湖南省长沙市长郡雨花外国语学校2023-2024学年七年级下学期第三次月考数学试题

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一、选择题（本大题共30分）
1. 下列各数中属于无理数的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据无理数、有理数的定义进行判定即可得出答案．
【详解】，是有理数，
是无理数，
故选C．
【点睛】本题考查了无理数的定义.牢记无限不循环小数为无理数是解题的关键.
2. 下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A. 调查某电视节目的收视率B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品
C. 调查某品牌冰箱的使用寿命D. 调查市场上冷冻食品的质量情况
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽样调查与全面调查的意义：抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，并运用概率估计方法，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法；结合具体的问题情境进行判断即可．
【详解】解：A．调查某电视节目的收视率，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意；
B．调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品，必须使用全面调查，因此选项B符合题意；
C．调查某品牌冰箱的使用寿命，适合使用抽样调查，因此选项C不符合题意；
D．调查市场上冷冻食品的质量情况，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的前提．
3. 下列不等式变形不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的3个性质找到变形正确的选项即可．
【详解】解：A、由a＞b，得a+c＞b+c，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、由a＜b，得a-1＜b-1，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、由a＞b，得3a＞3b，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、由a＜b，得-a＞-b，原变形不正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质的运用；用到的知识点为：不等式的两边加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个不为0的正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个不为0的负数，不等号的方向改变．
4. 下列数轴上，正确表示不等式的解集的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出不等式的解集，再在数轴上将解集表示出来即可．
【详解】解：解不等式得，，
将在数轴上表示为：
故选：D．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上表示的方法是正确解答的前提．
5. 一个三角形的两边长分别是1和3，则第三边的长可能是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围为：2＜x＜4，因此只有选项C符合．
【详解】解：设第三边长为x，
则3-1＜x＜3+1，
2＜x＜4，
四个选项中只有选项C符合．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和．
6. 在平面直角坐标系xOy中，点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在第二象限的点的特点为：横坐标0，然后根据横坐标的特点列不等式即可.
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中第二象限内点的特征．
7. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中记载：“今有牛五、羊二、直金十二两；牛二、羊五、直金九两，问牛、羊各直金几何？”意思是：“假设有5头牛和2只羊共值金12两，2头牛和5只羊共值金9两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”如果按书中记载，1头牛和1只羊一共值金（ ）两．
A. 3B. 3.3C. 4D. 4.3
【答案】A
【解析】
【分析】本题里体现了两个等量关系，列二元一次方程组很容易解决这个问题．
【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两，根据题意可得：
解得：，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的问题，解题的关键是找准等量关系列出方程组．
8. 已知是二元一次方程的解，则点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先把代入求出a的值，然后得出此点的坐标，即可得出结果．
【详解】解：∵是二元一次方程的解，
∴，解得：，
∴此点的坐标为：，
即此点坐标为，
∴此点在第四象限，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，平面直角坐标系中各象限内点的特点，根据题意求出a=2的值，是解题的关键．
9. 如图，小明从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）
A. 240mB. 230mC. 220mD. 200m
【答案】A
【解析】
【分析】根据多边形的外角和除以一个外角，可得多边形．
【详解】解：由题意，得：360÷15=24，
多边形是二十四边形，
24×10=240米，
故选A．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，利用多边形的外角和除以一个外角得出多边形是解题关键．
10. 如图，正方形的顶点，规定把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位为一次变换，这样连续经过2024次变换后，正方形的顶点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了对称与平移的性质，属于规律性题目，首先由正方形的顶点，，然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点C的对应点的坐标，即可得规律，进而求解．
【详解】∵正方形的顶点，
∴
根据题意得：第1次变换后的点C的对应点的坐标为
第2次变换后的点C的对应点的坐标为
第3次变换后的点C的对应点的坐标为
……
第n次变换后的点C的对应点的坐标为，当n为奇数时为；当n为偶数时为
∴连续经过2024次变换后，正方形的顶点的坐标为
故选：C．
二、填空题（本大题共18分）
11. 将点先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点，则点的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移的性质，向左平移，则横坐标减；向上平移，则纵坐标加．
【详解】解：先向左平移1个单位长度，
再向上平移3个单位长度得到点，
，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化平移，解题的关键是熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
12. 已知方程是关于x、y的二元一次方程，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义求解即可．
