2023·湖南·长郡中学模拟预测）已知展开式的二项式系数之和为，则展开式中系数为有理数的项的个数是________．
例12．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个的值______．
例13．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中系数为有理数项的共有_______项.
例14．（2023·上海·格致中学高三阶段练习）在的展开式中有__项为有理数．
【方法技巧与总结】
先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．
题型四：求二项展开式中的特定项系数
例15．（2023·北京海淀·一模）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．1C．D．4
例16．（2023·云南·高三阶段练习（理））在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（ ）
A．20B．C．15D．
例17．（2023·全国·高三专题练习）若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（ ）．
A．9B．10C．11D．12
例18．（2023·甘肃·武威第八中学高三阶段练习）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
写出通项，确定r，代入．
题型五：求三项展开式中的指定项
例19．（2023·广东·高三阶段练习）的展开式中，项的系数为___________．
例20．（2023·广东·仲元中学高三阶段练习）的展开式中，的系数为______.
例21．（2023·山西大附中高三阶段练习（理））的展开式中常数项为_________.
例22．（2023·广东· 广州市庆丰实验学校一模）的展开式中的常数项为__________．（用数字填写正确答案）
例23．（2023·全国·高三专题练习）的展开式合并前的项数为（ ）
A．B．C．D．
例24．（2023·河北邢台·高三期末（理））的展开式的常数项为
A．B．C．D．
例25．（2023·四川绵阳·三模（理））在的展开式中，项的系数为（ ）
A．B．C．30D．50
例26．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中，的系数是（ ）
A．120B．-120C．60D．30
【方法技巧与总结】
三项式的展开式：
若令，便得到三项式展开式通项公式：
，
其中叫三项式系数．
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
例27．（2023·江苏江苏·高三阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
例28．（2023·四川·高三开学考试（理））的展开式中的常数项为（ ）
A．240B．C．400D．80
例29．（2023·云南师大附中高三阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A．160B．C．148D．
例30．（2023·新疆克拉玛依·三模（理））已知的展开式中常数项为，则（ ）
A．B．
C．D．
例31．（2023·江苏南京·三模）（1＋x）4（1＋2y）a（a∈N*）的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n）．若f（0，1）＋f（1，0）＝8，则a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
例32．（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．10B．12C．15D．20
【方法技巧与总结】
分配系数法
题型七：求二项式系数最值
例33．（2023·全国·高三专题练习）在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
例34．（2023·全国·高三专题练习）展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．B．C．和D．和
例35．（2023·湖南·高三阶段练习）设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
例36．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．
例37．（2023·安徽·高三阶段练习（理））在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
利用二项式系数性质中的最大值求解即可．
题型八：求项的系数最值
例38．（2023·全国·高三专题练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．
例39．（2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）的展开式中系数最小项为第______项．
例40．（2023·全国·高三专题练习）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．
例41．（2023·江苏·姜堰中学高三阶段练习）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为______.
例42．（2023·上海·高三开学考试）假如的二项展开式中项的系数是，则二项展开式中系数最小的项是__________.
【方法技巧与总结】
有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小．
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
例43．（2023·全国·高三专题练习）若，则_________.（用数字作答）
例44．（2023·广东·高三阶段练习）已知，若，则自然数n等于_____．
例45．（2023·广东·广州大学附属中学高三阶段练习（理））若的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为___________.
例46．（2023·全国·高三专题练习）设，若则非零实数a的值为（ ）
A．2B．0C．1D．-1
例47．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
例48．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
例49．（2023·全国·高三专题练习）设，求
(1)展开式中各二项式系数的和；
(2)的值．
例50．（2023·全国·高三专题练习）在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（n∈N*），___________
(1)求的值：
(2)求的值.
例51．（2023·全国·高三专题练习）.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
(5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？
(6).
例52．（2023·全国·高三专题练习）已知
(1)求；
(2)求.
【方法技巧与总结】
二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：．
系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：．
题型十：求奇数项或偶数项系数和
例53．（2023·浙江·模拟预测）已知多项式，则_______，________．
例54．（2023·全国·模拟预测）若的展开式中，所有x的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a的值为______．
例55．（2023·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知，若，则_____________.
