2023-2024学年湖南省长沙市长郡教育集团七年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市长郡教育集团七年级（下）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．
C．1.010010001D．π
2．（3分）点P（﹣2，3）所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（3分）如图，AB∥DE，若∠BDE＝25°，则∠B的度数是（ ）
A．55°B．30°C．25°D．20°
4．（3分）下列是二元一次方程组2x+3y＝5的解的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．同旁内角互补，两直线平行
C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
7．（3分）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系以正东方向为x轴的正方向，以正北方向为y轴的正方向，并且综合楼和教学楼的坐标分别是 （﹣4，﹣1）和 （1，2）则食堂的坐标是（ ）
A．（3，5）B．（﹣2，3）C．（2，4）D．（﹣1，2）
8．（3分）《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A．B．C．1D．+2
10．（3分）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以对角线OA1为边作正方形OA1A2B1，再以正方形OA1A2B1的对角线OA2为边作正方形OA2A3B2，…，依此规律，则点A2024的坐标是（ ）
A．（21012，0）B．（﹣21012，0）
C．（0，21012）D．（0，﹣21012）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）49的平方根是 ．
12．（3分）在2x+y＝7中，用含y的代数式表示x： ．
13．（3分）点A（2，7）到x轴的距离为 ．
14．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数等于 ．
15．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m+2，2m+1），若将点A向左平移3个单位长度后刚好落在y轴上，则m的值为 ．
16．（3分）我校在本学期4月上旬举行了“古诗词大赛”，最后有小涵、小颖和小睿三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮．规定：每轮分别决出第一，第二，第三名（不并列），对应名次的得分分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．
如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：
根据题中所给的信息，下列说法正确的是 （填序号）．
①可求得a+b+c＝8；
②小睿每轮比赛都没有获得第一名；
③小涵一定有两轮且只有两轮获得第三名；
④每轮比赛第二名得分为2分．
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）解二元一次方程组．
（1）；
（2）．
19．（6分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每一个小方格都是边长为1个单位长度的正方形．
（1）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到△A′B′C′，请在坐标系中作出△A′B′C′；
（2）求四边形AA′C′C的面积．
20．（6分）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值．
21．（8分）如图，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．
求证：∠1＝∠2．
根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程．
证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（ ），
∴AB∥ED（ ）．
∴∠ABC＝∠BCD（ ），
又∵∠P＝∠Q（已知），
∴PB∥ ．
∴∠PBC＝ ．
∴∠ABC﹣ ＝∠BCD﹣ （ ），
即∠1＝∠2．
22．（8分）如图，直线CD、EF交于点O，AO⊥BO，且∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若OB平分∠DOE，∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数．
23．（8分）长郡开福中学在今年3月29日组织了一场有声有色的“爱心义卖”活动．在这次活动中，学生会组织的“衫衫来了，爱心义卖”成为活动焦点．活动前一个月左右学生会购进黑白两种纯色文化衫共200件，组织学校美术爱好者进行DIY手绘设计，计划设计好后全部在义卖活动中售出（颜料由学校提供，不计入成本），预计获利3360元．
已知每种文化衫的成本和售价如表：
（1）他们购进两种文化衫各多少件？
（2）由于活动时间有限，白色文化衫按原价售出后，剩余的七五折销售，黑色文化衫原价售出55件后，剩余的八折销售，最后全部卖完．他们将实际获利全部捐赠，求他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款多少元？
24．（10分）规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by＝c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by＝c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题．
（1）已知A（﹣2，2），B（2，﹣1），C（3，﹣2），请问哪些点是方程3x+y＝5的“理想点”？哪些点不是方程3x+y＝5的“理想点”？并说明理由；
（2）已知m，n为非负整数，且，若是方程x+2y＝4的“理想点”，求2m+n的平方根；
