广东省茂名市信宜市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份广东省茂名市信宜市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）复数z＝2﹣i的虚部是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣i
2．（5分）已知向量，满足＝（2，1），＝（1，y），且⊥，则|+2|＝（ ）
A．B．C．5D．4
3．（5分）已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则k＝（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣2
4．（5分）已知cs2（+α）＝，则sin2α＝（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
5．（5分）在△ABC中，A＝105°，C＝45°，，则b＝（ ）
A．1B．C．D．2
6．（5分）函数的部分图象如图所示，将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，则＝（ ）
A．B．1C．D．
7．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则＝（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分。
（多选）9．（6分）下列各式中值为的是（ ）
A．2sin75°cs75°
B．1﹣2sin2
C．sin45°cs15°﹣cs45°sin15°
D．tan20°+tan25°+tan20°tan25°
（多选）10．（6分）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．3+i＞2+i
C．方程x2+2x+2＝0，（x∈C）的根是﹣1±i
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
（多选）11．（6分）在△ABC中，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若，则△ABC为锐角三角形
B．△ABC内一点G满足，则G是△ABC的重心
C．若，则△ABC的形状为等腰三角形
D．△ABC内一点P满足，则
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知角α的终边过点（﹣1，2），则的值为 ．
13．（5分）设向量＝（1，﹣2），＝（m+1，2m﹣4），若⊥，则m＝ ．
14．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若（2b﹣c）csA﹣acsC＝0，在方向上的投影是的的面积为，则a＝ ．
四、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知α∈（0，π），．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
16．（15分）已知向量．
（1）当时，求向量与的夹角；
（2）求的最大值．
17．（15分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量＝（2a，），＝（c，sinC），且∥．
（1）求角A；
（2）若c＝2，且△ABC的面积为，求AC边上的中线BM的大小．
18．（17分）已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的最大值和最小值，并指出取得最值时x的值．
19．（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcsC＝2a﹣c．
（1）求角B；
（2）如图，若△ABC外接圆半径为，D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC的周长．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）复数z＝2﹣i的虚部是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣i
【分析】利用复数的虚部的意义即可得出．
【解答】解：复数z＝2﹣i的虚部是﹣1．
故选：C．
【点评】熟练掌握复数的虚部的意义是解题的关键．
2．（5分）已知向量，满足＝（2，1），＝（1，y），且⊥，则|+2|＝（ ）
A．B．C．5D．4
【分析】根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得•＝2+y＝0，解可得y的值，即可得的坐标，进而计算可得向量（+2）的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，＝（2，1），＝（1，y），且⊥，
则有•＝2+y＝0，解可得y＝﹣2，即＝（1，﹣2），
则+2＝（4，﹣3），故|+2|＝＝5；
故选：C．
【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的计算和向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
3．（5分）已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则k＝（ ）
A．2B．4C．﹣4D．﹣2
【分析】根据平面向量基本定理可得出，然后根据平面向量基本定理即可求出k的值．
【解答】解：∵与共线，且，
∴存在λ，使，即，且不共线，
∴根据平面向量基本定理，，解得k＝﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量和共线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