例56．（2023·湖北武汉·模拟预测）在展开式中，x的所有奇数次幂项的系数之和为20，则_____________．
例57．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或B．C．或3D．
例58．（2023·江苏南通·高三开学考试）在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（ ）
A．B．C．D．
例59．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．40B．41C．D．
【方法技巧与总结】
，令得系数和： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①；
令得奇数项系数和减去偶数项系数和： = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，联立 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．
题型十一：整数和余数问题
例60．（2023·全国·高三专题练习）已知，则除以10所得的余数是（ ）
A．2B．3C．6D．8
例61．（2023·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知能够被15整除，则的一个可能取值是（ ）
A．1B．2C．0D．
例62．（2023·陕西·西安中学一模（理））设，且，若能被13整除，则（ ）
A．0B．1C．11D．12
例63．（2023·全国·高三专题练习）除以78的余数是（ ）
A．B．1C．D．87
例64．（2023·全国·高三专题练习（文））中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A．2022B．2021C．2020D．2019
题型十二：近似计算问题
例65．（2023·山西·应县一中高三开学考试（理））的计算结果精确到0.01的近似值是_________．
例66．（2023·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.
例67．（2023·全国·高三专题练习）的计算结果精确到个位的近似值为
A．106B．107C．108D．109
题型十三：证明组合恒等式
例68．（2023·江苏·高三专题练习）（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简．
案例：考查恒等式左右两边的系数．
因为右边，
所以，右边的系数为，
而左边的系数为，
所以＝．
（2）求证：．
例69．（多选题）（2023·江苏·海安市曲塘中学高三期末）下列关系式成立的是（ ）
A．＋2＋22＋23＋…＋2n＝3n
B．2＋＋2＋＋…＋＋2＝3·22n-1
C．·12＋·22＋·32＋…＋n2＝n·2n-1
D．()2＋()2＋()2＋…＋()2＝
例70．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）设，下列恒等式正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十四：二项式定理与数列求和
例71．（2023·全国·高三专题练习（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ）
A．B．C．D．
例72．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）．
(1)求数列的通项与前项和；
(2)若，求．
例73．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．
(1)试判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项．
(2)如果时，数列的前项和为．试求出，并证明．
题型十五：杨辉三角
例74．（2023·山东·高三开学考试）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如下数表．
1 2 3 4 5 6 …
3 5 7 9 11 13 …
8 12 16 20 24 28 …
… … … … … …
该数表的第一行是数列，从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为______，各行的第一个数依次构成数列1，3，8，…，则该数列的前n项和______．
例75．（2023·浙江省杭州学军中学模拟预测）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，第行的数字之和为__________，去除所有1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,则此数列的前28项和为_____________．
例76．（2023·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（ ）
A．1009B．1010C．1011D．1012
例77．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如：的前n项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记为，的前n项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A．B．的前n项和为C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江苏·金陵中学高三阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·福建师大附中高三阶段练习）在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．-120B．-40C．-30D．200
3．（2023·福建泉州·模拟预测）的展开式中，的系数等于（ ）
A．B．C．10D．45
4．（2023·湖南益阳·模拟预测）若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·湖南·高三开学考试）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（ ）
A．0B．C．120D．
6．（2023·北京房山·高三开学考试）若，则（ ）
A．6B．24C．D．
7．（2023·江苏省泰兴中学高三阶段练习）设，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·河北·高三阶段练习）关于二项式，若展开式中含的项的系数为，则（ ）
A．3B．2C．1D．-1
9．（2023·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知，则（ ）
A．280B．35C．D．
二、多选题
10．（2023·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023·浙江·高三开学考试）在二项式的展开式中，正确的说法是（ ）
A．常数项是第3项B．各项的系数和是1
C．偶数项的二项式系数和为32D．第4项的二项式系数最大
12．（2023·江苏镇江·高三开学考试）已知函数的定义域为．（ ）
A．
B．
C．
D．被8整除余数为7
13．（2023·湖南师大附中高三阶段练习）已知，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，设，则
C．当时，中最大的是
D．当时，
14．（2023·全国·高三阶段练习）已知的展开式中含的系数为60，则下列说法正确的是（ ）
A．的展开式的各项系数之和为1B．的展开式中系数最大的项为
C．的展开式中的常数项为D．的展开式中所有二项式的系数和为32
三、填空题
15．（2023·浙江省苍南中学高三阶段练习） 的展开式中不含的各项系数之和______.
16．（2023·广东广东·高三阶段练习）的展开式中，的系数为___________.
17．（2023·河北邯郸·高三开学考试）已知，则的值为___________.
18．（2023·浙江省淳安中学高三开学考试）已知的展开式中常数项为20，则___________.
19．（2023·浙江·高三开学考试）多项式，则___________.
