20，湖南省长沙市长郡双语实验中学、雨花外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份20，湖南省长沙市长郡双语实验中学、雨花外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共23页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各数是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数的概念，无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．据此即可求解．
【详解】解：A：是无理数，符合题意；
B：是分数，属于有理数，不符合题意；
C：是有限小数，属于有理数，不符合题意；
D：是整数，属于有理数，不符合题意；
故选：A
2. 点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，根据分别对应为第一、二、三、四象限，进行判断，即可作答．
【详解】解：∵，
∴点所在的象限是第二象限，
故选：B．
3. 如图，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C该试卷源自 全站资源不到一元，每日更新。 【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质的应用．根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
4. 下列是二元一次方程组的解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把与的值代入方程检验即可．
【详解】解：A、把代入方程得：左边右边，故不是方程的解，不符合题意；
B、把代入方程得：左边右边，故不是方程的解，不符合题意；
C、把代入方程得：左边右边，故是方程的解，符合题意；
D、把代入方程得：左边右边，故不是方程的解，不符合题意；
故选：C．
5. 将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2=40°，则∠1的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】标出字母，根据平行线的性质即可求解．
【详解】标出字母，如图
∵AB∥CD，
∴∠2=∠CEM，
∵∠1+90°+∠CEM=180°，
∴∠1+90°+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2=40°，
∴∠1=90°-40°=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质，本题的解题关键是找出角度的关系即可得出答案．
6. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
根据垂线公理，平行线的判定，平行线的传递性，平行线的性质进行判断即可．
【详解】解：A. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题；
B. 同旁内角互补，两直线平行，是真命题；
C. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题；
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；
故选A．
7. 如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系以正东方向为轴的正方向，以正北方向为轴的正方向，并且综合楼和教学楼的坐标分别是和，则食堂的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是根据位置确定点的坐标，根据综合楼和食堂的坐标分别是和，先确定坐标原点以及坐标系，再根据教学楼的位置可得答案．
【详解】解：如图，根据综合楼和教学楼的坐标分别是和，画图如下：
∴食堂的坐标为：，
故选：B.
8. 《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，根据“头牛，只羊，值金两；头牛，只羊，值金两”列出方程组即可得答案．
【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为，
故选A．
9. 图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A. B. C. 1+D. +2
【答案】C
【解析】
【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为，所以AB=，而AB=AE，得AE=，A点的坐标为1，故E点的坐标为+1．
【详解】∵面积为7的正方形ABCD为7，
∴AB=，
∵AB=AE，
∴AE=，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为+1，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出AB=AE=．
10. 如图，点是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，…，依此规律，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质， 根据点坐标的变化找出变化规律“(为自然数)”是解题的关键.
【详解】观察发现：，
(为自然数)，
，
即点的坐标是
故选：C.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 49的平方根是_____．
【答案】±7
【解析】
【分析】根据平方根的定义求解即可.
【详解】∵（±7）2=49，
∴49的平方根是±7．
故答案为：±7．
【点睛】如果个一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根．正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
12. 在中，用含的代数式表示：____________________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程的解，掌握“利用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数的方法”是解本题的关键．把二元一次方程中的未知数看作是常数，看作是未知数，解方程即可．
【详解】解： ，
，
，
故答案为：．
13. 点A（2，7）到x轴的距离为_____．
【答案】7
【解析】
【详解】试题分析：根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度解答．
解：点A（2，7）到x轴的距离为7．
故答案为7．
14. 如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于__.
【答案】
【解析】
【详解】解：∵把长方形ABCD沿EF对折，
∴AD∥BC，∠BFE=∠2，
∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，
∴∠BFE==65°，
∵∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=115°．
故答案为：115°．
15. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，若将点向左平移3个单位长度后刚好落在轴上，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点坐标的平移以及轴点坐标的特征，掌握点坐标平移的性质以及y轴点坐标的特征是解题的关键．
【详解】解：∵点的坐标为，若将点向左平移3个单位长度后刚好落在轴上，
∴，
解得：，
故答案为：．
16. 我校在本学期4月上旬举行了“古诗词大赛”，最后有小涵、小颖和小睿三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮．规定：每轮分别决出第一，第二，第三名（不并列），对应名次的得分分别为（，且均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：
根据题中所给的信息，下列说法正确的是________（填序号）．
①可求得；
②小睿每轮比赛都没有获得第一名；
③小涵一定有两轮且只有两轮获得第三名；
④每轮比赛第二名得分为2分．
【答案】①③④
【解析】
【分析】此题主要考查了比赛得分问题中的推理与论证，解答此题的关键是求出的值.
首先根据每轮分别决出第名 (不并列),可得，所以然后根据小颖的得分，推得再根据及最小取, 可知 ，进而求出和的值，再逐项判断即可.
详解】∵每轮分别决出第名 (不并列) ,
∴
∴, 故选项①正确，符合题意；
∵小颖的得分最高为，
∴,
∵为正整数，
∴,
∵,且均为正整数,
∴的最小值分别为,
∴,
∵,
∴
又∵,
∴, 故选项④正确，符合题意;
∵,
∴小颖轮得第一，轮得第三；
假设小涵有轮获得第名，
则小涵的得分至少是(分),与小涵实际得了分不符，
∴小涵没有轮获得第名，小睿有轮获得第名,
∴选项②错误，不符合题意;
(分),
∴小睿轮得第一，轮得第二，轮得第三，
∴小涵轮得第二，轮得第三，
∴选项③正确，符合题意,
综上可得：说法正确的是①③④，
故答案为：①③④.
