2023-2024学年广东省茂名市信宜市高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省茂名市信宜市高二（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是( )
A. 7B. 9C. 12D. 16
2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)=5，则Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=( )
A. 2B. 52C. 5D. 10
3.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有种不同的涂色方案．( )
A. 180B. 360C. 64D. 25
4.气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为35，在刮台风的条件下，下大雨的概率为910，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( )
A. 23B. 2750C. 910D. 310
5.垃圾分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，减少垃圾处理量和处理设备的使用，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济和生态等多方面的效益.为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一、高二、高三年级分别有2名、3名、3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的8名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有( )
A. 432种B. 420种C. 176种D. 72种
6.第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为( )
A. 0.75B. 0.7C. 0.56D. 0.38
7.将6名优秀教师分配到5个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有( )
A. 2400种B. 1800种C. 1200种D. 1600种
8.设函数f(x)=lnx+ax2−32x，若x=1是函数f(x)的极大值点，则函数f(x)的极小值为
( )
A. ln2−2B. ln2−1C. ln3−2D. ln3−1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=25，记X的均值和方差分别为E(X)和D(X)，则下列结论正确的是．( )
A. E(X)=35B. E(5X+3)=6C. D(X)=45D. D(5X+3)=65
10.已知二项式(2x−1 x)n的展开式中共有8项，则下列说法正确的有( )
A. 所有项的二项式系数和为128B. 所有项的系数和为1
C. 二项式系数最大的项为第5项D. 有理项共4项
11.对于函数f(x)图象上的任意一点，都存在另外一点，使得f(x)的图象在这两个不同点处的切线互相平行，则称函数f(x)具有P性质，下列函数中不具有P性质的有( )
A. f(x)=x3+x2B. f(x)=2x2+1C. f(x)=sinxD. f(x)=2lnx
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(1−x)7+(1−x)8的展开式中，含x3的项的系数是______．
13.从−2，−1，1，2，3这5个数中任取2个不同的数，已知取到的两数之积为正数，则取到的两数均为负数的概率是______．
14.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x2+alnx+bx在(1,f(1))处的切线方程为x+y+3=0．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的极值点，并计算两个极值之和．
17.(本小题15分)
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位；cm)满足关系：C(x)=16x+2(1≤x≤10)，设f(x)为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．
(1)求f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−alnx(a∈R)，g(x)=xex．
(1)讨论函数f(x)的单调区间；
(2)若a=−1，证明：g(x)≥f(x)+1；
(3)当x∈(1,+∞)时，f(x)+g(x)≥axalnx恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据题意，从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，则从A到C有3种不同的走法，
从C地到B地有四条路，则从C到B有4种不同的走法，
则从A地到B地不同的走法种数有3×4=12种；
故选：C．
根据题意，依次分析从A到C和从C到B的走法数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查分步计数原理的应用，注意分步计数原理与分类计数原理的不同，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)=5，
则Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=2×Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)2Δx=2f′(1)=10，
故选：D．
根据题意，由极限的性质和导数的定义可得Δx→0limf(1+2Δx)−f(1)Δx=2f′(1)，进而得到答案．
本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：第一步涂A，有5种涂法，
第二步涂B，和A不同色，有4种涂法，
第三步涂C，和AB不同色，有3种涂法，
第四步涂D，和BC不同色，有3种涂法，
由分步乘法技术原理可知，一共有5×4×3×3=180种涂色方案，
故选：A．
采用分步乘法计数原理进行分析即可．
本题考查了分步计数原理的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：设事件A表示刮台风，事件B表示下雨．
根据条件概率计算公式可得在吹台风的条件下下雨的概率P(B|A)=910=P(AB)P(A)，
∴P(AB)=910×35=2750，
故选：B．
利用条件概率的计算公式即可得出．
本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：将三个年级的学生分别捆绑，形成三个“大元素”，
考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为A33A22A33A33=6×2×6×6=432种．
故选：A．