20．（2023·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）将（1＋x）n（n∈N*）的展开式中x2的系数记为，则________．
专题44 二项式定理
【题型归纳目录】
题型一：求二项展开式中的参数
题型二：求二项展开式中的常数项
题型三：求二项展开式中的有理项
题型四：求二项展开式中的特定项系数
题型五：求三项展开式中的指定项
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
题型七：求二项式系数最值
题型八：求项的系数最值
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
题型十：求奇数项或偶数项系数和
题型十一：整数和余数问题
题型十二：近似计算问题
题型十三：证明组合恒等式
题型十四：二项式定理与数列求和
题型十五：杨辉三角
【考点预测】
知识点1、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
（1）二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（2）二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次
数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系
数）．
（3）两个常用的二项展开式：
①（）
②
（4）二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
③与的次数之和为．
注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
（2）系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
知识点3、二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设，
二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
（2）若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
③奇数项的系数和与偶数项的系数和
（i）当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
（ii）当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若，同理可得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
【典例例题】
题型一：求二项展开式中的参数
例1．（2023·湖南·模拟预测）已知的展开式中的常数项为，则实数（ ）
A．2B．-2C．8D．-8
答案：B
【解析】展开式的通项为：，
取得到常数项为，解得.
故选：B
例2．（2023·全国·高三专题练习）展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1B．1C．±1D．2
答案：B
【解析】的展开式通项为，
∴令，解得，
∴的展开式的常数项为，
∴
∴
故选：B.
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知二项式的展开式中，项的系数为40，则（ ）
A．2B．-2C．2或-2D．4
答案：C
【解析】由，令，解得，所以项的系数为，解得．
故选：C
例4．（2023·湖北·高三阶段练习）若的展开式中项的系数为160，则正整数n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案：C
【解析】由二项式定理知：含项为 ，
由题意 ， ，
解得 ；
故选：C.
例5．（2023·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））展开式中的系数为，则（ ）
A．2B．1C．3D．
答案：A
【解析】的展开式通项公式为，故，记得，
故选：A
【方法技巧与总结】
在形如的展开式中求的系数，关键是利用通项求，则．
题型二：求二项展开式中的常数项
例6．（2023·全国·高三阶段练习（理））展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】展开式通项为，令，解得，
因此，展开式中常数项为.
故选：A.
例7．（2023·浙江·慈溪中学高三开学考试）的展开式中的常数项为（ ）
A．B．60C．64D．120
答案：B
【解析】展开式的通项为，令解得，所以常数项.
故选：B.
例8．（2023·全国·高三专题练习（理））二项式的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：B
【解析】二项式的展开式为
，
令，，
则，
因为
所以当时，取得最小值3，
故选：B
例9．（2023·全国·模拟预测）二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．210B．－210C．252D．－252
答案：A
【解析】二项式的展开式的通项为，
令可得，所以常数项为，
故选：A
【方法技巧与总结】
写出通项，令指数为零，确定，代入．
题型三：求二项展开式中的有理项
例10．（2023·全国·高三专题练习）在二项式 的展开式中， 系数为有理数的项的个数是_____.
答案：6
【解析】二项展开式的通项公式为，
第项的系数为，
当即时，系数为有理数，
这样的项的个数为6，
故答案为：6
例11．（2023·湖南·长郡中学模拟预测）已知展开式的二项式系数之和为，则展开式中系数为有理数的项的个数是________．
答案：4
【解析】依题意，知，，
则展开式的第项为，
当时，展开式中系数为有理数，所以展开式中系数为有理数的项的个数为.
故答案为：4.
例12．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个的值______．
答案：取6，8，9，10，11中任意一个值均可．
【解析】的展开式的通项为，，．
若系数为有理数，则，且．当时，；
时；
时；
时，6；
时无解；
时，8；
时，6；
时，10；
时，8，
时，6，12．
所以可取6，8，9，10，11中的任意一个值．
故答案为：取6，8，9，10，11中任意一个值均可．
例13．（2023·全国·高三专题练习） 的展开式中系数为有理数项的共有_______项.
答案：17
【解析】的展开式的通项为：，
即r既是3的倍数，又是2的倍数，则是的倍数，r=0，6，12，，96，共17项.
故答案为：.
例14．（2023·上海·格致中学高三阶段练习）在的展开式中有__项为有理数．
答案：9．
【解析】通项公式：．
当与都为整数且为整数时，为有理数，则．
∴展开式中有9项为有理数．
故答案为：9．
【方法技巧与总结】
先写出通项，再根据数的整除性确定有理项．
题型四：求二项展开式中的特定项系数
例15．（2023·北京海淀·一模）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．1C．D．4
答案：B
【解析】的展开式的通项公式为，
令，则，故的系数为，
故选：B.
例16．（2023·云南·高三阶段练习（理））在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（ ）
A．20B．C．15D．
答案：A
【解析】第4项的二项式系数为.
故选:A
例17．（2023·全国·高三专题练习）若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（ ）．
A．9B．10C．11D．12
答案：B
【解析】由题意，二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为，，
可得，解得.
故选：B.