4．（5分）已知cs2（+α）＝，则sin2α＝（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】利用降幂公式，化简求值．
【解答】解：因为cs2（+α）＝＝＝，
则sin2α＝﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
5．（5分）在△ABC中，A＝105°，C＝45°，，则b＝（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】先求出B，然后结合正弦定理即可求解b．
【解答】解：△ABC中，A＝105°，C＝45°，，
则B＝30°，
由正弦定理得，＝＝2，
则b＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
6．（5分）函数的部分图象如图所示，将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，则＝（ ）
A．B．1C．D．
【分析】由顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点作图求出φ，可得函数的解析式，再根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而得到的值．
【解答】解：函数的部分图象，
可得A＝2，＝﹣，∴ω＝．
再结合五点法作图，可得×+φ＝，∴φ＝，f（x）＝2sin（+）．
将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位得到函数y＝g（x）＝2sin的图象，
则＝2sin＝1，
故选：B．
【点评】考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式和函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
7．（5分）如图，△ABC是等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【分析】△ABE与△ACD的面积相等，，进而可得S△ABE＝S△BDE，E为AD的中点，运算可求．
【解答】解：∵D在线段BC上，且，∴，
又△ABE与△ACD的面积相等，∴，
∴S△ABE＝S△BDE，∴E为AD的中点，
∴，＝＝（+）＝+，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量基本定理，考查向量的线性运算，属基础题．
8．（5分）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设直角三角形的边长为a，a+1，a2+（a+1）2＝25，a＞0．解出利用倍角公式即可得出．
【解答】解：设直角三角形的边长为a，a+1，
则a2+（a+1）2＝25，a＞0．
解得a＝3．
∴sinθ＝，cs．
∴sin2θ＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分。
（多选）9．（6分）下列各式中值为的是（ ）
A．2sin75°cs75°
B．1﹣2sin2
C．sin45°cs15°﹣cs45°sin15°
D．tan20°+tan25°+tan20°tan25°
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和三角函数的值的应用求出结果．
【解答】解：对于A：2sin75°cs75°＝sin150，故A正确；
对于B：1﹣2sin2＝，故B错误；
对于C：sin45°cs15°﹣cs45°sin15°＝sin（45°﹣15°）＝sin30°＝，故C正确；
对于D：由于，
整理得tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝1，故D错误；
故选：AC．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）10．（6分）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．3+i＞2+i
C．方程x2+2x+2＝0，（x∈C）的根是﹣1±i
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
【分析】对于A，结合特殊值法，即可求解；对于B，结合虚数不能比较大小，即可求解；对于C，直接求解方程，即可求解；对于D，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：对于A，令，满足|z|＝1，但z＝±1或z＝±i不成立，故A错误；
对于B，虚数不能表大小，故B错误；
对于C，因为Δ＝22﹣2×4＝﹣4＜0，所以方程有两个虚根，
因为x2+2x+2＝0，所以，
所以x＝﹣1±i，所以C正确；
对于D，设z＝a+bi，则|z|＝
因为，
所以，
所以点Z的集合所构成的图形的面积为，所以D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
（多选）11．（6分）在△ABC中，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若，则△ABC为锐角三角形
B．△ABC内一点G满足，则G是△ABC的重心
C．若，则△ABC的形状为等腰三角形
D．△ABC内一点P满足，则
【分析】根据向量数量积定义，向量线性运算，向量垂直性质即可求解．
【解答】解：对A，∵，∴A为锐角，
但其余两角不清楚，∴△ABC不一定为锐角三角形，∴A错误；
对B，∵，，
∴G是△ABC的重心，∴B正确；
对C，∵，
∴根据向量加法平行四边形法则得平行四边形的对角线相等，
∴该平行四边形为矩形，
∴△ABC的形状为直角三角形，∴C错误；
对D，∵，∴，
∴，∴，∴D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查向量数量积定义，向量线性运算，属基础题．
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知角α的终边过点（﹣1，2），则的值为 ．