（3）已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y＝2和kx+2y＝6的“理想点”，求点P的坐标．
25．（10分）如图，直线PQ∥MN，一副三角尺△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DEF＝60°，∠DFE＝30°．
（1）若△DEF如图①摆放，当ED平分∠PEF时，求证：FD平分∠EFM；
（2）如图②，△ABC的边AB在直线MN上，△DEF的顶点D恰好落在直线PQ上，且边EF与边AC在同一直线上．当△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，使边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的平分线GH，FH相交于点H（图③），求∠GHF的度数；
（3）若图②中△DEF固定，将△ABC绕点B逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至BC与直线BM首次重合的过程中，请求出当△ABC的一边与△DEF的一边平行时旋转的时间．
2023-2024学年湖南省长沙市长郡教育集团七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数是无理数的是（ ）
A．B．
C．1.010010001D．π
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②无限不循环小数；③含有π的最简代数式；④特殊结构的数（如：0.121121112⋯）．结合所给数据进行判断即可．
【解答】解：A、＝2，是有理数，故该选项不符合题意；
B、是分数，属于有理数，故该选项不符合题意；
C、1.010010001，是有理数，故该选项不符合题意；
D、π是无理数，故该选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）点P（﹣2，3）所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】应先判断出所给的点的横纵坐标的符号，进而判断点P所在的象限．
【解答】解：∵点P的横坐标为负，纵坐标为正，
∴点P（﹣2，3）所在象限为第二象限．
故选：B．
3．（3分）如图，AB∥DE，若∠BDE＝25°，则∠B的度数是（ ）
A．55°B．30°C．25°D．20°
【分析】根据两直线平行，内错角相等解答即可．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠BDE，
∵∠BDE＝25°，
∴∠B＝25°．
故选：C．
4．（3分）下列是二元一次方程组2x+3y＝5的解的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别将各选项代入方程，使方程左边＝右边的那组数就是方程的解．
【解答】解：将代入方程，左边＝2×2+3×（﹣2）＝﹣2≠右边，
∴不是方程的解，
∴A不正确，不符合题意；
将代入方程，左边＝2×3+3×（﹣2）＝0≠右边，
∴不是方程的解，
∴B不正确，不符合题意；
将代入方程，左边＝2×（﹣2）+3×3＝5＝右边，
∴是方程的解，
∴C正确，符合题意；
将代入方程，左边＝2×5+3×（﹣3）＝1≠右边，
∴不是方程的解，
∴D不正确，不符合题意．
故选：C．
5．（3分）将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2＝40°，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：标出字母，如图：
∵∠3＝∠2＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝50°，
∵DE∥FG，
∴∠1＝∠4＝50°．
故选：C．
6．（3分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．同旁内角互补，两直线平行
C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【分析】根据垂线公理对A进行判断；根据平行线的判定对B进行判断；根据平行线的传递性对C进行判断；根据平行线的性质对D进行判断．
【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这个命题为真命题；
B、同旁内角互补，两直线平行，这个命题为真命题；
C、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，这个命题为真命题；
D、两条直线被第三条直线所截，同位角相等，这个命题为假命题．
故选：D．
7．（3分）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系以正东方向为x轴的正方向，以正北方向为y轴的正方向，并且综合楼和教学楼的坐标分别是 （﹣4，﹣1）和 （1，2）则食堂的坐标是（ ）
A．（3，5）B．（﹣2，3）C．（2，4）D．（﹣1，2）
【分析】根据食堂的位置在教学楼的左边3格上，则横坐标减3；根据食堂的位置在综合楼的上面4格上，则纵坐标加4，最后得到食堂的坐标．
【解答】解：
1﹣3＝﹣2，
﹣1+4＝3，
所以食堂的坐标（﹣2，3），
故选：B．
8．（3分）《九章算术》中曾记载：“今有牛五羊二，直金十两；牛二羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两”列出方程组即可得答案．
【解答】解：由题意可列方程组为，
故选：A．
9．（3分）如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A．B．C．1D．+2
【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为，所以AB＝，而AB＝AE，得AE＝，A点的坐标为1，故E点的坐标为．
【解答】解：∵面积为7的正方形ABCD为7，
∴AB＝，
∵AB＝AE，
∴AE＝，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为，
故选：C．