例18．（2023·甘肃·武威第八中学高三阶段练习）在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】的通项为，
令，即，，
故选：D.
【方法技巧与总结】
写出通项，确定r，代入．
题型五：求三项展开式中的指定项
例19．（2023·广东·高三阶段练习）的展开式中，项的系数为___________．
答案：210
【解析】因为
所以含有项的为.
所以的展开式中，含项的系数为210.
故答案为：210.
例20．（2023·广东·仲元中学高三阶段练习）的展开式中，的系数为______.
答案：30
【解析】 表示5个因式的乘积，
在这5个因式中，有2个因式选 ，其余的3个因式中有一个选，剩下的两个因式选 ，即可得到含 的项，
故含的项系数是
故答案为：30
例21．（2023·山西大附中高三阶段练习（理））的展开式中常数项为_________.
答案：
【解析】中的常数项为,
故答案为:88
例22．（2023·广东· 广州市庆丰实验学校一模）的展开式中的常数项为__________．（用数字填写正确答案）
答案：481
【解析】的通项公式为，，
对于，它的通项公式为，，
令，可得，或，或．
故的展开式中的常数项为，
故答案为：481．
例23．（2023·全国·高三专题练习）的展开式合并前的项数为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】从个因式中，每一次都要选一个、、、相乘，
∴展开式中共有项.
故选：D.
例24．（2023·河北邢台·高三期末（理））的展开式的常数项为
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵，
∴的展开式中的常数项为.
故选：A.
例25．（2023·四川绵阳·三模（理））在的展开式中，项的系数为（ ）
A．B．C．30D．50
答案：B
【解析】表示5个因式的乘积，在这5个因式中，
有2个因式都选，其余的3个因式都选1，相乘可得含的项；
或者有3个因式选，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含的项，
故项的系数为，
故选B．
例26．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中，的系数是（ ）
A．120B．-120C．60D．30
答案：A
【解析】，展开式的
第项为，
令，可得第3项为，
的展开式的第项为，令，
可得第3项为，
所以的展开式中，
的系数是．
故选：A．
【方法技巧与总结】
三项式的展开式：
若令，便得到三项式展开式通项公式：
，
其中叫三项式系数．
题型六：求几个二（多）项式的和（积）的展开式中条件项系数
例27．（2023·江苏江苏·高三阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】；
展开式中的系数为；展开式中的系数为；
展开式中的系数为.
故选：D.
例28．（2023·四川·高三开学考试（理））的展开式中的常数项为（ ）
A．240B．C．400D．80
答案：D
【解析】的展开式的通项为，
令，得，
则的展开式中的常数项为，
令，得，
则的展开式中含的项的系数为，
所以的展开式中的常数项为.
故选：D．
例29．（2023·云南师大附中高三阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A．160B．C．148D．
答案：C
【解析】的展开式中的系数为．
故选：C.
例30．（2023·新疆克拉玛依·三模（理））已知的展开式中常数项为，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】展开式中第项
当时，，时，，
所以的展开式中常数项为，
所以，得.
故选：A
例31．（2023·江苏南京·三模）（1＋x）4（1＋2y）a（a∈N*）的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n）．若f（0，1）＋f（1，0）＝8，则a的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】展开式中含的项为，含的项为，
，
∴，
故选：C
例32．（2023·全国·高三专题练习）在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．10B．12C．15D．20
答案：A
【解析】因为的展开式为，
的展开式为和的和，
；，
所以在中令，即可得到的项的系数，是，
故选：A.
【方法技巧与总结】
分配系数法
题型七：求二项式系数最值
例33．（2023·全国·高三专题练习）在（）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
答案：D
【解析】当时，的展开式有8项，的展开式中二项式系数最大，
即第四项和第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有9项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项的二项式系数最大；
当时，的展开式有10项，的展开式中二项式系数最大，
即第五项和第六项的二项式系数最大.
当时，的展开式有11项，的展开式中二项式系数最大，
即第六项的二项式系数最大.
故选：D．
例34．（2023·全国·高三专题练习）展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．B．C．和D．和
答案：C
【解析】展开式的通项公式为，
因为展开式共有8项，
所以第4项和第5项的二项式系数最大，
所以展开式中二项式系数最大的项为和，
即为和，
故选：C
例35．（2023·湖南·高三阶段练习）设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
答案：C
【解析】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.
故选：C
例36．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．
答案：A
【解析】因为的展开式的通项公式为，令，即时，x的系数为，而二项式系数最大值为，所以，即．
故选：A．
例37．（2023·安徽·高三阶段练习（理））在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】依题意，第五项二项式系数最大，一共是9项，所以n=8，
二项式展开项的通项公式为： ，
，
∴ 的系数为
故选：C.