将各年级的学生进行捆绑，然后考虑三个“大元素”之间的顺序及各“大元素”内部之间的顺序，结合分步乘法计数原理可得结果．
本题主要考查了排列组合知识，考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：设Ai表示第i天甲去A餐厅用餐，(i=1,2)，
设B1表示该生第一天去B餐厅用餐，则Ω=A1∪B1，且A1，B1互斥，
由题意得P(A1)=P(B1)=0.5，P(A2|A1)=0.7，P(A2|B1)=0.8，
∴运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为：
P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.7+0.5×0.8=0.75．
故选：A．
第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，利用全概率计算公式能求出运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率．
本题考查概率的求法，考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将6名教师分为5组，有C62=15种分组方法，
②将分好的5组全排列，安排到5个学校，有A55=120种分法，
则有15×120=1800种分配方法，
故选：B．
根据题意，分2步进行分析：①将6名教师分为5组，②将分好的5组全排列，安排到5个学校，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了导数和函数的极值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
先求导，再根据x=1是函数f(x)的极大值点，求出a的值，再根据导数和函数的单调性的关系即可求出极小值．
【解答】
解：∵f(x)=lnx+ax2−32x，x>0，
∴f′(x)=1x+2ax−32，
∵x=1是函数f(x)的极大值点，
∴f′(1)=1+2a−32=0，解得a=14，
∴f′(x)=1x+12x−32=x2−3x+22x，
再令f′(x)=0，解得x=1或x=2，
当02时，f′(x)>0，
当1∴当x=2时，函数取得极小值，则极小值为f(2)=ln2+14×4−32×2=ln2−2，
故选A．
9.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，考查两点分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
推导出P(X=1)=1−25=35，从而E(X)=35，进而求出E(5X+3)，D(X)，D(5X+3)，由此能求出结果．
【解答】
解：∵随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=25，∴P(X=1)=1−25=35，
∴E(X)=0×25+1×35=35，故A正确；
E(5X+3)=5E(X)+3=5×35+3=6，故B正确；
D(X)=(0−35)2×25+(1−35)2×35=625，故C错误；
D(5X+3)=25D(X)=25×625=6，故D错误．
故选：AB．
10.【答案】ABD
【解析】解：由已知得，展开式共有n+1=8项，故n=7，故二项式为(2x−1 x)7，
所以二项式系数之和为27=128，故A正确；
令x=1，可知所有项的系数之和为(2−1)7=1，故B正确；
二项式系数的最大的项的上标为7−12，7+12，
故二项式系数最大的项为第4，5项，故C错误；
通项为Tk+1=C7k(2x)7−k⋅(−1 x)k=(−1)k⋅27−k⋅C7k⋅x7−3k2，k=0，1，…，7，
当k=0，2，4，6时为有理项，共4项，故D正确．
故选：ABD．
根据展开式的性质先求出n=7，然后利用二项式系数的性质、赋值法、通项法逐项加以判断．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义，关键是将定义转化为曲线上至少存在两个不同的点，对应的导数值相等，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
问题转化为对于导函数f′(x)值域中的任意的值k，f′(x)=k至少有两个根，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答】
解：由题意得，函数f(x)具有P性质，等价于对于导函数f′(x)值域中的任意的值k，f′(x)=k至少有两个根．
对于A，由f′(x)=3x2+2x=k，Δ=4+12k=0，得k=−13时，方程只有唯一解，故函数f(x)不具有P性质；
对于B，由f′(x)=4x=k只有唯一解，故函数f(x)不具有P性质；
对于C，由f′(x)=csx是周期函数，对于任意k∈[−1,1]，csx=k有无穷多个解，故函数f(x)具有P性质；
对于D，由f′(x)=2x(x>0)在(0,+∞)上单调递减，当k∈(0,+∞)时，2x=k不存在两解，故函数f(x)不具有P性质．
故选：ABD．
12.【答案】−91
【解析】解：因为(1−x)7+(1−x)8，所以含x3的项为：C73(−x)3+C83(−x)3，
所以含x3的项的系数是−(C73+C83)=−(35+56)=−91．
故答案为：−91．
由二项式的展开式即可求得答案．
本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．
13.【答案】14
【解析】解：从−2，−1，1，2，3这5个数中任取2个不同的数，
有C52=10种取法，
其中满足两数之积为正数的有C22+C32=4种取法，
满足两数之积为正数且两数均为负数的有C22=1种取法，
∴P(A)=410，P(AB)=110，
∴取到的两数均为负数的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=14．
故答案为：14．
从−2，−1，1，2，3这5个数中任取2个不同的数，有C52=10种取法，其中满足两数之积为正数的有C22+C32=4种取法，满足两数之积为正数且两数均为负数的有C22=1种取法，利用条件概率能求出取到的两数均为负数的概率．
本题考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】(−1,0)∪(1,+∞)
【解析】解：设g(x)=f(x)x，则g(x)的导数为：g′(x)=xf′(x)−f(x)x2，
∵当x>0时，xf′(x)−f(x)>0，
即当x>0时，g′(x)恒大于0，
∴当x>0时，函数g(x)为增函数，
∵f(x)为奇函数
∴函数g(x)为定义域上的偶函数
又∵g(−1)=f(−1)−1=0，
∵f(x)>0，
∴当x>0时，f(x)x>0，当x<0时，f(x)x<0，
∴当x>0时，g(x)>0=g(1)，当x<0时，g(x)<0=g(−1)，
∴x>1或−1故使得f(x)>0成立的x的取值范围是(−1,0)∪(1,+∞)，
故答案为：(−1,0)∪(1,+∞)
由已知当x>0时总有xf′(x)−f(x)>0成立，可判断函数g(x)为增函数，由已知f(x)是定义在R上的奇函数，可证明g(x)为(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，根据函数g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，而不等式f(x)>0等价于xg(x)>0，分类讨论即可求出