10．（3分）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以对角线OA1为边作正方形OA1A2B1，再以正方形OA1A2B1的对角线OA2为边作正方形OA2A3B2，…，依此规律，则点A2024的坐标是（ ）
A．（21012，0）B．（﹣21012，0）
C．（0，21012）D．（0，﹣21012）
【分析】根据正方形的性质可找出部分点An的坐标，根据坐标的变化即可找出A8n+4（0，﹣24n+2）（n为自然数），再根据2020＝252×8+4，即可找出点A2020的坐标．
【解答】解：观察，发现：A（0，1）、A1（1，1），A2（2，0），A3（2，﹣2），A4（0，﹣4），A5（﹣4，﹣4），A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），A9（16，16）…，
∴A8n（0，24n）（n为自然数）．
∵2024＝253×8，
∴A2024（0，2253×4），即点A2024的坐标是（0，21012）．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）49的平方根是 ±7 ．
【分析】根据平方根的定义解答．
【解答】解：49的平方根是±7．
故答案为：±7．
12．（3分）在2x+y＝7中，用含y的代数式表示x： x＝ ．
【分析】把y看作已知数求出x即可．
【解答】解：方程2x+y＝7，
2x＝7﹣y，
解得：x＝，
故答案为：x＝．
13．（3分）点A（2，7）到x轴的距离为 7 ．
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度解答．
【解答】解：点A（2，7）到x轴的距离为7．
故答案为：7．
14．（3分）如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数等于 115° ．
【分析】根据折叠的性质，得∠BFE＝（180°﹣∠1），再根据平行线的性质即可求得∠AEF的度数．
【解答】解：根据长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，得
∠BFE＝（180°﹣∠1）＝65°．
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝115°．
15．（3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m+2，2m+1），若将点A向左平移3个单位长度后刚好落在y轴上，则m的值为 1 ．
【分析】根据平移坐标的变化规律求出平移后对应点的坐标，再根据y轴上点的坐标特征求出m的值即可．
【解答】解：∵将点A（m+2，2m+1）向左平移3个单位长度后，所得到的点的坐标为（m﹣1，2m+1），
又∵平移后恰好落在y轴上，
∴m﹣1＝0，
∴m＝1．
故答案为：1．
16．（3分）我校在本学期4月上旬举行了“古诗词大赛”，最后有小涵、小颖和小睿三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮．规定：每轮分别决出第一，第二，第三名（不并列），对应名次的得分分别为a，b，c（a＞b＞c，且a，b，c均为正整数）；选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．
如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况：
根据题中所给的信息，下列说法正确的是 ①③④ （填序号）．
①可求得a+b+c＝8；
②小睿每轮比赛都没有获得第一名；
③小涵一定有两轮且只有两轮获得第三名；
④每轮比赛第二名得分为2分．
【分析】首先根据每轮分别决出第1，2，3名（不并列），可得（a+b+c）×6＝26+12+10＝48，所以a+b+c＝8，然后根据小涵的得分，推得a≥5；再根据a＞b＞c及b+c最小取3，可知a＝5，进而求出b和c的值，再逐项判断即可．
【解答】解：∵每轮分别决出第1，2，3名（不并列），
∴（a+b+c）×6＝26+12+10＝48，
∴a+b+c＝8，选项①符合题意；
∵小涵的得分最高为6a，
∴6a≥26，
∵a为正整数，
∴a≥5，
∵a＞b＞c，且a，b，c均为正整数，
∴b、c的最小值分别为2、1，
∴b+c≥3，
∵a+b+c＝8，
∴a≤5，
又∵a≥5，
∴a＝5，b＝2，c＝1，选项④符合题意；
∵26＝5×5+1，
∴小涵5轮得第一，1轮得第三；
假设小睿有1轮获得第1名，
则小睿的得分至少是5+2+1+1+1+1＝11（分），与小睿实际得了10分不符，
∴小睿没有1轮获得第1名，小颖有1轮获得第1名，
∴选项②不符合题意；
∵12﹣5﹣2﹣1＝4（分），
∴小颖1轮得第一，2轮得第二，3轮得第三，
∴小睿4轮得第二，2轮得第三，
∴选项③符合题意，
综上，可得：说法正确的是①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）首先计算开平方、开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）首先计算绝对值，然后根据乘法分配律计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1）
＝4+（﹣3）﹣
＝．
（2）
＝×++（2﹣）
＝3++2﹣
＝5．
18．（8分）解二元一次方程组．
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法解得x＝3，再用代入法求得y＝0即可；
（2）先将式子去分母，再用加减消元法解得x＝6，再用代入法求得y＝即可．
【解答】解：（1）
①+②，得4x＝12，
∴x＝3．
把x＝3代入②，得3+2y＝3，
解得y＝0
所以原方程组的解为；
（2），
②化简得：2（x﹣2）﹣3（y﹣2）＝6，即2x﹣3y＝4③，
①+③得：3x＝18，解得：x＝6，
将x＝6代入①得：6+3y＝14，解得：y＝，
∴原方程组的解为：．
19．（6分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每一个小方格都是边长为1个单位长度的正方形．
（1）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到△A′B′C′，请在坐标系中作出△A′B′C′；