【方法技巧与总结】
利用二项式系数性质中的最大值求解即可．
题型八：求项的系数最值
例38．（2023·全国·高三专题练习）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系数最大的项为___________．
答案：
【解析】令，则的展开式各项系数之和为，则；
由的展开式通项公式知二项展开式的系数最大项在奇数项，
设二项展开式中第项的系数最大，
则，化简可得：
经验证可得，
则该展开式中系数最大的项为.
故答案为: .
例39．（2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）的展开式中系数最小项为第______项．
答案：6
【解析】的展开式的通项公式为，其中系数与二项式系数只有符号差异，
又第5项与第6项的二项式系数最大，第6项系数为负，则第6项系数最小.
故答案为：.
例40．（2023·全国·高三专题练习）若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．
答案：5376
【解析】展开式的通项公式为，由题意可得，，解得，
设展开式中项的系数最大，则
解得，
又∵，∴，
故展开式中系数最大的项为.
故答案为：5376.
例41．（2023·江苏·姜堰中学高三阶段练习）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为______.
答案：210
【解析】由己知展开式中只有第6项系数为最大，所以展开式有11项，
所以，即，又展开式的通项为，
令，解得，所以展开式的常数项为.
故答案为：210.
例42．（2023·上海·高三开学考试）假如的二项展开式中项的系数是，则二项展开式中系数最小的项是__________.
答案：
【解析】由二项式知：，而项的系数是，
∴时，有且为奇数，又由，
∴可得.
∴，要使系数最小，为奇数，由对称性知：，
∴.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小．
题型九：求二项展开式中的二项式系数和、各项系数和
例43．（2023·全国·高三专题练习）若，则_________.（用数字作答）
答案：127
【解析】因为，
所以奇次方系数为负，偶次方系数为正，
所以，
对于，
令，得，
令，得，
两式相减，得，
即.
故答案为：127
例44．（2023·广东·高三阶段练习）已知，若，则自然数n等于_____．
答案：4
【解析】令，则，
所以．
故答案为：4
例45．（2023·广东·广州大学附属中学高三阶段练习（理））若的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为___________.
答案：
【解析】取，则的展开式中各项系数的和为：.
故，则，
的展开式：；的展开式：
取得到：，取得到系数为；
取得到：，取得到系数为；
综上所述：该展开式中含字母且的次数为1的项的系数为。
故答案为：。
例46．（2023·全国·高三专题练习）设，若则非零实数a的值为（ ）
A．2B．0C．1D．-1
答案：A
【解析】∵，对其两边求导数，
∴，
令，得，①
又，②
∴，∴，解得，
故选：A．
例47．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】依题意，，
当时，，
于是得
.
故选：B
例48．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：ABD
【解析】当时，，故A对；
，B对；
令，则，
∴，故C错；
对等式两边求导，
即
令，则，
∴，故D对，
故选：ABD．
例49．（2023·全国·高三专题练习）设，求
(1)展开式中各二项式系数的和；
(2)的值．
【解析】（1）由题意，，
即展开式中各二项式系数的和为.
（2）由可知，
，
故令得：，
再令得：，
所以.
例50．（2023·全国·高三专题练习）在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（n∈N*），___________
(1)求的值：
(2)求的值.
【解析】（1）若选①：
因为只有第5项的二项式系数最大，
所以展开式中共有9项，即，得，
若选②：
因为第4项与第6项的二项式系数相等，
所以，
若选③：
因为奇数项的二项式系数的和为128，
所以，解得.
因为，
令，则有，
即有，
令，得，
所以；
综上所述：；
（2）由(1)可知：无论选①，②，③都有，
，
两边求导得，
令，
则有，
所以.
例51．（2023·全国·高三专题练习）.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
(5)求展开式二项式系数最大的项是第几项？
(6).
【解析】（1）令，得①.
（2）令，得②.
由①-②得，
.
（3）相当于求展开式的系数和，
令，得.
（4）展开式中二项式系数和是.
展开式中偶数项的二项系数和是.
（5）展开式有2023项，中间项是第1012项，
所以展开式二项式系数最大的项是第1012项.
（6）两边分别求导得：
，
令，得.
例52．（2023·全国·高三专题练习）已知
(1)求；
(2)求.
【解析】（1）令，则.
令，则，①
故.
（2）令，则，②
①+②可得，
故.
【方法技巧与总结】
二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：．
系数和：赋值法，二项展开式的系数表示式：（是系数），令得系数和：．
题型十：求奇数项或偶数项系数和
例53．（2023·浙江·模拟预测）已知多项式，则_______，________．
答案：
【解析】因为，
令可得①；
令可得②，
两式相减，整理可得．
对两边求导可得，，
令，可得．
故答案为：；．
例54．（2023·全国·模拟预测）若的展开式中，所有x的偶数次幂项的系数和为64，则正实数a的值为______．
答案：
【解析】设
.
