2022-2023学年广东省茂名市信宜市高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年广东省茂名市信宜市高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．函数在处的导数（    ）

A．与，△x都有关 B．仅与有关而与△x无关

C．仅与△x有关而与无关 D．与，△x均无关

【答案】B

【分析】根据导数定义直接判断即可.

【详解】函数在处存在导数，则，

所以仅与有关而与△x无关，

故选：B

2．5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（    ）

A．取到产品的件数 B．取到正品的概率

C．取到次品的件数 D．取到次品的概率

【答案】C

【分析】根据随机变量的定义可知.

【详解】对于A，5件产品中有3件次品，从中任取2件，取到产品的件数是一个常量不是变量，

BD也是一个定值，而C中取到次品的件数可能为0、1、2是随机变量.

故选：C

3．设离散型随机变量X的分布列为

若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

【答案】A

【分析】由离散型随机变量分布列的性质计算即可.

【详解】由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，得m=0.3.又P(Y=2)=P(X=4)=0.3．

故选：A．

4．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则（a，b）为（    ）

A．（34，34） B．（43，34） C．（34，43） D．（A43，A43）

【答案】C

【分析】本题是一个分步乘法问题，每名学生报名有3种选择，有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，同理三项冠军的结果数也有类似的做法．

【详解】由题意知本题是一个分步乘法问题，

首先每名学生报名有3种选择，

有4名学生根据分步计数原理知共有34种选择，

每项冠军有4种可能结果，

3项冠军根据分步计数原理知共有43种可能结果.

故选：C．

5．已知函数，则曲线在处的切线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接求导代入得，再利用倾斜角和斜率关系即可得到答案.

【详解】，则，则切线斜率为，

因为倾斜角范围是，则倾斜角为.

故选：B.

6．甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，则甲、乙在同一组的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用组合可求基本事件的总数，再根据排列可求随机事件含有的基本事件的总数，从而可求对应的概率.

【详解】设“甲、乙在同一组”为事件，

教师随机分成三组，每组至少一人的分法为，

而甲、乙在同一组的分法有，故，

故选：A.

7．某学校有A，B两家餐厅，小王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.则小王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（    ）

A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.7

【答案】D

【分析】根据题意结合全概率公式可直接求得.

【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，

根据题意得，，，

由全概率公式，得，

因此，王同学第天去餐厅用餐的概率为.

故选：D.

8．设函数，在上的导函数存在，且，则当时（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递减，从而得以判断.

【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，

若，则，故A错误，

若，则，故B错误；

对于CD，因为，在上的导函数存在，且，

令，则，

所以在上单调递减，

因为，即，所以，

由得，则，故C正确；

由得，则，故D错误.

故选：C.

二、多选题

9．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ）

A．从中任选1个球，有15种不同的选法

B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法

C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法

D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法

【答案】ABD

【分析】利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以选项C错误.

【详解】解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；

B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；

C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；

D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.

故选：ABD

10．已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则A，B相互独立

C．若A，B不相互独立，则

D．若，则

【答案】BD

【分析】根据题意，利用相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式以及条件概率公式，依次判断所给的4个结论即可．

【详解】对于A，若，则，故A错误;

对于B，，,由于，则，相互独立，故B正确；

若，不相互独立，则,故，故C错误；对于，，则，，则，故D正确.

故选:BD

11．函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（    ）

A．是函数的极值点

B．是函数的最小值点

C．在区间上单调递增

D．在处切线的斜率小于零

【答案】AC

【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此判断出命题错误的选项.

【详解】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，

∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；

则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；

∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；

∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；

故选：AC

12．已知，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．是正整数

C．是的小数部分

D．设，则

【答案】ACD

【分析】利用的展开式求出计算判断A；取特值计算判断B；化简计算，分析结果判断C；分奇偶讨论计算、即可推理作答.

【详解】对于A，，即，，，A正确；

对于B，因不是正整数，B不正确；

对于C，，

展开式的通项，

展开式的通项，当且为偶数时，，

当且为奇数时，，此时是偶数，是正整数，为正整数，

为正整数，

又，，所以是的小数部分，C正确；

对于D，当为正偶数时，

，

，，

则，，有，

因此，，

当为正奇数时，

，

，，

则，，有，

因此，，综上得，，，D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点睛：涉及二项式定理的问题，二项式定理的核心是通项公式，求出给定二项式的通项公式是解决问题的关键.

三、填空题

13．的展开式中的系数是      .

【答案】

【分析】写出二项展开式，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】的展开式通项为，

令，可得，所以，展开式中的系数是.

故答案为：.

14．已知随机变量X取可能的值1，2，3，…，n是等可能的，且，则      .