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．
15.【答案】解：(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，
则P(X=0)=1−0.8=0.2，
P(X=20)=0.8×(1−0.6)=0.32
P(X=100)=0.8×0.6=0.48，
所以X的分布列为：
(2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4，
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P(Y=0)=1−0.6=0.4，
P(Y=80)=0.6×(1−0.8)=0.12，
P(Y=100)=0.6×0.8=0.48，
则Y的期望为E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6，
因为E(Y)>E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
【解析】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，分别求出对应的概率即可求解分布列；
(2)由(1)可得E(X)，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，Y的所有可能取值为0，80，100，分别求出对应的概率，从而可得E(Y)，比较E(X)与E(Y)的大小，即可得出结论．
16.【答案】解：(1)因为f(x)=x2+alnx+bx的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x+ax+b，
因为曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y+3=0，
f(1)=b+1=−4，可得b=−5，f′(1)=a+b+2=−1，可得a=2．
(2)由f(x)=x2+2lnx−5x(x>0)，
得f′(x)=2x+2x−5=2x2−5x+2x=(2x−1)(x−2)x，
列表如下：
所以函数f(x)的极大值点为x1=12，极大值为f(12)=−94−2ln2，
极小值点为x2=2，极小值为f(2)=2ln2−6，
所以函数f(x)的极大值和极小值的和为f(12)+f(2)=−334．
【解析】(1)求得f′(x)=2x+ax+b，利用导数的几何意义可得出关于实数a、b的方程组，即可解得a、b的值；
(2)利用导数分析函数f(x)的单调性，可求得函数f(x)的极大值点、极小值点以及极大值与极小值之和．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性与极值，考查了方程思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)每年能源消耗费用为C(x)=16x+2，建造费用为8x，
∴f(x)=32C(x)+8x=512x+2+8x,(1≤x≤10)；
(2)f′(x)=8−512(x+2)2，令f′(x)=0得x=6或x=−10(舍)，
∴当1≤x<6时，f′(x)<0，当60，
∴f(x)在[1,6)上单调递减，在[6,10]上单调递增，
∴当x=6时，f(x)取得最小值f(6)=112，
∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元．
【解析】(1)根据题意可直接得到函数f(x)的解析式；
(2)由(1)可得f(x)解析式，求导可得f′(x)，从而得到其极小值，即为最小值．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=1−ax=x−ax，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a>0时，令f′(x)=0得x=a，
所以在(0,a)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(a,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增．
(2)当a=−1时，f(x)=x+lnx，
要证不等式g(x)≥f(x)+1，
即证xex≥x+lnx+1，
即证xex≥lnex+lnx+1，
即证xex≥lnxex+1，
即证xex−lnxex≥1，
令h(x)=xex−lnxex，(x>0)，则只需证明h(x)≥1，
令t=xex，x>0，则只需证h(t)=t−lnt≥1，
t′=xex+ex=(x+1)ex>0，
所以t(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以t(x)>t(0)=0，
h′(t)=1−1t=t−1t，t>0，
所以在(0,1)上h′(t)<0，h(t)单调递减，
在(1,+∞)上h′(t)>0，h(t)单调递增，
所以h(t)≥h(1)=1，得证．
(3)若当x∈(1,+∞)时，f(x)+g(x)≥axalnx恒成立，
则当x∈(1,+∞)时，x−alnx+xex≥axalnx恒成立，
所以当x∈(1,+∞)时，x+xex≥alnx+axalnx恒成立，
所以当x∈(1,+∞)时，x+xex≥alnx+alnx⋅ealnx恒成立，①
设u(x)=x+xex，x>1，则u(x)≥u(alnx)，
u′(x)=1+ex(x+1)>0，
所以u(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以x≥alnx，lnx>0，
所以在(1,+∞)上，a≤xlnx恒成立，
令p(x)=xlnx，x>1，
p′(x)=lnx−1(lnx)2，
令p′(x)=0得x=e，
所以在(1,e)上p′(x)<0，p(x)单调递减，
在(e,+∞)上p′(x)>0，p(x)单调递增，
所以p(x)≥p(e)=e，
所以a≤e，
所以a的取值范围为(−∞,e]．
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=x−ax，分两种情况：当a≤0时，当a>0时，分析f′(x)的符号，f(x)的单调性．
(2)当a=−1时，要证不等式g(x)≥f(x)+1，即证xex−lnxex≥1，令g(x)=xex−lnxex，(x>0)，则只需证明g(x)≥1，即可得出答案．
(3)若当x∈(1,+∞)时，f(x)+g(x)≥axalnx恒成立，则当x∈(1,+∞)时，x+xex≥alnx+alnx⋅ealnx恒成立①，设u(x)=x+xex，x>1，则u(x)≥u(alnx)，分析u(x)的单调性，即可得出在(1,+∞)上，a≤xlnx恒成立，
令p(x)=xlnx，x>1，只需a≤p(x)min，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题． X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
x
(0,12)
12
(12,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
增
极大值
减
极小值
增