令，得①；
令，得②.
②＋①得．
又因为，所以，解得．
故答案为：
例55．（2023·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知，若，则_____________.
答案：8
【解析】，所以，
所以，
所以，
即，解得：
故答案为：8
例56．（2023·湖北武汉·模拟预测）在展开式中，x的所有奇数次幂项的系数之和为20，则_____________．
答案：
【解析】设
令得：①，
令得：②，
两式相减得：，
因为，x的所有奇数次幂项的系数之和为20，
所以，解得：.
故答案为：
例57．（2023·全国·高三专题练习）若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或B．C．或3D．
答案：A
【解析】在中，
令可得，即，
令，可得，
∵，
∴，
∴，
整理得，
解得，或．
故选：A
例58．（2023·江苏南通·高三开学考试）在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】的展开式通项为，
因此，展开式中所有奇数项的系数和为.
故选：D.
例59．（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．40B．41C．D．
答案：B
【解析】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
【方法技巧与总结】
，令得系数和： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①；
令得奇数项系数和减去偶数项系数和： = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，联立 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ① = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．
题型十一：整数和余数问题
例60．（2023·全国·高三专题练习）已知，则除以10所得的余数是（ ）
A．2B．3C．6D．8
答案：D
【解析】
，
所以除以10的余数为8．
故选：D．
例61．（2023·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知能够被15整除，则的一个可能取值是（ ）
A．1B．2C．0D．
答案：D
【解析】,
75能够被15整除，要使原式能够被15整除，则需要能被15整除，将选项逐个检验可知的一个可能取值是，其他选项均不符合题意，
故选：D
例62．（2023·陕西·西安中学一模（理））设，且，若能被13整除，则（ ）
A．0B．1C．11D．12
答案：D
【解析】
因为能被13整除，所以能被13整除
因为，且，所以，
故选：D
例63．（2023·全国·高三专题练习）除以78的余数是（ ）
A．B．1C．D．87
答案：B
【解析】因为
所以，除了第一项之外，其余每一项都含有的倍数，所以原式除以的余数为1.
故选:B．
例64．（2023·全国·高三专题练习（文））中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ）
A．2022B．2021C．2020D．2019
答案：B
【解析】因为
,
四个选项中，只有时，除以10余数是1．
故选：B．
题型十二：近似计算问题
例65．（2023·山西·应县一中高三开学考试（理））的计算结果精确到0.01的近似值是_________．
答案：1.34
【解析】
故答案为：
例66．（2023·山东·高三阶段练习）某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是________.
答案：
【解析】根据二项式定理可得：
,
故答案为：
例67．（2023·全国·高三专题练习）的计算结果精确到个位的近似值为
A．106B．107C．108D．109
答案：B
【解析】∵，
∴.
故选B
题型十三：证明组合恒等式
例68．（2023·江苏·高三专题练习）（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简．
案例：考查恒等式左右两边的系数．
因为右边，
所以，右边的系数为，
而左边的系数为，
所以＝．
（2）求证：．
【解析】（1）考查恒等式（1+x）7＝（1+x）3（x+1）4左右两边x3的系数，
因为右边（1+x）3（x+1）4＝（+x+x2+x3）（x4+x3+x2+x+），
所以，右边x3的系数为＝
而左边x3的系数为：，所以．
（2）∵，
．
考查恒等式（1+x）2n＝（1+x）n（x+1）n左右两边xn的系数．
因为右边xn的系数为＝，而左边的xn的系数为．
所以，同理可求得
考查恒等式（1+x）2n﹣1＝（1+x）n﹣1（x+1）n左右两边xn﹣1的系数，
因为右边（1+x）n﹣1（x+1）n＝（+x+…+xn﹣1）（xn+xn﹣1+…+），
所以，右边的xn﹣1的系数为＝，
而左边的xn﹣1的系数为，所以＝，
﹣＝+2n+﹣
＝2n+＝n（+）+＝n（+）+
＝n+＝（n+1）．
例69．（多选题）（2023·江苏·海安市曲塘中学高三期末）下列关系式成立的是（ ）
A．＋2＋22＋23＋…＋2n＝3n
B．2＋＋2＋＋…＋＋2＝3·22n-1
C．·12＋·22＋·32＋…＋n2＝n·2n-1
D．()2＋()2＋()2＋…＋()2＝
答案：ABD
【解析】＋2＋22＋23＋…＋2n，A正确；
设，
当时，①，
当时，②
由①+②得
由①-②得
2＋＋2＋＋…＋＋2，B正确；
，
·12＋·22＋·32＋…＋n2
，
令，
两边同乘得，
两边同时求导得，
令得
则·12＋·22＋·32＋…＋n2＝
C错误；
令，
则
，
比较等式两边的系数可知，
又，
D正确;
故选：ABD.