【分析】根据三角函数的定义求解sinα，再根据诱导公式求解即可．
【解答】解：已知角α的终边过点（﹣1，2），则，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式的应用，属于基础题．
13．（5分）设向量＝（1，﹣2），＝（m+1，2m﹣4），若⊥，则m＝ 3 ．
【分析】根据即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值．
【解答】解：∵，
∴，解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了向量坐标的数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
14．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若（2b﹣c）csA﹣acsC＝0，在方向上的投影是的的面积为，则a＝ ．
【分析】先利用正弦定理整理三角函数关系式求出A的值，再由在方向上的投影是的，以及三角形面积公式求得b，c的值，最后利用余弦定理即可求得a的值．
【解答】解：整理（2b﹣c）csA﹣acsC＝0，
得：2bcsA＝sinAcsC+csAsinC，
解得：csA＝，由于0＜A＜π，则A＝，
因为在方向上的投影是的，即||csA＝c＝||＝b，
所以c＝b，
因为△ABC的面积为，即bcsinA＝b²•＝3，
所以b＝3，则c＝4，
由余弦定理可得：a²＝b²+c²﹣2bccsA，解得a＝，
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及正弦定理的应用，属于中档题．
四、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知α∈（0，π），．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）结合同角基本关系即可直接求解；
（2）结合诱导公式及同角基本关系进行化简，结合（1）即可求解．
【解答】解：（1）由题意有α∈（0，π），＞0，
所以，
所以，
又因为，
所以；
（2）
＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
16．（15分）已知向量．
（1）当时，求向量与的夹角；
（2）求的最大值．
【分析】（1）根据已知条件，结合向量的夹角公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合向量模公式，以及三角函数的恒等变换公式，即可求解．
【解答】解：（1）当 时，，
∴，
设 与的夹角为β，
则，
∵0≤β≤π，
∴，即与的夹角为．
（2）∵，
∴，
∴，
＝，当时，等号成立，
∴的最大值为4．
【点评】本题主要考查向量模公式，以及三角函数的恒等变换公式，属于中档题．
17．（15分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量＝（2a，），＝（c，sinC），且∥．
（1）求角A；
（2）若c＝2，且△ABC的面积为，求AC边上的中线BM的大小．
【分析】（1）由∥，可得，然后利用正弦定理可得角A；
（2）根据△ABC的面积为，可得，然后利用余弦定理可求出BM．
【解答】解：（1）∵，，，
∴，
由正弦定理，得，
∵sinC≠0，∴sinA＝
∵A∈（0，），∴；
（2）∵△ABC的面积为，∴，
∵c＝2，，∴b＝3，
在三角形ABM中，由余弦定理，得
＝，
∴．
【点评】本题考查了向量平行，正余弦定理和三角形面积公式，考查了运算能力，属基础题．
18．（17分）已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）当时，求f（x）的最大值和最小值，并指出取得最值时x的值．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数为正弦型函数，利用正弦函数的单调性即可得解；
（2）求出时f（x）的值域，即可得出f（x）的最大、最小值及相应的x．
【解答】解：（1），
＝，
由，∈Z，
得，
所以f（x）的单调递增区间为；
（2）因为，所以，
所以当，即时，有，
当时，即时，有．
【点评】本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．
19．（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcsC＝2a﹣c．
（1）求角B；
（2）如图，若△ABC外接圆半径为，D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC的周长．
【分析】（1）由题意及余弦定理可得B的余弦值，再由B的范围，可得B角的大小；
（2）由（1）和三角形的外接圆的半径可得b边的值，由余弦定理可得a，c的关系，再在△ADC，△BCD中，由余弦定理求出∠ADC，∠BDC的余弦表达式，再由这两个角互为补角，可得a，c的关系，进而求出a+c的值，进而求出三角形的周长．
【解答】解：（1）因为2bcsC＝2a﹣c，由余弦定理可得2b•＝2a﹣c，
整理可得：a2+c2﹣b2＝ac，再由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accsB，
可得csB＝，B∈（0，π），
可得B＝；
（2）设△ABC外接圆半径为，设外接圆的半径为r，由正弦定理可得：＝2r，
由（1）可得AC＝b＝2××＝2，
D为AC的中点，可得AD＝CD＝AC＝，
在△ABC中，由余弦定理可得csB＝＝，
可得a2+c2﹣b2＝ac，可得（a+c）2＝b2+3ac＝8+3ac，①
而BD＝2，
在△ADC中，由余弦定理可得cs∠ADC＝＝＝，
在△BCD中，由余弦定理可得cs∠BDC＝＝＝，
又因为∠ADC，∠BDC互为补角，所以cs∠ADC+cs∠BDC＝0，
所以6﹣AB2+6﹣BC2＝0，
即a2+c2＝12，所以（a+c）2＝12+2ac②，
由①②可得a+c＝2，
所以△ABC的周长为a+b+c＝2+2．
【点评】本题考查三角形的正余弦定理的应用，属于中档题．