【答案】19

【分析】根据随机变量的数学期望公式列出方程，求解方程即可.

【详解】因为随机变量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，

所以，

所以，

所以，解得.

故答案为：19.

15．已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为           ．

【答案】/0.84375

【分析】合理设出事件，利用全概率公式进行求解.

【详解】设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的5道题为事件B，选到有思路的两道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，则，，，由全概率公式可得：

故答案为：

16．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是         

【答案】

【详解】设切点坐标为，由，得，所以切线方程为，将代入切线方程，得，，

在上递减，在上递增，极小值为，极大值为，有条切线，方程有三个不同的解， 与的图象有三个不同的交点， ，故答案为.

【方法点睛】本题主要考查利用导数的几何意义以及方程的根与函数图像之间的关系，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 已知斜率求切点即解方程；(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.本题是根据(1)求出切线方程后，再方程的根与函数图象之间的关系求解.

四、解答题

17．（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

（2）设，求的值.

【答案】（1）648；（2）

【分析】（1）解法1：根据三位数百位不等为，利用排列数以及分布乘法原理即可；解法2：利用正难则反的解题方法，求得总数减去百位为的个数，可得答案；

（2）由题意，求二项式的系数之和，利用赋值法，令即可.

【详解】（1）解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：

第 1步，确定百位上的数字，可以从这9个数字中取出1个， 有种取法；

第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的 9个数字中取出2个，有种取法.

根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为.

解法2：从0~9这10个数字中选取3 个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，

它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为.

(2)令，.

18．老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背诵其中的6篇，求

(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列

(2)他能及格的概率

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据超几何概率公式，求概率，再写出分布列；

（2）根据分布列计算，即可求解.

【详解】（1）（1)设该同学抽到能背诵的课文篇数为，的可能取值为0，1，2，3

则的分布列为，用表格表示为

（2）及格的概率为

19．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)求在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)递减区间为，递增区间为和；

(2)最大值为，最小值为.

【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数大于0或小于0的x取值集合即可作答.

（2）利用（1）的结论，借助单调性即可求解的最大值和最小值.

【详解】（1）函数定义域为R，，

当或时，，当时，，即在，上递增，在上递减，

所以的递减区间为，递增区间为和.

（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减,

因此，在区间上的最大值为，而，，即有，

 所以在区间上的最大值为，最小值为.

20．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结构如图所示，上部分是侧棱长为3的正六棱锥，下部分是高为1的正六棱柱，分别为正六棱柱上底面与下底面的中心.

(1)若长为，把蒙古包的体积表示为的函数；

(2)求蒙古包体积的最大值.

【答案】(1)，其中.

(2).

【分析】（1）利用柱体和椎体体积公式求得的函数表达式.

（2）利用导数求得体积的最大值.

【详解】（1）正六边形的边长（0），

底面积，

于是，

其中.

（2），

，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以当时，.

综上，当时，蒙古包体积最大，且最大体积为.

21．甲、乙两名同学与一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，甲得1分；如果甲输而乙赢，甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.

(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；

(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列；

(3)Y的均值和方差.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)，

【分析】（1）确定的可能值并求出对应的概率，即可写出分布列.

（2）首先确定的可能值并求出对应的概率，写出分布列.

（3）利用（2）中分布列结合均值和方差的公式即可求出Y的均值和方差.

【详解】（1）由题设，的可能取值为－1，0，1，

，

，

．

的概率分布为

（2）由题设，的可能取值－2，－1，0，1，2，

，

，

，

，

．

的概率分布为

（3）所以.

22．已知函数（e为自然对数的底数）.

(1)求f(x)的最大值；

(2)设a为整数，若在定义域上恒成立，求a的最大值；

(3)证明.

【答案】(1)1；

(2)2；

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，利用导数求出函数的最大值作答.

（2）利用（1）的结论可得，进而可得当时，，再按、探讨恒成立，构造函数并证明不等式作答.

（3）利用（2）的结论，构造数列不等式，再借助等比数列求和公式推理作答.

【详解】（1）函数的定义域为，求导得：，当时，，当时，，

函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，.

（2）由（1）知，，，即，因此对，，

当时，对，，则有，

于是当时，对，恒成立，

当时，函数的定义域为，，必有，解得，

而为整数，则最大值不大于2，

因为对，恒成立，则对，有恒成立，当且仅当时取等号，

又，恒成立，当且仅当时取等号，于是对，，

综上得当时，对，恒成立，即整数，

所以整数a的最大值为2.

（3）由（2）知，，，取，有，因此，

从而，

所以原不等式成立.

【点睛】思路点睛：涉及含参函数不等式恒成立问题，可以结合导数分段讨论，确定临界值，再利用导数证明不等式作答.