例70．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）设，下列恒等式正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：BC
【解析】由二项式定理可得，令可得
，所以，A不正确；
对二项式定理式子两边求导可得，
令可得，故B正确；
由B知，两边同乘可得
，两边求导可得
，
令可得，C正确；
由C可得，两边同乘可得,
，两边求导可得，
，令可得
，D不正确；
故选:BC.
题型十四：二项式定理与数列求和
例71．（2023·全国·高三专题练习（理））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由，两边同时除以x，
得，
又
展开式中的系数为，
所以，
所以．
故选：A．
例72．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）．
(1)求数列的通项与前项和；
(2)若，求．
【解析】（1）展开式通项公式为：，
，又，；
当时，；
当时，；
综上所述：
（2）①当时，；
，，
令得：，即；
②当时，；
综上所述：.
例73．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，．
(1)试判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项．
(2)如果时，数列的前项和为．试求出，并证明．
【解析】(1)，
，
令，则，
，
当时，，则．
数列0，0，…不是等比数列．
当时，数列不是等比数列；
当时，，则数列是等比数列，且公比为2．
，
即．
解得.
(2)由（1）知，当时，，
．
令，①
则，②
由①②：
，
，
则．
，
当时，，则．
，
则．
因此，．
题型十五：杨辉三角
例74．（2023·山东·高三开学考试）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列．某校数学兴趣小组模仿杨辉三角制作了如下数表．
1 2 3 4 5 6 …
3 5 7 9 11 13 …
8 12 16 20 24 28 …
… … … … … …
该数表的第一行是数列，从第二行起每一个数都等于它肩上的两个数之和，则这个数表中第4行的第5个数为______，各行的第一个数依次构成数列1，3，8，…，则该数列的前n项和______．
答案： 52
【解析】由数表规律可知，第4行的第1个数为，第行是公差为的等差数列，
所以第4行的公差，则第4行的第5个数为52；
记各行的第一个数组成的数列为，则，，
两边同除以，得，
故是首项为，公差为的等差数列，
则，则，
则，，
两式相减得
，
所以．
故答案为：52；
例75．（2023·浙江省杭州学军中学模拟预测）“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，第行的数字之和为__________，去除所有1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…,则此数列的前28项和为_____________．
答案： 494
【解析】由二项式系数的性质得：第n行的数字之和为，
去除所有1的项后所得三角数阵的第n行有n个数字，其和为，而，
所以数列的前28项和.
故答案为：；494
例76．（2023·安徽·合肥市第五中学模拟预测（理））杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第个数组成的数列称为第斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2022行第斜列与第斜列各项之和最大时，的值为（ ）
A．1009B．1010C．1011D．1012
答案：C
【解析】当时，第斜列各项之和为，
同理，第斜列各项之和为，所以，
所以第斜列与第斜列各项之和最大时，，则.
故选：C．
例77．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）在1261年，我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中提出了如图所示的三角形数表，这就是著名的“杨辉三角”，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如：的前n项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，记为，的前n项和记为，则下列说法正确的有（ ）
A．B．的前n项和为C．D．
答案：ABD
【解析】从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数，所以，
为等比数列，，所以，故A正确；
，
所以的前n项和为
，故B正确；
依次去掉每一行中所有的1后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3……构成一个等差数列，项数之和为，的最大整数为10，杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1，在中去掉，取的就是第12行的第2项，，故C错误；
，这11行中共去掉了22个1，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江苏·金陵中学高三阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由二项式定理：
观察可知的系数为.
故选：B.
2．（2023·福建师大附中高三阶段练习）在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A．-120B．-40C．-30D．200
答案：C
【解析】，其展开式为：
根据题意可得：
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
当时，则，展开式为：
∴，则的项的系数为
综上所述：含的项的系数为
故选：C．
3．（2023·福建泉州·模拟预测）的展开式中，的系数等于（ ）
A．B．C．10D．45
答案：D
【解析】的通项为，
令，解得，
所以项的系数为：.
故选：D
4．（2023·湖南益阳·模拟预测）若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】∵，
故展开式中的系数.
故选：B.
5．（2023·湖南·高三开学考试）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为（ ）
A．0B．C．120D．
答案：A
【解析】因为的展开式中各项系数的和为，
所以令，得，解得，
∵的展开式为
则展开式中含的项为，故的系数为0.