（2）求四边形AA′C′C的面积．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用三角形面积求法，进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）四边形△AA′C′C的面积为：2S△ACA′＝2××3×3＝9．
20．（6分）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值．
【分析】将代入方程组的第二个方程，代入方程组的第一个方程，分别求出a与b的值，即可求出所求式子的值．
【解答】解：把代入②，得﹣12+b＝﹣2，
解得b＝10；
把代入①，得5a+20＝15，
解得a＝﹣1；
所以．
21．（8分）如图，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．
求证：∠1＝∠2．
根据图形和已知条件，请补全下面这道题的解答过程．
证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（ 已知 ），
∴AB∥ED（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等 ），
又∵∠P＝∠Q（已知），
∴PB∥ CQ ．
∴∠PBC＝ ∠QCB ．
∴∠ABC﹣ ∠PBC ＝∠BCD﹣ ∠QCB （ 等式的性质 ），
即∠1＝∠2．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解答】证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），
∴AB∥ED（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
又∵∠P＝∠Q（已知），
∴PB∥CQ．
∴∠PBC＝∠QCB．
∴∠ABC﹣∠PBC＝∠BCD﹣∠QCB（等式的性质），
即∠1＝∠2．
故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CQ；∠QCB；∠PBC；∠QCB；等式的性质．
22．（8分）如图，直线CD、EF交于点O，AO⊥BO，且∠1+∠2＝90°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若OB平分∠DOE，∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数．
【分析】（1）首先根据题意可得∠AOB＝90°，进而可知∠AOC+∠2＝90°，结合∠1+∠2＝90°可证明∠AOC＝∠1，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论；
（2）根据平分线的定义可得∠EOB＝∠2，设∠2＝∠EOB＝2x，则∠3＝5x，结合∠EOB+∠2+∠3＝180°可得关于x的一元一次方程，解得x的值，可求得∠AOE，然后由∠AOF＝180°﹣∠AOE求解即可．
【解答】（1）证明：∵AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠2＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠AOC＝∠1，
∴AB∥CD；
（2）解：∵OB平分∠DOE，
∴∠EOB＝∠2，
∵∠2：∠3＝2：5，
设∠2＝∠EOB＝2x，∠3＝5x，
则∠EOB+∠2+∠3＝180°，
即2x+2x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠EOB＝40°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝∠AOB﹣∠EOB＝50°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°．
23．（8分）长郡开福中学在今年3月29日组织了一场有声有色的“爱心义卖”活动．在这次活动中，学生会组织的“衫衫来了，爱心义卖”成为活动焦点．活动前一个月左右学生会购进黑白两种纯色文化衫共200件，组织学校美术爱好者进行DIY手绘设计，计划设计好后全部在义卖活动中售出（颜料由学校提供，不计入成本），预计获利3360元．
已知每种文化衫的成本和售价如表：
（1）他们购进两种文化衫各多少件？
（2）由于活动时间有限，白色文化衫按原价售出后，剩余的七五折销售，黑色文化衫原价售出55件后，剩余的八折销售，最后全部卖完．他们将实际获利全部捐赠，求他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款多少元？
【分析】（1）设购进白色文化衫x件，黑色文化衫y件，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，结合销售两种文化衫200件共获利3360元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）计算所有文化衫的利润之和即可．
【解答】解：（1）设购进白色文化衫x件，黑色文化衫y件，
依题意得：，
解得：，
答：购进白色文化衫120件，黑色文化衫80件；
（2）120××（26﹣10）+120×（26×0.75﹣10）+55×（30﹣12）+（80﹣55）×（30×0.8﹣12）＝1280+380+990+300＝2950（元），
答：他们在这次“爱心义卖”活动中实际捐款2950元．
24．（10分）规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by＝c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by＝c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题．
（1）已知A（﹣2，2），B（2，﹣1），C（3，﹣2），请问哪些点是方程3x+y＝5的“理想点”？哪些点不是方程3x+y＝5的“理想点”？并说明理由；
（2）已知m，n为非负整数，且，若是方程x+2y＝4的“理想点”，求2m+n的平方根；
（3）已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y＝2和kx+2y＝6的“理想点”，求点P的坐标．
【分析】（1）根据“理想点”定义进行判断即可；