【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程，
∴2n−1＝1，
解得：n＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须满足以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次，方程是整式方程．
13. 若是方程的解，则a的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】把代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值．
【详解】解：把代入方程得：2+2a=8，
∴a=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
14. 如图，△ABC中，∠B＝20°，D是BC延长线上一点，且∠ACD＝60°，则∠A的度数是____________ 度．
【答案】40
【解析】
【分析】直接根据三角形外角的性质可得结果．
【详解】解：∵∠B＝20°，∠ACD＝60°，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠B+∠A，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键
15. 对于整数a，b，c，d，符号表示运算ad-bc，已知1＜＜3，则bd的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题中已知条件得出关于bd的不等式，直接进行解答即可．
【详解】解：已知1＜＜3，即1＜4-bd＜3，
所以，
解得1＜bd＜3，
因为b，d都是整数，则bd一定也是整数，因而bd=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了新定义运算，读懂题目，把题目中的式子转化为一般的式子是解决本题的关键．
16. 整数使得关于的不等式组至少有4个整数解，且关于的方程有非负整数解，则满足条件的整数为________．
【答案】4，7
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式组整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解；解不等式组中两个不等式得出，结合其整数解的情况可得，再解方程得，由其解为非负数得出，最后根据方程的解必须为非负整数可得的取值情况．
【详解】解不等式得，
解不等式得，
∴
∵不等式组至少有4个整数解，
∴，解得
解方程得
∵方程有非负整数解，
∴，解得
∴
其中能使为非负整数的为4，7
故答案为：4，7．
三、解答题（本大题共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答．
详解】解：，
①得：
③，
②③得：
，
把代入①得：
，
解得：，
原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
19. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解：
解①得：，
解②得：，
则不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20. 已知每个小正方形网格的边长为1，在如图所示的平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点都在网格交点上．
(1)写出点A，B的坐标；
(2)画出三角形ABC向右平移5个单位，向下平移2个单位后得到的三角形A1B1C1；
(3)求三角形ABC的面积．
【答案】（1）A（-5，5 ）B（0，-3) ；（2）如图见解析； (3)
【解析】
【分析】（1）根据点与坐标的关系解答即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C向右平移5个单位，向下平移2个单位的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（3）直接根据三角形的面积公式计算即可.
【详解】解：（1）A（-5，5 ）B（0，-3) ；
（2）如图，
（3）三角形ABC的面积=
【点睛】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21. 疫情期间，“线上教学”为我们提供了学习的渠道．某学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢线上教学”进行了问卷调查，调查选项为：A．非常喜欢，B．比较喜欢，C．一般，D．不喜欢，学校将调查结果统计后绘制成如下条形统计图和扇形统计图．

（1）本次参与调查的学生有________人；
（2）在扇形统计图中，扇形D的圆心角度数为_______度；
（3）请补全条形统计图；
（4）若该学校有3000人，根据调查结果，估计该校选择“B：比较喜欢”的人数．
【答案】（1）40；（2）36 ；（3）；见详解；（4）1050．
【解析】
【分析】（1）根据非常喜欢线上教学是12人，占总数的30%即可求出答案；
（2）360°乘以不喜欢占的百分比，即可求出圆心角；
（3）求出C的人数，即可补全条形统计图；
（4）根据题意列出算式，再求出即可．
【详解】解：（1）12÷30%=40（人），
即本次参与调查的学生有40人，
故答案为：40；
（2）360°×=36°，
即在扇形统计图中，扇形D的圆心角度数为36°，
故答案为：36；
（3）40-12-14-4=10，
如图所示，
；
（4）3000×=1050（人），
答：若该学校有3000人，根据调查结果，估计该校选择“B．比较喜欢”的人数是1050人．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体等知识点，能根据扇形统计图和条形统计图得出正确信息是解此题的关键．
22. 如图，在中，，分别是，上的点，，是上的点，连接，，，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由
（2）若是的平分线，，求的度数．
【答案】（1）互相平行，见解析
（2）40°
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质定理可得，等量代换可得，利用平行线的判定定理可得结论；
（2）由已知可得，利用角平分线的性质定理可得，利用平行线的判定定理可得，由平行线的性质定理可得结论．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
是的平分线，
，
；
．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是能灵活运用平行线的判定和性质定理进行推理．
23. 如图，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5，AC=3．
（1）边BC的取值范围是 ；
（2）△ABD与△ACD的周长之差为 ；
（3）在△ABC中，若AB边上的高为2，求AC边上的高．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）直接根据三角形三边关系进行解答即可；
（2）根据三角形中线将△ABD与△ACD的周长之差转换为和的差即可得出答案；
（3）设AC边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵△ABC中AB=5，AC=3，
∴，
即，
故答案为：；
（2）∵△ABD的周长为，
△ACD的周长为，
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴，
∴-()=，
故答案为：；
（3）设AC边上的高为，
根据题意得：,
即，
解得．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键．
24. 某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元.