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，然后计算加减法即可求得结果；
（2）先利用乘法分配律展开、去绝对值运算，再计算加减即可得到结果．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则．
18. 解二元一次方程组．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用加减消元法解得，再用代入法求得即可；
（2）先将式子去分母，再用加减消元法解得，再用代入法求得即可．
【小问1详解】
解：，
得：，解得，
把代入②得：，解得，
原方程组的解为：；
小问2详解】
，
②化简得：，即，
得：，解得：，
将代入①得：，解得：，
原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．
19. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每一个小方格都是边长为个单位长度的正方形．
（1）将先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请坐标系中作出；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）9
【解析】
【分析】(1)根据平移方式找到的对应点，顺次连接，即为所求；
(2)根据题意，连接，根据四边形的面积,结合网格，根据三角形面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示：即为所求；
【小问2详解】
四边形的面积为：．
【点睛】本题考查了平移作图，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键．
20. 甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入方程组的第二个方程，代入方程组的第一个方程，分别求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
【详解】解：把代入②，得，
解得；
把代入①，得，
解得；
所以．
21. 如图，，．
求证：．

根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程．
证明：∵ ，
∴ ．
∴ ．
又∵（已知），
∴ ．
∴ ．
又∵ ， ，
∴（等量代换）．
【答案】已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；
【解析】
【分析】利用平行线的性质与判定和等式的性质等依次进行推理即可．
【详解】解：∵（ 已知 ）
∴（同旁内角互补，两直线平行 ）
∴（两直线平行，内错角相等 ）
又∵（已知）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵
∴（等量代换）．
故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题关键是牢记平行线的判定与性质．
22. 如图，直线、交于点，，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）首先根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论；
（2）根据平分线的定义可得，设，则，结合可得关于的一元一次方程，解得的值，可求得，然后由求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵平分，
∴，
∵，
设，，
则，
即，解得，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
23. 长郡开福中学在今年3月29日组织了一场有声有色的“爱心义卖”活动．在这次活动中，学生会组织的“衫衫来了，爱心义卖”成为活动焦点.活动前一个月左右学生会购进黑白两种纯色文化衫共200件，组织学校美术爱好者进行手绘设计，计划设计好后全部在义卖活动中售出（颜料由学校提供，不计入成本），预计获利3360元．
已知每种文化衫的成本和售价如下表：
（1）他们购进两种文化衫各多少件？
（2）由于活动时间有限，白色文化衫按原价售出后，剩余的七五折销售，黑色文化衫原价售出55件后，剩余的八折销售，最后全部卖出．他们将实际获利全部捐赠，求他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款多少元？
【答案】（1）购进白色文化衫件，黑色文化衫件
（2）捐款元
【解析】
【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，准确列出方程组是解题的关键．
（1）利用题中条件以及表格，列出对应的二元一次方程组即可进行解题；
（2）根据题意列出算式计算解题即可．
【小问1详解】
解：设购进白色文化衫件，黑色文化衫件，列方程组得：
，
解得：，
答：购进白色文化衫件，黑色文化衫件．
【小问2详解】
解：元，
答：他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款元．
24. 规定：若是以为未知数的二元一次方程的整数解，则称此时点为二元一次方程的“理想点”．请回答以下关于的二元一次方程的相关问题．
（1）已知，请问哪些点是方程的“理想点”？哪些点不是方程的“理想点”？并说明理由；
（2）已知为非负整数，且，若是方程的“理想点”，求的平方根；
（3）已知是正整数，且是方程和的“理想点”，求点的坐标．
【答案】（1）点是方程的“理想点”, 点, 点不是方程的“理想点”
（2）
（3）点坐标为或 或或
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组与新定义的综合，理解“理想点”的含义并灵活运用是解题的关键.
（1）根据“理想点”定义进行判断即可；
（2）根据题意求出和的值，进一步求解即可；
（3）解二元一次方程组，得出 ，再根据“理想点”定义求出和的值即可.
【小问1详解】
点是方程的“理想点”， 点， 点不是方程的“理想点”， 理由如下：
∵时，；
时，；
时；
∴点是方程的“理想点”， 点， 点不是方程的“理想点”；
【小问2详解】
解：把代入方程，得，
又∵，解得 ，
∵为非负整数，
，
，
；
【小问3详解】
根据题意，得 ，
解得 ，
∵是整数，
或 ，
∵是整数，
或 或，
或 ，
当时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上，点坐标为或 或或
25. 如图，直线PQ//MN，一副三角尺中，，，，．
（1）若如图①摆放，当平分时，求证：平分；
（2）如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线相交于点（图③），求的度数；
（3）若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或或或
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键.
（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图, 分别过点作，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（3）如图, 过点作利用平行线性质即可求得；分四种情况：①当时，同时, ②当时, ③当时，④时，分别求出旋转角度求解即可.
【小问1详解】
证明：如图, 在中, ,
∵ 平分 ，
，
，
，
∴，
∴,
∴平分;
【小问2详解】
如图, 分别过点作,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵和的角平分线相交于点，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
如图, 过点作,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴，
又∵，
∴，
∴，
①当时，同时，如图，过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴旋转时间为；
②当时，如图，过点作，过点E作，
由①可得，
∴，
∴旋转时间为；
③当时，如图，过点E作，延长交于点K，
则，
∴，
这时在上停止运动，
∴旋转时间为；
④时，如图，延长交于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴旋转时间为；
综上所述，当运动或或或时，的一边与的一边平行．第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
最后得分
小颖
26
小睿
12
小涵
10
白色文化衫
黑色文化衫
成本（元/件）
10
12
售价（元/件）
26
30