故选：A．
6．（2023·北京房山·高三开学考试）若，则（ ）
A．6B．24C．D．
答案：B
【解析】由二项式的展开式的通项为，
令，可得，
将代入，可得，
所以的系数.
故选：B.
7．（2023·江苏省泰兴中学高三阶段练习）设，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A
【解析】由二项式定理知：
，
，令 ，则有 ；
，
，令 ，则有 ；
故有 ，A正确；
令 ，则有 ，
分别代入B，C，D选项：
，B错误；
，C错误；
，D错误；
故选：A.
8．（2023·河北·高三阶段练习）关于二项式，若展开式中含的项的系数为，则（ ）
A．3B．2C．1D．-1
答案：C
【解析】由题意得的系数为，解得，
故选：C.
9．（2023·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知，则（ ）
A．280B．35C．D．
答案：A
【解析】，
令，则
，
展开式的通项为：，
令，可得，所以.
故选：A.
二、多选题
10．（2023·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：CD
【解析】对于A，令，则，令，则，
所以，所以A错误，
对于B，二项式展开式的通项公式为，所以，所以B错误，
对于C，令，则，因为，所以，，
因为，所以，所以，所以C正确，
对于D，因为二项式展开式的通项公式为，所以，， ，，，
所以，，
所以，所以D正确，
故选：CD
11．（2023·浙江·高三开学考试）在二项式的展开式中，正确的说法是（ ）
A．常数项是第3项B．各项的系数和是1
C．偶数项的二项式系数和为32D．第4项的二项式系数最大
答案：BCD
【解析】二项式的展开式通项为，
对于A选项，令，可得，故常数项是第项，A错；
对于B选项，各项的系数和是，B对；
对于C选项，偶数项二项式系数和为，C对
对于D选项，展开式共项，第项二项式系数最大，D对；
故选：BCD
12．（2023·江苏镇江·高三开学考试）已知函数的定义域为．（ ）
A．
B．
C．
D．被8整除余数为7
答案：BC
【解析】A.当时，，①故A错误；
B.当时，，②，
①②，解得：，故B正确；
C.，令得，故C正确；
D.，所以被8整除余数为1，故D错误.
故选：BC
13．（2023·湖南师大附中高三阶段练习）已知，下列结论正确的是（ ）
A．
B．当时，设，则
C．当时，中最大的是
D．当时，
答案：AD
【解析】在已知式中令得，A正确；
时，，
，
，，B错；
时，，
，C错；
在中，令得，
令，则，
所以，D正确．
故选：AD．
14．（2023·全国·高三阶段练习）已知的展开式中含的系数为60，则下列说法正确的是（ ）
A．的展开式的各项系数之和为1B．的展开式中系数最大的项为
C．的展开式中的常数项为D．的展开式中所有二项式的系数和为32
答案：BC
【解析】的展开通项为：，
当时，，所以，解得，
所以，令，所以各项系数和为：，故A错误；
当时，的展开式中所有二项式的系数和为：，故D错误；
当时，的展开通项为：，
令，所以，常数项为，故C正确；
设展开式中第项系数最大，所以，所以，
且，，解得，所以，
故系数最大的项为，故B正确.
故选：BC.
三、填空题
15．（2023·浙江省苍南中学高三阶段练习） 的展开式中不含的各项系数之和______.
答案：128
【解析】利用二项展开式的通项公式进行展开，设项为，项为，项为.
展开后得对每一项进行合并得 ，因为展开式中不含，所以，又得取值为，得取值为，故得.
代入展开式得，又得取值为，分别带入后各项系数之和为.
故答案为：128
16．（2023·广东广东·高三阶段练习）的展开式中，的系数为___________.
答案：
【解析】因为，
设其展开式的通项公式为，
令，
得的通项公式为，
令，得，
所以的展开式中，的系数为，
故答案为：
17．（2023·河北邯郸·高三开学考试）已知，则的值为___________.
答案：
【解析】令，
由的展开式的通项为，
令，得，令，得，
所以，
所以.
故答案为：
18．（2023·浙江省淳安中学高三开学考试）已知的展开式中常数项为20，则___________.
答案：
【解析】由题意可得的展开式的通项公式为 ，
故当时，即时，，
当时，即时，，
故的常数项为，解得，
故答案为：
19．（2023·浙江·高三开学考试）多项式，则___________.
答案：
【解析】，
二项式的通项公式为：，
因为，
所以令，因此，
故答案为：.
20．（2023·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）将（1＋x）n（n∈N*）的展开式中x2的系数记为，则________．
答案：
【解析】二项式的展开式的通项为：
令可得，
，
故答案为：.