(1)按该公司要求可以有几种购买方案？
(2)如果该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择什么样的购买方案？
【答案】（1）有3种购买方案①购乙6台，②购甲1台，购乙5台，③购甲2台，购乙4台（2）购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,
【解析】
【分析】（1）设购买甲种机器x台（x≥0），则购买乙种机器（6-x）台，根据买机器所耗资金不能超过34万元，即购买甲种机器的钱数+购买乙种机器的钱数≤34万元．就可以得到关于x的不等式，就可以求出x的范围．
（2）该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，就是已知不等关系：甲种机器生产的零件数+乙种机器生产的零件数≤380件．根据（1）中的三种方案，可以计算出每种方案的需要资金，从而选择出合适的方案．
【详解】解：(1)设购买甲种机器x台(x≥0),则购买乙种机器(6-x)台
依题意,得7x+5(6-x)≤34
解这个不等式,得x≤2,即x可取0,1,2三个值.
∴该公司按要求可以有以下三种购买方案:
方案一:不购买甲种机器,购买乙种机器6台.
方案二:购买甲种机器l1台,购买乙种机器5台.
方案三:购买甲种机器2台,购买乙种机器4台
(2)根据题意,100x+60(6-x)≥380
解之得x>
由(1)得x≤2,即≤x≤2.
∴x可取1,2俩值.
即有以下两种购买方案：
购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,所耗资金为1×7+5×5=32万元；
购买甲种机器2台,购买乙种机器4台,所耗资金为2×7+4×5=34万元.
∴为了节约资金应选择购买甲种机器1台,购买乙种机器5台,.
【点睛】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确确定各种情况，确定各种方案．
25. 对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y．
（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值；
（2）已知关于x，y的方程组，若a≥﹣2，求x+y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）x=1，y=1；（2）；（3）或或或或或
【解析】
【分析】（1）根据新运算定义建立方程组，解方程组即可得出答案；
（2）应用新运算定义建立方程组，解关于、的方程组可得，进而得出，再运用不等式性质即可得出答案；
（3）根据题意得，由平移可得，根据点落在坐标轴上，且，分类讨论即可．
【详解】解：（1）根据新运算的定义可得：
，
解得：；
（2）由题意得：，
解得：，
，
，
，
，
；
（3）由（2）知，，
，
将线段沿轴向右平移2个单位，得线段，
，
点落在坐标轴上，且，
或，
或；
①当时，，
若点在轴上，，
，
或；
若点在轴上，，
，
或；
②当时，；
点只能在轴上，，
，
或；
综上所述，点的坐标为或或或或或．
【点睛】本题考查了新运算定义，解二元一次方程组，不等式性质，平移变换的性质，理解并应用新运算定义是解题关键．
26. 如图，中，的角平分线与外角的平分线交于．
（1）如图1，若，则 ．
（2）如图2，四边形中，角平分线及外角的角平分线相交于点．若，求的度数．
（3）如图3，中，的角平分线与外角的角平分线交于．若是延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论：
①的值为定值；
②的值为定值；
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
【答案】（1）
（2）
（3）正确的结论是①，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义：
（1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出；
（3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵平分平分，
∴，
∴，
∵，
∴（四边形内角和可以看做两个三角形内角度数之和），
∴，
∴，
∴；
小问3详解】
解：正确的结论是①，理由如下：
同（1）可得，
∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的值为定值，①正确，其值是180°．
甲
乙
价格(万元/台)
7
5
每台日产量(个)
100
60