（2）根据题意求出m和n的值，进一步求解即可；
（3）解二元一次方程组，得出，再根据“理想点”定义求出x和y的值即可．
【解答】解：（1）点B是方程3x+y＝5的“理想点”，点A，点C不是方程3x+y＝5的“理想点”，理由如下：
∵x＝﹣2，y＝2时，3x+y＝3×（﹣2）+2＝﹣6+2＝﹣4≠5，
x＝2，y＝﹣1时，3x+y＝3×2+（﹣1）＝6﹣1＝5，
x＝3，y＝﹣2时，3x+y＝3×3﹣2＝9﹣2＝7≠5，
∴点B是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点C不是方程2x+3y＝6的“理想点”；
（2）把代入方程x+2y＝4，
得+2|n|＝4，
又∵，
解得，
∵m，n为非负整数，
∴m＝4，n＝1，
∴2m+n＝8+1＝9，
∴±＝±3；
（3）根据题意，得，
解得，
∵x是整数，
∴k﹣4＝±2或k﹣4＝±1，
∵y是整数，
∴k﹣4＝±1或k﹣4＝±2或k﹣4＝±4，
∴k﹣4＝±1或k﹣4＝±2，
当k﹣4＝1时，，
当k﹣4＝﹣1时，，
当k﹣4＝2时，，
当k﹣4＝﹣2时，，
综上，P点坐标为（2，﹣2）或（﹣2，6）或（1，0）或（﹣1，4）．
25．（10分）如图，直线PQ∥MN，一副三角尺△ABC，△DEF中，∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DEF＝60°，∠DFE＝30°．
（1）若△DEF如图①摆放，当ED平分∠PEF时，求证：FD平分∠EFM；
（2）如图②，△ABC的边AB在直线MN上，△DEF的顶点D恰好落在直线PQ上，且边EF与边AC在同一直线上．当△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，使边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的平分线GH，FH相交于点H（图③），求∠GHF的度数；
（3）若图②中△DEF固定，将△ABC绕点B逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至BC与直线BM首次重合的过程中，请求出当△ABC的一边与△DEF的一边平行时旋转的时间．
【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（3）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得∠QDF＝75°；分四种情况：①当AC∥DE时，同时BC∥DF，②当BC∥EF时，③当BA∥EF时，④AB∥DF时，分别求出旋转角度求解即可．
【解答】（1）证明：在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，
∵ED平分∠PEF，
∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，
∵PQ∥MN，
∴∠MFE＝180°﹣∠PEF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠MFD＝∠MFE﹣∠DFE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠MFD＝∠DFE，
∴FD平分∠EFM；
（2）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，
∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，
∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，
∴FL∥PQ∥HR，
∴∠QGF+∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA﹣∠LFA，
∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，
∴，
∵∠DFE＝30°，
∴∠GFA＝180°﹣∠DFE＝150°，
∴，
∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA﹣∠LFA＝75°﹣45°＝30°，
∴∠GFL＝∠GFA﹣∠LFA＝150°﹣45°＝105°，
∴，
∴∠GHF＝∠RHG+∠RHF＝37.5°+30°＝67.5°；
（3）如图2，过点E作EK∥MN，
∵∠BAC＝45°，
∴∠KEA＝∠BAC＝45°，
∵PQ∥MN，EK∥MN，
∴PQ∥EK，
∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF﹣∠KEA，
又∵∠DEF＝60°，
∴∠PDE＝60°﹣45°＝15°，
∴∠QDF＝180°﹣∠PDE﹣∠EDF＝180°﹣15°﹣90°＝75°，
①当AC∥DE时，同时BC∥DF，如图，过点H作HK∥PQ，
∴∠CGH＝∠D＝90°，
∴∠AGH＝90°，
∵∠A＝∠AHG＝45°，
∴∠DHB＝180°﹣∠AHG＝135°，
∵HK∥PQ，
∴∠KHD＝∠QDF＝75°，
∴∠KHB＝∠DHB﹣∠KHD＝135°﹣75°＝60°，
MN∥PQ，
∴HK∥MN∥PQ，
∴∠KHB＝∠ABN＝60°，
∴旋转时间为；
②当BC∥EF时，如图，过点H作HK∥PQ，过点E作EL∥PQ，
由①可得∠LEF＝∠EHK＝45°，
∴∠KHB＝∠ABN＝135°﹣45°＝90°，
∴旋转时间为；
③当BA∥EF时，如图，过点E作EL∥PQ，延长EF交MN于点K，
则∠EKB＝45°，
∴∠ABN＝180°﹣∠EKB＝180°﹣45°＝135°，
这时BC在MN上停止运动，
∴旋转时间为；
④AB∥DF时，如图，延长DF交MN于M′，
∴∠DM′N＝∠ABN，
∵PQ∥MN，
∴∠DM′N＝180°﹣∠QDF＝105°，
∴∠ABN＝105°，
∴旋转时间为；
综上所述，当运动40s或60s或70s或90s时，△ABC的一边与△DEF的一边平行．
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
最后得分
小颖
a
26
小睿
b
c
12
小涵
b
10
白色文化衫
黑色文化衫
成本（元/件）
10
12
售价（元/件）
26
30
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